數(shù)學(xué)建模案例融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐探討

郭連紅

【摘要】 在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中改進(jìn)教學(xué)方法、靈活調(diào)整教學(xué)內(nèi)容、豐富數(shù)學(xué)教育內(nèi)涵是提升學(xué)生創(chuàng)新思維能力和綜合素質(zhì)，培養(yǎng)高技能人才的一個重要環(huán)節(jié).文章從高等數(shù)學(xué)課程的現(xiàn)狀以及選取的數(shù)學(xué)建模案例出發(fā)，闡述了結(jié)合專業(yè)背景，在課堂或課后小組作業(yè)中融入相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型案例進(jìn)行實踐教學(xué)應(yīng)遵循的幾個原則，并給出具體的教學(xué)實施案例.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模、高等數(shù)學(xué)、教學(xué)實踐

【基金項目】廣州番禺職業(yè)技術(shù)學(xué)院2021年度教育教學(xué)改革項目（2021JG24）

高校開設(shè)的高等數(shù)學(xué)課程，為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程或進(jìn)行科研工作提供了必不可少的知識儲備、理論方法和重要工具，作為培養(yǎng)學(xué)生理性思維的重要載體，高數(shù)課程還為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力提供了學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的機會，這也是學(xué)生將來創(chuàng)造性地應(yīng)用專業(yè)知識乃至發(fā)現(xiàn)新知識的重要基礎(chǔ).因此，教師在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中改進(jìn)教學(xué)方法、豐富數(shù)學(xué)教育內(nèi)涵，是提升學(xué)生創(chuàng)新思維能力和綜合素質(zhì)、保證高校人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要環(huán)節(jié).

數(shù)學(xué)建模是將實際問題用數(shù)學(xué)語言和符號抽象、簡化后，建立能近似描述實際問題的模型，通過模型求解達(dá)到解決實際問題的一種有效方法.數(shù)學(xué)建模過程實質(zhì)上是“問題解決”的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題能力的過程，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的過程[1].因此，教師在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中結(jié)合專業(yè)背景，開展以問題為導(dǎo)向、融入數(shù)學(xué)建模思想、結(jié)合數(shù)學(xué)建模案例的教學(xué)，對于高校數(shù)學(xué)改革研究具有重要意義.

一、高等數(shù)學(xué)課程現(xiàn)狀分析

高等數(shù)學(xué)課程是理工類、經(jīng)管類專業(yè)的一門基礎(chǔ)課程，是大部分高等院校都已開設(shè)的一門必修課程.但是在學(xué)時設(shè)置上各院校及各專業(yè)之間差別較大，部分獨立院校以及大部分高職院校，一般將高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)時設(shè)置為48學(xué)時至90學(xué)時，有些院校的經(jīng)管類專業(yè)甚至不開設(shè)高數(shù)課程.在大面積縮減學(xué)時的背景下，高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主要集中在一元微積分與微分方程這兩大模塊上，只有學(xué)時達(dá)到90學(xué)時以上的專業(yè)才能介紹二元微積分部分的知識.在不同專業(yè)人才培養(yǎng)計劃下，實際的教學(xué)實施過程中的某些內(nèi)容還略有不同.教師的課堂講授方式也較多偏向于傳統(tǒng)教學(xué)方式，利用數(shù)學(xué)工具解決實際問題或相關(guān)學(xué)科問題的實踐也很難在課堂上進(jìn)行.總之，目前的課程設(shè)置較多地偏向于數(shù)學(xué)知識體系本身，缺乏與學(xué)生所學(xué)專業(yè)的融合，與數(shù)學(xué)課程服務(wù)于專業(yè)課程的目標(biāo)有所偏離，不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識學(xué)以致用.

高等數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容是微積分，而微積分的形成和發(fā)展與幾何、物理、天文等研究領(lǐng)域的發(fā)展密切相關(guān)，這為高等數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用提供了很多現(xiàn)實場景[2].因此在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可選用物理、生物以及經(jīng)濟(jì)中許多現(xiàn)象的代表性變量進(jìn)行分析，進(jìn)而建立各類簡易的數(shù)學(xué)模型.這些內(nèi)容融入課堂使得教學(xué)內(nèi)容更加豐富生動，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教師在有限的課堂教學(xué)時間中，找到恰當(dāng)?shù)那腥朦c，通過融入數(shù)學(xué)建模思想及案例，依據(jù)各專業(yè)的不同特征以及對數(shù)學(xué)的不同需求對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行取舍，還可以建立以“模型案例”為中心的知識體系，結(jié)合課后學(xué)生小組合作、社團(tuán)學(xué)習(xí)、師生共研等多樣的教學(xué)實施形式進(jìn)行教學(xué).

二、數(shù)學(xué)建模案例的選取

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行案例教學(xué)的困難主要有兩方面.一方面，數(shù)學(xué)模型往往與具體的數(shù)學(xué)問題以及較為系統(tǒng)、復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法緊密相連;另一方面，低年級本科生、特別是高職院校的學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱，對數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識處于起點階段.因此，如何精選涉及初等數(shù)學(xué)理論和方法且又能體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模思想的案例融入課程就十分重要.通過教學(xué)實踐進(jìn)行總結(jié)，一般地，教師在選取數(shù)學(xué)模型案例時應(yīng)遵循幾個原則：

（一）結(jié)合高等數(shù)學(xué)的知識點，聯(lián)系專業(yè)背景，聯(lián)系生活，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型

教師選用的數(shù)學(xué)模型不僅要來源于生活，要與專業(yè)背景相契合，還要具備一定的實用性與趣味性，不應(yīng)涉及太深的專業(yè)知識.所以，在選取數(shù)學(xué)模型進(jìn)行案例教學(xué)時，教師要針對不同專業(yè)的需求，盡量選擇能精準(zhǔn)服務(wù)專業(yè)課程的案例.例如，在電子技術(shù)、工業(yè)設(shè)計、電氣自動化等理工類專業(yè)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師講授極限、無窮小概念時，可結(jié)合歐姆定律設(shè)計相應(yīng)的物理問題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;講授導(dǎo)數(shù)時，可結(jié)合變壓器原理與應(yīng)用，設(shè)計背景問題引入數(shù)學(xué)模型案例;講授不定積分、定積分時，可結(jié)合交流電路的分析，設(shè)計相應(yīng)問題建立數(shù)學(xué)模型.在經(jīng)管類、建工造價類專業(yè)高等數(shù)學(xué)的授課中，教師講授重要極限時，可引入單利與復(fù)利的計算方法，結(jié)合第二重要極限，建立極限在經(jīng)濟(jì)應(yīng)用中的數(shù)學(xué)模型;講授導(dǎo)數(shù)知識時，可結(jié)合常用的經(jīng)濟(jì)函數(shù)，依據(jù)最大利潤原則，建立相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型.

（二）課堂融入數(shù)學(xué)模型案例目標(biāo)明確——引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用

在此目標(biāo)指引下，教師所選模型案例的理論應(yīng)該簡明、易懂，能夠在較短時間內(nèi)講解清楚，不占用過長的課堂時間，在進(jìn)行課程設(shè)計時，要遵循學(xué)以致用的目標(biāo)，做到精心設(shè)計，而不是用“模型案例”的內(nèi)容占用高等數(shù)學(xué)的課堂.

（三）數(shù)學(xué)建模案例的引入，宜采用循序漸進(jìn)的方式

教師應(yīng)充分了解學(xué)生的學(xué)情，面對學(xué)生多樣化的情況，想要達(dá)到數(shù)學(xué)建模案例對課堂教學(xué)效果的輔助作用，就需要在課前精心設(shè)計數(shù)學(xué)模型的講解過程，內(nèi)容上安排合理、講解通俗、循序漸進(jìn)，同時上課語言幽默和風(fēng)趣，增加師生互動環(huán)節(jié)，從而活躍課堂氣氛，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)動力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

三、數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)實踐

（一）在概念中引入數(shù)學(xué)建模案例

任何一門學(xué)科的核心概念就是這門學(xué)科的精髓，高等數(shù)學(xué)的概念相對抽象，教師在教學(xué)時可以通過引入數(shù)學(xué)建模案例，抓住復(fù)雜的概念的實質(zhì)，讓學(xué)生把關(guān)鍵的概念真正學(xué)透，體會到數(shù)學(xué)的趣味[4].

案例1 導(dǎo)數(shù)定義——邊際分析模型

教師在講解導(dǎo)數(shù)的概念時結(jié)合邊際分析，將導(dǎo)數(shù)概念中的各個要素，分別對應(yīng)邊際分析各要素.比如，結(jié)合經(jīng)濟(jì)學(xué)中常用的邊際收益函數(shù).當(dāng)函數(shù)因變量（收益）隨自變量（銷量）發(fā)生變化時，導(dǎo)數(shù)就提供了關(guān)于這種變化的大小和方向的信息.設(shè)產(chǎn)品銷量是連續(xù)變化的，且產(chǎn)銷平衡，則銷量從x增加到x+Δx，引起的總收益增量為

ΔR=R（x+Δx）-R（x）（1）

兩者的比值表示在x增加到x+Δx之間總效益的平均變化率為

ΔRΔx=R（x+Δx）-R（x）Δx

當(dāng)Δx→0時，若

limΔx→0ΔRΔx=limΔx→0R（x+Δx）-R（x）Δx（2）

存在，則稱此極限為邊際收益，在數(shù)學(xué)上稱其為收益函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，記為R′（x）.這樣就將導(dǎo)數(shù)概念與經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際效益的問題結(jié)合起來，更易于學(xué)生理解.

（二）在重要結(jié)論、計算方法及定理應(yīng)用中引入數(shù)學(xué)建模案例

高等數(shù)學(xué)的課程特點是概念多、符號多、運算規(guī)律與定理多，知識聯(lián)系緊密.大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，并不清楚為什么要學(xué)這門課程中那么多的定理，也不清楚這門課程對專業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及自身綜合素質(zhì)的提高到底有多大作用.因此，如果教師在講述定理時能將其與相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型有機結(jié)合，就能把看起來枯燥無味的定理與生活實際建立聯(lián)系，起到事半功倍的效果.

案例2 第二重要極限——復(fù)利計算模型

利息就是借方按照合約向貸方支付的報酬.例如，客戶把錢存入銀行，銀行按照規(guī)定的利率和期限付息.依據(jù)初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，同學(xué)們知道生活中常用于計算利息的方法有兩種，一種是單利計算，另一種是復(fù)利計算.假設(shè)本金為A0元，存款年利率為r，存款期限為n年時，按單利計算方法得n年后的本息和An為

An=A0+A0rn

按復(fù)利計算時，如果以一年為一個計息期的復(fù)利計算方法，每年利率為r，n年后的本息和An如表1所示.

如果以一年k個計息期的復(fù)利計算方法，則第n年后的本息和為

An=A01+rkkn（3）

如果按連續(xù)復(fù)利計算，即n→∞，那么第n年后的本息和為

An=A0limk→∞1+rk=A0limk→∞1+rk=A0enr（4）

當(dāng)本金A0=1000元，存款的年利率為r=6%時，依據(jù)上述算法就可以得到具體年份的本息和.由于在同樣本金下，計息次數(shù)越多，銀行支付給存款人的利息就越多，因此連續(xù)復(fù)利計算利息的方法我國銀行目前還沒有采用.在第二重要極限的課堂教學(xué)中，教師引入復(fù)利計算模型能讓學(xué)生體驗到重要極限在實際生活中的現(xiàn)實意義，同時，可由此引導(dǎo)教育學(xué)生遠(yuǎn)離各類借貸平臺，從而起到課程育人作用.

案例3 微分方程的可分離變量法——固定資產(chǎn)折舊模型

某公司一臺機器設(shè)備在任意時間的折舊率與當(dāng)時的價格成正比，假設(shè)機器剛進(jìn)貨全新時的價格為2萬元，5年末的價格為1.2萬，求該設(shè)備出廠10年后的價值.設(shè)M表示設(shè)備的價值，則M=M（t），由于折舊率與當(dāng)時價格成正比，則有微分方程

dMdt=-kM（5）

其中比率系數(shù)k>0，這就是折舊-價值的數(shù)學(xué)模型.

由分離未知量的思想，先將方程（5）轉(zhuǎn)化為

dMM=-kdt（6）

再對方程（6）兩邊積分得M（t）=Ce-kt.由于設(shè)備的初始價格為2萬元，可知M（0）=2，得C=2.將t=5，M=1.2代入即 1.2=2e-5k，解得k=-0.2ln 0.6，所以

M（t）=2e0.2tln 0.6（7）

從而該設(shè)備出廠10年后的價值為M（10）=2e0.2×10×ln 0.6=0.72元.

由此結(jié)合實例歸納出可分離變量的微分方程類型為

dydx=f（x）g（y）（8）

可分離變量微分方程求解的一般步驟可總結(jié)為：

第一步分離變量，將方程可以變形為

1g（y）dy=f（x）dx（9）

第二步方程兩邊同時積分，如果f（x）與1g（y）可積，則方程兩邊同時積分，得到方程

∫1g（y）dy=∫f（x）dx

教師將可分離變量微分方程的解法以一個實例為載體進(jìn)行介紹，給枯燥的算法賦予應(yīng)用背景，易于學(xué)生對算法的理解，并帶領(lǐng)學(xué)生體驗用數(shù)學(xué)解決實際問題的過程.

（二）在生活中尋找熱點，引入數(shù)學(xué)建模案例

生活中的很多實際問題，例如人口問題、管理問題、抵押貸款、傳染?。ㄈ鏢ARS、新型冠狀肺炎）的傳播甚至減肥問題等，這些社會熱點問題的內(nèi)在規(guī)律都是可以通過數(shù)學(xué)模型去解釋的.

案例4 科學(xué)防疫——傳染病模型

研究傳染病模型，對社會經(jīng)濟(jì)的發(fā)展與維持社會秩序有重要意義.通過查閱資料，同學(xué)們可以查到關(guān)于傳染病的多個經(jīng)典模型.2020年新冠疫情暴發(fā)，科學(xué)家從數(shù)學(xué)領(lǐng)域、醫(yī)學(xué)領(lǐng)域?qū)σ咔檫M(jìn)行分析，依據(jù)經(jīng)典傳染病模型，加入新的因素變量進(jìn)行深入研究，也是疫情防控的一種有效手段.但是經(jīng)典的傳染病模型和熱點疫情問題對于大部分學(xué)生來說，難以用現(xiàn)有知識去解決.對此，教師在高等數(shù)學(xué)課程中引入簡化的傳染病模型，是為了提供一個讓學(xué)生更容易理解和支持防控疫情各項措施的輔助途徑.

問題：一艘郵輪上有600名乘客，其中一名游客患某種傳染疾病，12小時后已有3人感染發(fā)病.由于該傳染病早期癥狀不明顯，且隔離措施缺乏未能及時實施.疫情防控部門可在游客確診之后的60～72小時內(nèi)將有效疫苗送達(dá)，并立即接種.設(shè)計數(shù)學(xué)模型估算出疫苗運達(dá)時已感染傳染病的人數(shù).

問題分析：設(shè)y（t）表示發(fā)現(xiàn)首例感染者后t時刻（單位小時）的感染人數(shù)，則此時未感染的人數(shù)為600-y（t），則y（0）=1，y（12）=3.

假設(shè)極端情況，當(dāng)感染人數(shù)y（t）很少時，只有很少游客能接觸到感染者，此時傳染病的傳播速度慢;當(dāng)感染人數(shù)y（t）很多時，未感染的人數(shù)600-y（t）很少，此時傳染病的傳播速度也很慢.不考慮極端情況，只研究當(dāng)感染者很多以及未感染者很多時，傳染病的傳播速度很快的情況.由此可知，傳染病的發(fā)病率與未被感染人數(shù)有關(guān)，與未被感染者人數(shù)也有關(guān).由此可建立如下微分方程模型

dydt=ay（600-y），a為常數(shù).（10）

依據(jù)微分方程求解通解為

y（t）=6001+Ce-600at（11）

代入初始值解得

C=599，y（12）=6001+Ce-600a×12=3

600a=-112ln5973×599≈0.09183

于是

y（t）=6001+599e-0.09183t

經(jīng)過計算得到

y（60）≈175，y（72）≈332

從模型計算結(jié)果發(fā)現(xiàn)，疫苗花費72小時運到時感染人數(shù)是花費60小時運到時感染人數(shù)的2倍，可見在傳染病的處理過程中及時采取隔離措施是防疫重要的一環(huán).目前新冠疫情仍在全球肆虐，我國采取盡早隔離、動態(tài)清零、全民防疫的有力措施，有效地控制了新冠病毒的傳播與變異，這不僅是我國傳染病學(xué)的研究成果，更體現(xiàn)了中國特色社會主義制度的優(yōu)勢所在.教師在高等數(shù)學(xué)課程中引入熱點問題，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的同時，還學(xué)習(xí)了傳染病的防治方法，通過與現(xiàn)實疫情防控效果的對比，對學(xué)生進(jìn)行了一次愛國主義教育.

四、小結(jié)

數(shù)學(xué)建模案例融入高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，能夠提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)以致用，鍛煉學(xué)生運用數(shù)學(xué)工具的思維能力.在教學(xué)實踐中，首先，教師要設(shè)計和選用大部分學(xué)生都比較熟悉且能夠與學(xué)生所學(xué)專業(yè)知識的背景緊密聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型，布置相應(yīng)的課后小組作業(yè)，能產(chǎn)生較好的教學(xué)效果;其次，教師選擇模型應(yīng)該與高等數(shù)學(xué)中的某個知識點契合，重在引入建模思想，理論簡明易懂，能夠在較短時間內(nèi)講解完，不占用過多課堂時間;最后，教師通過小組分享的形式，學(xué)習(xí)每一單元后分配一小節(jié)課用于分享課后建模作業(yè)，能夠大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性.

面對目前高等數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問題和困境，各高校都在依據(jù)自身需求進(jìn)行高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革.教師在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中融入數(shù)學(xué)建模思想，倡導(dǎo)數(shù)學(xué)建模的理念，組織數(shù)學(xué)建模競賽，有利于引導(dǎo)學(xué)生勤于思考，培養(yǎng)其善于提出問題并分析問題的習(xí)慣，訓(xùn)練其應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法去解決實際問題的能力，從而提高學(xué)生的分析、計算、推理能力，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力與團(tuán)隊協(xié)作能力等，這些理念與目標(biāo)也是高校數(shù)學(xué)教育工作者在日常教學(xué)工作中需要不斷反思、研究與踐行的.

【參考文獻(xiàn)】

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