曹金鳳　王志文　劉鵬　撒占友　李策

[摘 要] “彈性力學(xué)與有限元”“有限元分析軟件及應(yīng)用”兩門課程是各大高校理工科碩士研究生的學(xué)位課和專業(yè)課，占據(jù)十分重要的地位?！皬椥粤W(xué)與有限元”課程公式多，推導(dǎo)過(guò)程煩瑣，學(xué)習(xí)難度大，而“有限元分析軟件及應(yīng)用”課程則重點(diǎn)關(guān)注工程應(yīng)用，卻又離不開(kāi)“彈性力學(xué)與有限元”課程的理論支撐，二者既有聯(lián)系，又有差異。為了提高研究生對(duì)兩門課程的學(xué)習(xí)效果和學(xué)習(xí)效率，達(dá)到學(xué)以致用、研以致用的目的，對(duì)“一題兩課”案例式教學(xué)模式進(jìn)行探索，選取“彈性力學(xué)與有限元”課程中的課后練習(xí)題，通過(guò)理論分析和有限元仿真分析結(jié)果進(jìn)行比較，找出兩門課程學(xué)習(xí)過(guò)程中的重點(diǎn)、難點(diǎn)、差別，幫助學(xué)生更加生動(dòng)形象地理解“彈性力學(xué)與有限元”的知識(shí)，更有助于將理論方法與工程實(shí)踐結(jié)合，實(shí)現(xiàn)舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)效果。該教學(xué)模式已成功應(yīng)用于5屆研究生的教學(xué)過(guò)程中，效果良好，值得推廣使用。

[關(guān)鍵詞] 彈性力學(xué)與有限元;有限元分析軟件及應(yīng)用;案例式教學(xué);教學(xué)模式;課程改革

[基金項(xiàng)目] 2020年度山東省教育廳山東省專業(yè)學(xué)位研究生教學(xué)案例庫(kù)項(xiàng)目“‘有限元分析軟件Abaqus及應(yīng)用’案例庫(kù)建設(shè)”（SDYAL20112）

[作者簡(jiǎn)介] 曹金鳳（1978—），女，山東青島人，博士，青島理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院副教授，主要從事計(jì)算力學(xué)與Abaqus軟件數(shù)值模擬研究;王志文（1995—），男，山東臨沂人，碩士，青島理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院2020級(jí)機(jī)械專業(yè)碩士研究生，研究方向?yàn)锳baqus有限元仿真與輪胎的設(shè)計(jì)仿真一體化;劉 鵬（1990—），男，山東青島人，博士，青島理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院副教授（通信作者），主要從事故障診斷與可靠性分析、海洋工程裝備研究。

[中圖分類號(hào)] O343.1 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-9324（2022）16-0157-04 [收稿日期] 2021-07-28

引言

“彈性力學(xué)與有限元”課程主要研究變形體在外來(lái)因素作用下的位移、應(yīng)變和應(yīng)力的分布規(guī)律，是機(jī)械工程、土木工程、力學(xué)相關(guān)專業(yè)的研究生必修課程[1]。有限單元法是力學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算方法、計(jì)算機(jī)技術(shù)等多種學(xué)科綜合發(fā)展和結(jié)合的產(chǎn)物，是隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的廣泛應(yīng)用而迅速發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)值分析方法，其基本思想就是“化整為零”，將連續(xù)的、理論上具有無(wú)限個(gè)自由度的模型離散為有限個(gè)單元、有限個(gè)自由度的模型，借助計(jì)算機(jī)、大型工作站的超強(qiáng)計(jì)算能力，解決實(shí)際工程問(wèn)題，即將復(fù)雜的連續(xù)體劃分為有限個(gè)簡(jiǎn)單的單元體，單元體之間僅通過(guò)結(jié)點(diǎn)相連，將連續(xù)場(chǎng)函數(shù)（偏）微分方程的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限個(gè)參數(shù)的代數(shù)方程組的求解問(wèn)題[2-6]。

“彈性力學(xué)與有限元”課程理論性強(qiáng)，公式多且表達(dá)式復(fù)雜，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)要求較高[7]。目前，大多數(shù)高校采用傳統(tǒng)的教學(xué)模式，即以理論教學(xué)為主，通過(guò)板書、理論推導(dǎo)、例題講解等方式講授，由于學(xué)生缺乏實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)，學(xué)習(xí)過(guò)程中易出現(xiàn)難理解、難應(yīng)用、難掌握的詬病。為了提高學(xué)習(xí)興趣，將“彈性力學(xué)與有限元”課程中的基本概念、基礎(chǔ)知識(shí)與實(shí)際工程密切聯(lián)系，本文提出了“一題兩課”案例式教學(xué)方法，即對(duì)于同一彈性力學(xué)問(wèn)題，用“彈性力學(xué)與有限元”和“有限元分析軟件及應(yīng)用”兩門課程的知識(shí)體系來(lái)解決，通過(guò)比較分析結(jié)果，找出兩門課程的異同，不僅學(xué)會(huì)知識(shí)，掌握分析方法，而且達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果。

一、“一題兩課”的教學(xué)案例

（一）選取一題

選擇徐芝綸編寫的《彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程》（第五版）[8]3～8題經(jīng)典矩形截面長(zhǎng)豎柱問(wèn)題作為教學(xué)案例，如圖1所示。對(duì)于矩形截面長(zhǎng)豎柱，密度為ρ，在右側(cè)面受均布剪力q作用，試求解各個(gè)應(yīng)力分量。為了便于將理論解與有限元軟件數(shù)值解進(jìn)行比較，假設(shè)模型尺寸和荷載如下：h=50m，b=3m，ρ=7800kg/m3，q=10Pa，材料為線彈性，彈性模量E=210GPa，泊松比，構(gòu)件處于線彈性小變形階段。

（二）彈性力學(xué)與有限元的理論解

采用半逆解法求解，首先根據(jù)已有力學(xué)知識(shí)分析長(zhǎng)豎柱的應(yīng)力分布規(guī)律。假設(shè)某個(gè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式，反推出應(yīng)力函數(shù)并使其滿足相容方程和應(yīng)力邊界條件。根據(jù)題目要求和材料力學(xué)課程相關(guān)知識(shí)，易知該問(wèn)題屬于偏心受壓，切應(yīng)力的分布是x的函數(shù)，故假設(shè)：

（三）有限元分析軟件及應(yīng)用的數(shù)值解

實(shí)際工程問(wèn)題往往模型、荷載和約束都十分復(fù)雜，很難獲得理論解。通常都需要借助大型有限元分析軟件Abaqus、ANSYS、ADINA等獲得數(shù)值解。本文在大型非線性有限元分析軟件Abaqus中建立相同的矩形截面長(zhǎng)豎柱模型，施加相同荷載和約束，重點(diǎn)查看單元網(wǎng)格尺寸、單元類型不同時(shí)相同位置的應(yīng)力分析結(jié)果。

1.建立有限元模型。在大型非線性有限元分析軟件Abaqus[9-11]中建立長(zhǎng)豎柱有限元模型，高度和寬度分別為h=50m，b=3m，定義線彈性材料參數(shù)，楊氏模量和泊松比分別為2.1×1011Pa和0.3，材料密度為7800kg/m3。

2.定義邊界條件和施加載荷。在Initial分析步中設(shè)置邊界條件為下端完全固定，施加重力荷載，對(duì)其右表面施加切應(yīng)力荷載，大小為10N/m2，方向向量為（0，-1，0）。

3.設(shè)置網(wǎng)格種子密度和單元類型，劃分網(wǎng)格。本文選擇兩種單元類型，即CPS4R（四邊形）和CPS3（三角形）單元，網(wǎng)格種子密度分別設(shè)為1、0.5，網(wǎng)格劃分完畢后分別如圖2和圖3所示。

4.數(shù)值解。采用Abaqus軟件對(duì)該模型進(jìn)行模擬應(yīng)力分析，比較不同單元密度、不同單元類型對(duì)其結(jié)果的影響，設(shè)置單元格密度分別為1和0.5，單元形狀分別為四邊形、三角形，觀察4種不同工況的仿真結(jié)果如圖4所示，可以發(fā)現(xiàn)4種工況的模擬結(jié)果較為接近，最大應(yīng)力均在底部。

二、比較與討論

通過(guò)使用理論解和數(shù)值分析解兩種方法，對(duì)長(zhǎng)豎柱模型在重力和切應(yīng)力作用下的應(yīng)力結(jié)果進(jìn)行分析。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，深刻理解和掌握兩門課程的差異，下面對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)的分析比較。

由于本算例只受到重力和沿著豎向切應(yīng)力作用，因此，沿x軸方向的應(yīng)力很小，故只對(duì)軸應(yīng)力進(jìn)行分析。為便于比較，特選?。?，-15）、（2，-12）、（1，-8）、（0，-5）四個(gè)點(diǎn)，對(duì)四邊形單元、網(wǎng)格密度為1的應(yīng)力分析解與理論解應(yīng)力進(jìn)行比較。隨著y坐標(biāo)的減小，應(yīng)力值逐漸增大;理論解與Abaqus數(shù)值分析解變化趨勢(shì)一致，通過(guò)對(duì)比Abaqus數(shù)值模擬結(jié)果與理論計(jì)算值，發(fā)現(xiàn)各點(diǎn)理論應(yīng)力與分析應(yīng)力差值在幾十帕內(nèi)，證明數(shù)值模擬結(jié)果較準(zhǔn)確。對(duì)于坐標(biāo)為（3，-15）的點(diǎn)，“彈性力學(xué)與有限元”課程的理論解為1.1468Mpa，在Abaqus軟件中選擇不同單元類型、不同網(wǎng)格密度的應(yīng)力分析結(jié)果進(jìn)行比較。選擇單元類型為四邊形，網(wǎng)格密度分別為0.5、1，單元階次為二次單元時(shí)的數(shù)值解為1.1468Mpa，二者差值為0，線性單元的數(shù)值解分別為1.14678Mpa、1.14676Mpa，誤差分別為0.017%、0.035%。當(dāng)選擇三角形單元、網(wǎng)格密度為0.5和1時(shí)，二次單元的數(shù)值解分別為1.1478Mpa、1.14813Mpa，誤差為0.017%、0.035%，線性單元的數(shù)值解分別為1.13676Mpa、1.12332Mpa，誤差為0.875%、2.047%。

由上述結(jié)果可以看出：?jiǎn)卧W(wǎng)格越細(xì)密，計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確，與“彈性力學(xué)與有限元”課程的理論學(xué)習(xí)一致;比較三角形和四邊形單元的分析結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：本算例中，四邊形單元的計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確，原因是本模型為規(guī)則長(zhǎng)方形，選擇四邊形單元求解精度更高;比較單元階次可以看出，二次單元比線性單元更加準(zhǔn)確，原因是二次單元增加了中間插值節(jié)點(diǎn)，可以擬合更復(fù)雜的應(yīng)力形狀。上述研究結(jié)論均符合兩門課程的理論要求，同時(shí)進(jìn)行相互驗(yàn)證和補(bǔ)充，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果。

結(jié)語(yǔ)

本文將“彈性力學(xué)與有限元”課程與“有限元分析軟件及應(yīng)用”兩門課程聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)對(duì)同一個(gè)算例進(jìn)行理論解和有限元數(shù)值解的分析，以問(wèn)題為導(dǎo)向，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際工程問(wèn)題的能力。通過(guò)建立模型、設(shè)置參數(shù)、工況定義、分析結(jié)果提取等對(duì)矩形長(zhǎng)豎柱進(jìn)行有限元分析，比較異同、查找規(guī)律，觸類旁通?！耙活}兩課”案例式教學(xué)，在傳統(tǒng)授課模型的基礎(chǔ)上，注重學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)，不僅能夠大大調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，更能夠讓學(xué)生將所學(xué)理論知識(shí)變?yōu)榧河?，真正?shí)現(xiàn)學(xué)以致用、研以致用的終極目的。

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Abstract： The course of Elastic Mechanics and Finite Element and the course of Finite Element Analysis Software and Application are the professional courses for the postgraduates of science and engineering majors in colleges and universities， which occupy a very important position. The course of Elastic Mechanics and Finite Element has many formulas， and the deduction process is cumbersome and difficult to learn， while the course of Finite Element Analysis Software and Application focuses on engineering application， but it is inseparable from the theoretical support of the course of Elastic Mechanics and Finite Element. The two courses are related to each other and different from each other. In order to improve the learning effect and efficiency of the two courses， and achieve the purpose of learning for application and research for application， this paper explores the case-based teaching mode of “one question - two courses”， selects the after-class exercises in the course of Elastic Mechanics and Finite Element， compares the results of theoretical analysis and finite element simulation analysis， and finds out the key points， difficulties and differences in the learning process of the two courses， so as to help students understand the knowledge of Elastic Mechanics and Finite Element， help to combine the theory and method with engineering practice， and achieve the learning effect by analogy. This teaching mode has been successfully applied in the teaching process of graduate students for 5 years， which is worthy of promotion and use.

Key words： Elastic Mechanics and Finite Element; Finite Element Analysis Software and Application; case-based teaching; teaching mode; curriculum reform