任亞男

[摘? 要] 幾何推理能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是大部分學(xué)生的難點(diǎn)和“痛點(diǎn)”. 教師應(yīng)采取多元教學(xué)策略，從歸納比較、變式訓(xùn)練和滲透轉(zhuǎn)化思想三個(gè)角度，助力學(xué)生突破難點(diǎn)，提升幾何論證推理能力.

[關(guān)鍵詞] 幾何推理;歸納;轉(zhuǎn)化

幾何是有關(guān)圖形和空間結(jié)構(gòu)的一項(xiàng)知識(shí)，與代數(shù)同屬于初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，幾何思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常廣泛. 但是幾何卻也是很多初中學(xué)生的“噩夢(mèng)”，很多同學(xué)對(duì)之望而卻步，看到幾何證明題就頭腦發(fā)懵，不知道突破口在哪里. 在教學(xué)中教師也不難發(fā)現(xiàn)，很多數(shù)學(xué)不錯(cuò)的同學(xué)，在開(kāi)始學(xué)習(xí)幾何之后成績(jī)就開(kāi)始直線滑坡，教師也束手無(wú)策，難以解決. 如何幫助學(xué)生突破幾何證明題的難點(diǎn)，是筆者在教學(xué)中一直思考的問(wèn)題. 本文擬從教學(xué)策略的角度，談一談在日常教學(xué)中教師可以采取的教學(xué)策略，幫助學(xué)生一起突破幾何證明的“瓶頸”.

比較歸納知識(shí)，奠定論證基礎(chǔ)

幾何證明題的基礎(chǔ)是學(xué)生對(duì)幾何的基礎(chǔ)知識(shí)掌握要全面，運(yùn)用知識(shí)要靈活，理解知識(shí)與知識(shí)之間的邏輯聯(lián)系，才能在證明時(shí)游刃有余. 因此在教學(xué)上，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)體系，進(jìn)行知識(shí)歸納，為幾何證明題奠定知識(shí)基礎(chǔ).

1. 構(gòu)建知識(shí)體系

幾何知識(shí)比較繁雜，教師在教學(xué)中要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，構(gòu)建較為完整的知識(shí)體系，在證明時(shí)可以活學(xué)活用.

案例1? 復(fù)習(xí)梯形.

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可以通過(guò)設(shè)計(jì)問(wèn)題串的方式幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu).

（1）什么樣的四邊形是梯形？

（2）怎樣讓這個(gè)梯形變成等腰梯形？有幾種變法？

（3）怎樣的梯形是直角梯形？

（4）在等腰梯形ABCD中，AD與BC平行，你能得出什么結(jié)論呢？連接對(duì)角線AC，BD，你又能得出什么結(jié)論？

（5）若過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線，與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，DE與BD是什么關(guān)系呢？

在引導(dǎo)學(xué)生回答問(wèn)題的過(guò)程中，教師進(jìn)行板書梳理知識(shí)，在板書中呈現(xiàn)知識(shí)體系（如圖1所示），也可以通過(guò)圖形來(lái)表示概念之間的關(guān)系（如圖2所示）. 總之，教師進(jìn)行示范引導(dǎo)如何歸納知識(shí)，在此基礎(chǔ)上也可以由學(xué)生完成，教師進(jìn)行指導(dǎo)，有了完整的知識(shí)體系，學(xué)生的證明才有了基礎(chǔ).

2. 性質(zhì)判定和結(jié)論比較

幾何證明中涉及性質(zhì)判定和證明的重要結(jié)論，這些對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)容易混淆不清，影響證明題的解決. 在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行性質(zhì)和判定的比較，如平行四邊形的性質(zhì)和判定，看似差不多的表述，實(shí)則是兩個(gè)角度的正反運(yùn)用，教師要注意進(jìn)行比較和區(qū)分，幫助學(xué)生確定其使用的情境和因果關(guān)系的區(qū)別，在使用時(shí)學(xué)生才能快速做出甄別.

幾何證明中的重要結(jié)論也是證明過(guò)程中需要使用的重要知識(shí)，是解決新的問(wèn)題的橋梁，因此既要進(jìn)行歸納，又要區(qū)別比較. 圖3涉及的幾種圖形既有聯(lián)系又有區(qū)別，通過(guò)比較之后學(xué)生會(huì)更加扎實(shí)地掌握結(jié)論，在進(jìn)行幾何證明時(shí)判斷將更加快速，反應(yīng)更加迅捷.

在教學(xué)中通過(guò)對(duì)知識(shí)的歸納和比較，不僅幫助學(xué)生梳理了知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生歸納比較和推理分析的能力，逐漸形成幾何思想，為解決幾何證明題助力.

加強(qiáng)變式練習(xí)，提升論證能力

幾何證明題的難點(diǎn)之一就在于圖形的千變?nèi)f化，學(xué)生難以從中找到規(guī)律，因此我們可以加強(qiáng)變式訓(xùn)練，拓展學(xué)生思維的發(fā)散性和邏輯性，使學(xué)生能夠適應(yīng)幾何證明題的千變?nèi)f化. 比如可以嘗試將一道題的結(jié)論和條件不換，或者改變結(jié)論，增減條件等等，讓學(xué)生感受雖然看似變化的試題，實(shí)則運(yùn)用的推理方法有其共同點(diǎn)，突破學(xué)生的心理障礙.

1. 變條件

案例2? 復(fù)習(xí)梯形.

原題：如圖4所示 ，在等腰梯形ABCD中，AD與BC平行，如果∠B為60°，求∠A，∠C和∠D的度數(shù).

變式1：如圖4所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AD與BC平行，如果∠B為60°，BC=12，AB=6，那么AD的長(zhǎng)度為多少？

變式2：如圖5所示，四邊形ABCD為等腰梯形，AD與BC平行，如果對(duì)角線AC與BD垂直，BC=12，AD=6，求出梯形ABCD的面積.

本例中首先通過(guò)原題復(fù)習(xí)了梯形的邊和角的相關(guān)性質(zhì)，通過(guò)添加條件引出變式訓(xùn)練，幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了三角形、四邊形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，再通過(guò)梯形的輔助線，將梯形的面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而復(fù)習(xí)了梯形的周長(zhǎng)、面積等知識(shí)點(diǎn). 通過(guò)這樣的變式訓(xùn)練，在一道題的基礎(chǔ)上復(fù)習(xí)了梯形及其相關(guān)的一系列知識(shí)，復(fù)習(xí)全面，而且學(xué)生通過(guò)這樣的變式訓(xùn)練，對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間和圖形之間的關(guān)系有了比較清晰的認(rèn)識(shí)，理清了幾何證明題的邏輯關(guān)系.

2. 變結(jié)論

案例3? 復(fù)習(xí)等腰梯形的判定.

如圖6所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，直線l過(guò)線段AC上的一點(diǎn)Q，與線段AB相交于點(diǎn)D，CE與AB平行，與直線l相交于點(diǎn)E，直線l的旋轉(zhuǎn)角為α，當(dāng)α滿足什么條件，四邊形EDBC是等腰梯形？α滿足什么條件，四邊形EDBC是直角梯形？

本例通過(guò)設(shè)置不同的結(jié)論引導(dǎo)學(xué)生分析條件的改變，通過(guò)動(dòng)態(tài)的展示幫助學(xué)生理解在條件改變的情況下，結(jié)論也隨之改變，有效復(fù)習(xí)了不同梯形的判定方法，提升了學(xué)生幾何推理能力.

3. 變圖形

幾何論證題的圖形千變?nèi)f化，但是不同的圖形之間也有一定的內(nèi)在聯(lián)系，教師可以通過(guò)設(shè)置階梯式的問(wèn)題幫助學(xué)生找到不同圖形之間的聯(lián)系，使學(xué)生能透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，抓住核心，突破幾何論證題的難點(diǎn). 也可以將同類圖形放在一起進(jìn)行解題和比較，加深學(xué)生的印象，明白萬(wàn)變不離其宗，抓住關(guān)鍵的道理.

案例4? 判斷位置關(guān)系.

原題：如圖7所示，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，線段AC和BD的中點(diǎn)分別是點(diǎn)E和F. 證明BE和DE相等，并判斷EF與BD的位置關(guān)系，說(shuō)一說(shuō)你的理由.

變式：與“原題”的條件一致，EF與BD的位置關(guān)系有什么變化嗎（如圖8所示）？說(shuō)一說(shuō)你的理由.

幾何證明題對(duì)于學(xué)生的難點(diǎn)就在于稍微變換圖形或者條件，學(xué)生就難以從中找到突破口，無(wú)法聯(lián)系自己已知的條件，但是搞“題?！睉?zhàn)術(shù)，往往是治標(biāo)不治本，不能從根本上解決問(wèn)題. 這就要求教師要在設(shè)計(jì)上下功法，本例中看似沒(méi)有關(guān)系的兩道題，實(shí)則圖形上卻有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，通過(guò)這樣的組合訓(xùn)練，就能提高學(xué)生思維的靈活性和發(fā)散性，讓解題變得更加容易，學(xué)習(xí)變得更加輕松.

滲透轉(zhuǎn)化思想，指明論證方向

幾何證明題種類豐富，但是幾何證明的知識(shí)卻是固定不變的，關(guān)鍵是如何在未知和已知之間找到連接點(diǎn)，讓證明找到出口. 那么數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想就起到至關(guān)重要的作用，將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已會(huì)的方法進(jìn)行解答，將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的步驟來(lái)解決，滲透轉(zhuǎn)化思想是教學(xué)策略的重要一環(huán). 常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化就有把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，把難度較高的四邊形、梯形轉(zhuǎn)化為難度較低的平行四邊形或者三角形等. 如復(fù)習(xí)梯形時(shí)就可以通過(guò)添加輔助線等將梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形或者三角形進(jìn)行計(jì)算和證明.

幾何證明題的轉(zhuǎn)化通常都是轉(zhuǎn)化為基本圖形進(jìn)行解決，教學(xué)中要注意對(duì)基本圖形進(jìn)行歸納和整理，讓學(xué)生熟知，并能快速反應(yīng). 當(dāng)然僅僅知道如何分離出基本圖形還不足以使學(xué)生的高階思維得到拓展，還要學(xué)會(huì)在復(fù)雜圖形中構(gòu)造基本圖形.

案例5? 反比例函數(shù).

如圖9所示，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=（x>0），y=-（x>0）的圖像上，并且OA與OB垂直，那么tan∠ABO為多少？

這是一道復(fù)雜的綜合題，既涉及幾何知識(shí)，又有函數(shù)知識(shí)，需要學(xué)生能善于使用轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化成相似三角形（如圖10所示）從而求出答案，看似異常復(fù)雜難以解決的試題最后迎刃而解，就恰恰是巧妙使用了轉(zhuǎn)化的思想. 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)問(wèn)題當(dāng)中使用非常廣泛，如果使用得當(dāng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多題目的奧妙之處，但是很多學(xué)生卻常常苦于不會(huì)使用轉(zhuǎn)化的思想. 究其原因是在于知識(shí)掌握得不扎實(shí)以及平時(shí)的思維訓(xùn)練不夠，那么教師不能聽(tīng)之任之，要精心設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)，在例題的講解中注意綜合聯(lián)系，不斷歸納總結(jié)和示范比較，經(jīng)過(guò)不斷的訓(xùn)練，滲透轉(zhuǎn)化思想，學(xué)生的解題能力一定能獲得更大的提高.

總之，不積跬步無(wú)以至千里，再難的路只要下定決心就一定能有所開(kāi)拓. 只要教師在教學(xué)的點(diǎn)點(diǎn)滴滴中注意關(guān)注和滲透，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，精心設(shè)計(jì)題型，講解方法，滲透思想，就一定能在幾何證明題的教學(xué)中取得突破，為學(xué)生的進(jìn)一步長(zhǎng)期學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).