胡靜

【摘 要】數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生良好思維習(xí)慣、鍛煉學(xué)生思維、提升學(xué)生思維品質(zhì)的主陣地。本文以“釘子板上的多邊形”一課為例，圍繞學(xué)生本位、原生態(tài)生成性錯(cuò)誤學(xué)習(xí)資源、“數(shù)學(xué)模型”助力“符號(hào)意識(shí)”，以及永續(xù)的“學(xué)力”——自我性監(jiān)控等方面，淺談如何提升學(xué)生的高階思維能力。

【關(guān)鍵詞】“活教育” 核心素養(yǎng) 高階思維能力 學(xué)力

學(xué)?！盎钫n堂”教改的理論依據(jù)來源于我國著名教育家陳鶴琴的“活教育”思想。陳鶴琴先生的教育主張：從兒童立場(chǎng)出發(fā)，發(fā)現(xiàn)和引領(lǐng)兒童;凡是兒童自己能夠做的，應(yīng)當(dāng)讓他自己做，在做中學(xué);凡是兒童自己能夠思考的，應(yīng)當(dāng)讓他自己思考，在思中進(jìn)。陳鶴琴先生的主張對(duì)“雙減”背景下的課堂教學(xué)仍有很大的指導(dǎo)意義。

“雙減”背景下，落實(shí)“學(xué)科核心素養(yǎng)”，應(yīng)關(guān)注并努力思考和激活課堂教學(xué)要素，即問題情境、合作探究、傾聽與對(duì)話、交流與展示。催生指向“核心素養(yǎng)”的教與學(xué)，已根植、深入每位教師的內(nèi)心并落實(shí)于行動(dòng)，以此形成包括教師與學(xué)生、個(gè)體與小組、小組與小組間不同層次的互動(dòng)。課堂上的教學(xué)互動(dòng)，不僅要關(guān)注學(xué)生參與課堂交往的主動(dòng)性，而且要把握學(xué)生的思維是否被激活，能否深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，提升其高階思維能力，從而使課堂成為學(xué)生的成長之地。教師和學(xué)生組成活生生的學(xué)習(xí)型組織，學(xué)校成為應(yīng)用之場(chǎng)、思辨之所、創(chuàng)新之地。

如何提升學(xué)生的高階思維能力？下面筆者就蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)的一節(jié)綜合實(shí)踐課“釘子板上的多邊形”談幾點(diǎn)實(shí)踐思考。

思考之一：自主建構(gòu)的歷程需不需要錯(cuò)誤磨礪——捕捉與摒棄

葉瀾教授說過，課堂應(yīng)該是向未知方向不斷挺進(jìn)的探究旅程，隨時(shí)都有可能出現(xiàn)意外的通道和美麗的風(fēng)景，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程。兒童的學(xué)習(xí)是兒童本身的認(rèn)知框架不斷變革和重組建構(gòu)的歷程。課堂有時(shí)會(huì)出現(xiàn)許多“意想不到”的生成性資源，有時(shí)是正確的，有時(shí)是錯(cuò)誤的，作為教師，我們不能拘泥于先前的預(yù)設(shè)，回避或視而不見錯(cuò)誤，必須捕捉有價(jià)值的“意外”資源，摒棄不合理的錯(cuò)誤資源，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考”，通過自省，更新重組認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必然能達(dá)到提升思維能力的目的。

【片段一】自主探索內(nèi)部只有1枚釘子的多邊形面積規(guī)律

（1）活動(dòng)：下面的多邊形面積各是多少平方厘米？每個(gè)多邊形邊上的釘子數(shù)各有多少枚？數(shù)一數(shù)、算一算，將結(jié)果填入表中。

（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：多邊形的面積=多邊形邊上的釘子數(shù)÷2。

（3）舉例驗(yàn)證。

師：這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)不對(duì)呢？怎么驗(yàn)證？

生：我們可以再舉幾個(gè)這樣的例子驗(yàn)證一下?。▽W(xué)生驗(yàn)證交流）

師：老師看到有些同學(xué)眉頭緊鎖，你們遇到了什么問題？能和大家分享一下嗎？

生1：老師，我的驗(yàn)證符合剛才的規(guī)律。

生2：老師，我的不符合。

生3：老師，我的也不符合，但是我驗(yàn)證的方法是對(duì)的。

師：哦？我們一起來看看！

師：看來，圖2和圖3確實(shí)不符合我們的規(guī)律！那為什么這個(gè)規(guī)律有時(shí)管用，有時(shí)卻用不了呢？別著急，請(qǐng)仔細(xì)觀察這些圖形，同桌之間討論你們的想法。

生1：我發(fā)現(xiàn)這些圖形的高都是2。

師：好，老師把你的發(fā)現(xiàn)記錄下來，是這樣的嗎？

生2：我不同意你的看法，我畫的圖形高是3cm，同樣符合規(guī)律。

生3：是的，我畫的圖形高是5cm，同樣也符合規(guī)律。

生4：我們小組發(fā)現(xiàn)，符合規(guī)律的都是內(nèi)部釘子數(shù)是1的情況。

師：是這樣的嗎？

師：你們小組能從不同的圖形中發(fā)現(xiàn)共同點(diǎn)，真是善于觀察！也就是說，S=n÷2在什么情況下才成立呢？如果用a表示內(nèi)部釘子數(shù)，即a=1時(shí)，S=n÷2。

師（小結(jié)）：看來不僅要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而且要主動(dòng)去驗(yàn)證規(guī)律，這樣才能得出正確的結(jié)論。

【解讀】本環(huán)節(jié)主要引導(dǎo)學(xué)生明白規(guī)律要具有普遍性。首先，由簡(jiǎn)單的多邊形入手，初探規(guī)律。其次，延伸到用任意多邊形來驗(yàn)證結(jié)論，發(fā)現(xiàn)結(jié)論不能適用于圍成的每一個(gè)多邊形。這就引發(fā)了學(xué)生的思考：“是剛才的結(jié)論錯(cuò)了嗎？若沒有錯(cuò)，為什么有些多邊形沒有這樣的規(guī)律呢？”產(chǎn)生了這樣的困惑，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)地去探究癥結(jié)所在，在這樣有目的的探究中終于明白結(jié)論不具有普遍性。最后，通過小組內(nèi)的合作完善結(jié)論，在驗(yàn)證成功、持續(xù)應(yīng)用中形成第二次認(rèn)知沖突，引發(fā)學(xué)生探究。學(xué)生發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形的面積不僅跟邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還跟多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)有關(guān)，在產(chǎn)生猜想和驗(yàn)證不成立的沖突后，學(xué)生提出：“這些圖形的高都是2cm?！苯處煂?duì)此并沒有采取否定和回避態(tài)度，而是讓學(xué)生通過自我辯論形成有價(jià)值的思考，從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的更新。

思考之二：怎樣驗(yàn)證猜想——讓“數(shù)學(xué)模型”助力“符號(hào)意識(shí)”

“釘子板上的多邊形”是一節(jié)探究規(guī)律的實(shí)踐活動(dòng)課，在學(xué)生通過數(shù)據(jù)整理初步提出猜想后，怎樣讓學(xué)生驗(yàn)證猜想才能實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)呢？

【片段二】探究內(nèi)部釘子數(shù)

師：接下來，我們要研究內(nèi)部釘子數(shù)a=3，a=4時(shí)的情況，誰能猜猜S等于什么？

生1：當(dāng)a=3時(shí)，S=n÷2+2。

生2：當(dāng)a=4時(shí)，S=n÷2+3。

師：這個(gè)猜想正確嗎？我們還需要進(jìn)行——（生齊答“驗(yàn)證”）

師：請(qǐng)大家選擇一個(gè)感興趣的多邊形進(jìn)行研究，驗(yàn)證面積與邊上釘子數(shù)是否有這樣的關(guān)系。

（學(xué)生驗(yàn)證，匯報(bào)交流）

師：我們接著往下寫，寫得完嗎？誰能概括一下這個(gè)規(guī)律？

生3：S=n÷2+（a-1）。

師：那我們往上想，如果a=0，S 等于多少呢？你是怎么想到的？

生4：當(dāng)a等于0時(shí)，S=n÷2-1。

師：到底對(duì)不對(duì)呢？我們來驗(yàn)證一下。誰來指一指，這減少的1在哪里？

師：這個(gè)多邊形，內(nèi)部釘子數(shù)是0，面積怎么算？

生5：S=6÷2+0。

師：老師把中間這個(gè)釘子上移1格，現(xiàn)在這個(gè)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)變成了多少？

生6：0。

師：面積怎么算？S=6÷2-1，減去的1在哪里？你能在圖中指一指嗎？（再次證明了這個(gè)規(guī)律）

師：我們?cè)俅位氐胶诎迳?，觀察我們得到的這些結(jié)論，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)為a時(shí)，S=n÷2+（a-1）。

師：接下來，大家覺得我們會(huì)研究什么問題？研究的時(shí)候有什么好的建議？

1.基于學(xué)生學(xué)習(xí)的選擇

一節(jié)優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)課，不應(yīng)該在各種“創(chuàng)新”的外表形式上賣力，而應(yīng)變革教學(xué)方式方法，本真地對(duì)待學(xué)生。開展的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該有學(xué)生本位的思想，從學(xué)生的立場(chǎng)出發(fā)，引領(lǐng)學(xué)生。

（1）自己“做”研究材料。由教材例題提供研究材料轉(zhuǎn)為現(xiàn)場(chǎng)“做出”研究材料。首先組織學(xué)生研究多邊形內(nèi)有1、2枚釘子的情況，研究的學(xué)習(xí)素材是教材提供的典型多邊形的材料，在驗(yàn)證環(huán)節(jié)和研究多邊形內(nèi)部有3、4枚釘子的多邊形面積時(shí)，所有的研究材料都是學(xué)生自己現(xiàn)場(chǎng)畫出來的。

（2）自己選擇探究方向。 每個(gè)環(huán)節(jié)結(jié)束，教師都會(huì)問：接下來我們將會(huì)研究什么？學(xué)生都能按照預(yù)設(shè)自己選擇下一個(gè)探究方向。

（3）自己選擇策略方法。 “從最簡(jiǎn)單的內(nèi)部釘子數(shù)是1研究起”“要驗(yàn)證”“咱們多畫幾個(gè)多邊形舉例，固定內(nèi)部釘子數(shù)，數(shù)出邊上的釘子數(shù)……”學(xué)生自己選擇研究策略，根據(jù)自己設(shè)計(jì)的研究方案，自主在釘子板上圍出幾個(gè)多邊形，計(jì)算并記錄數(shù)據(jù)。教師則相機(jī)引導(dǎo)學(xué)生把這些具有相同關(guān)系的多邊形進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)，繼而發(fā)現(xiàn)多邊形的面積與它邊上釘子數(shù)的關(guān)系。

自己選擇探究方向，自己選擇策略方法，自己“做”研究材料，這樣的探究活動(dòng)更加原生態(tài)，能讓學(xué)生獲得探究過程的“真”體驗(yàn)。由這樣的體驗(yàn)中總結(jié)出來的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，更容易遷移到新的探索活動(dòng)中。

2.觸及數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的“大問題”

“當(dāng)多邊形內(nèi)有1枚釘子時(shí)，它的面積和邊上的釘子數(shù)有什么樣的關(guān)系？”“圖形內(nèi)有2枚釘子時(shí)，圖形面積和邊上的釘子數(shù)有怎樣的關(guān)系？”“圖形內(nèi)有 3 枚、4 枚……釘子時(shí)，圖形面積和邊上釘子數(shù)分別有怎樣的關(guān)系？”“你能用一個(gè)含有字母的式子概括出以上所有的規(guī)律嗎？”這一連串的提問能夠引發(fā)學(xué)生思考，直到觸及數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的“大問題”，從而將學(xué)生思維引向深入，引導(dǎo)學(xué)生由淺入深、由表及里地剖析問題本質(zhì)。

3.數(shù)學(xué)模型助力符號(hào)意識(shí)

數(shù)學(xué)學(xué)科是強(qiáng)調(diào)“建模”的學(xué)科：建立模型—解釋模型—應(yīng)用模型。其實(shí)，這就是一個(gè)符號(hào)化的過程。因此，數(shù)學(xué)模型的建立與學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)密不可分。

本節(jié)課教師從內(nèi)部釘子數(shù)為1開始探究規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)了格子中多邊形的面積與相關(guān)格子點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系，應(yīng)該說這一過程側(cè)重培養(yǎng)了學(xué)生的合情推理能力。學(xué)生通過尋找不同式子的共同特點(diǎn)，類比推理得到了更具一般意義的 “通用公式”，這一過程側(cè)重鍛煉了學(xué)生初步的建模能力。歸納推理與演繹推理交相呼應(yīng)、相映生輝，學(xué)生的推理能力和初步的建模能力在充分思辨的過程中得到了實(shí)質(zhì)性的提升。

思考之三：永續(xù)的“學(xué)力”：從“知識(shí)本位”走向“方法習(xí)得”——自我性監(jiān)控

對(duì)于探索規(guī)律的教學(xué)，教師除了要關(guān)注“探究什么”，更應(yīng)關(guān)注“用什么探究”和 “如何探究”，不僅要讓學(xué)生習(xí)得規(guī)律性的知識(shí)，還要教給他們“能夠帶得走”的永續(xù)的學(xué)力。

自我性監(jiān)控是一種高層次的思維活動(dòng)，是指學(xué)生自主設(shè)計(jì)探究方案、自我實(shí)施方案以及回顧反思整個(gè)學(xué)習(xí)歷程，以加深對(duì)知識(shí)的理解，促進(jìn)思維品質(zhì)的提升。本節(jié)課在探究S=n÷2規(guī)律后，設(shè)計(jì)了及時(shí)組織學(xué)生進(jìn)行回顧探究過程、掌握自主操作探究的方法這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：確定內(nèi)部釘子數(shù)、畫出多邊形—算出多邊形的面積—觀察類比、提出猜想—舉例驗(yàn)證—得出結(jié)論—用含字母的式子表示規(guī)律。通過對(duì)學(xué)習(xí)過程或某一環(huán)節(jié)的回顧、整理，展開思辨性、批判性思維，這就是自我性監(jiān)控的思維。它是一種反思性思維，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。學(xué)生有了這些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的指引，內(nèi)部釘子數(shù)是2、3、4……的多邊形面積與邊上釘子數(shù)和內(nèi)部釘子數(shù)存在的規(guī)律就水到渠成地被探究出來。這種經(jīng)驗(yàn)的改造和重組、超越與提升，使探究學(xué)習(xí)不斷向縱深處推進(jìn)，不僅讓學(xué)生掌握了科學(xué)的探究方法，而且發(fā)展了學(xué)生的高階思維能力，從而為后續(xù)學(xué)習(xí)提供不竭的動(dòng)力。

本節(jié)課的探究活動(dòng)并不以得到皮克定理而終止，“為什么要再減去1？”“經(jīng)歷了探索的過程，對(duì)于皮克定理你還有什么想進(jìn)一步了解的嗎？”這些問題將學(xué)生帶入深層次的思考：立體圖形也有皮克定理嗎？進(jìn)而引發(fā)學(xué)生新一輪的思考和探索。