張序萍 郭秀榮 呂亞男

[摘 要] “線性代數(shù)”是高校理工科和經(jīng)濟類專業(yè)必修的一門重要基礎(chǔ)課。課程思政要根據(jù)學(xué)生的認知水平，以數(shù)學(xué)思想方法為基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)線性代數(shù)簡潔、抽象而嚴謹?shù)奶攸c，促進學(xué)生的全面發(fā)展。把握“線性代數(shù)”的課程特點，基于課程的教學(xué)規(guī)律，提出了融入課程思政的《線性代數(shù)》教材建設(shè)目標。以家國情懷、辯證思維、科學(xué)精神與人文素養(yǎng)為思想政治主題，構(gòu)建了“線性代數(shù)”課程思政體系。將線性代數(shù)發(fā)展史和概念的唯物辯證法詮釋寫入教材，對融入思想政治教育的教材編寫做了有益的嘗試。

[關(guān)鍵詞] 課程思政;線性代數(shù);教材建設(shè)

[基金項目] 2020年度山東科技大學(xué)教育教學(xué)研究“群星計劃”項目“新時代背景下融入思政教育的線性代數(shù)教材建設(shè)研究”（QX2020M85）;2018年度山東科技大學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團隊（JXTD20180509）;2020年度山東科技大學(xué)思想政治教育研究課題“大學(xué)數(shù)學(xué)公共基礎(chǔ)課課程思政建設(shè)研究”（SZJYY-20089）;2021年度山東科技大學(xué)在線課程建設(shè)項目“線性代數(shù)與空間解析幾何”（ZXK2021094）

[作者簡介] 張序萍（1970—），女，山東泰安人，碩士，山東科技大學(xué)公共課教學(xué)部副教授，主要從事優(yōu)化理論與算法研究。

[中圖分類號] G641 [文獻標識碼] A [文章編號] 1674-9324（2022）21-0177-04 [收稿日期] 2022-03-01

“線性代數(shù)”是高等院校非數(shù)學(xué)專業(yè)理工科和經(jīng)濟類專業(yè)必修的一門重要的基礎(chǔ)課，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、技術(shù)及管理學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用，為“運籌學(xué)”“數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)”“線性控制”等多門專業(yè)課程提供技術(shù)支撐。以往的“線性代數(shù)”教學(xué)中多以知識傳授為中心，思想品德教育未得到足夠重視，造成了一定程度的思教分離。通過“線性代數(shù)”課程思政改革，將課程教學(xué)與思想政治教育有機融合，建設(shè)相對完善的課程思政教學(xué)體系，全面貫徹全員、全程、全方位育人理念，回歸和重塑高等教育教學(xué)“教書育人、立德樹人”的教育理念，較好地實現(xiàn)課程教學(xué)與思想政治教育的同向同行。

邱偉光認為，課程思政建設(shè)重在堅持社會主義辦學(xué)方向，落實立德樹人的根本任務(wù)，確保育人工作貫穿教育的全過程[1]。其生成路徑為：教師是關(guān)鍵，教材是基礎(chǔ)，資源挖掘是先決條件，制度建設(shè)是保障。劉三明通過課程內(nèi)容的起源與發(fā)展、數(shù)學(xué)家的故事、教學(xué)案例開展課程思政，同時結(jié)合教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生進行辯證唯物主義教育[2]。孫曉青、薛秋芳、秦新強提出了課程思政在“線性代數(shù)”課程中的四種實施方案：堅守定位、多元融合、科學(xué)精神、學(xué)以致用[3]。王洋、劉鵬飛等通過調(diào)查研究，指出國內(nèi)《線性代數(shù)》教材建設(shè)重理論輕應(yīng)用，重抽象輕背景，教材內(nèi)容每年變化不大，跟不上時代的步伐，不利于學(xué)生自學(xué)[4]。鄭文晶將美國著名數(shù)學(xué)教育家David C.Lay編著的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》與國內(nèi)同類教材進行比較研究，發(fā)現(xiàn)美國教材應(yīng)用性強，突出幾何直觀，教材題量大、類型多，數(shù)值計算不復(fù)雜，便于學(xué)生自主學(xué)習(xí)[5]。教材建設(shè)是思想政治建設(shè)之根本，大學(xué)數(shù)學(xué)課程思政尚在探索實踐階段，融入課程思政的《線性代數(shù)》教材并不多見。因此，立足于“線性代數(shù)”教學(xué)改革實踐，挖掘課程中的思政元素，充分體現(xiàn)線性代數(shù)中的思想方法，建設(shè)相對完善的課程思政教學(xué)體系，出版既符合課程思政要求，又符合線性代數(shù)培養(yǎng)目標的新教材，以實現(xiàn)教書育人的目標。

一、“線性代數(shù)”的課程特點

“線性代數(shù)”課程內(nèi)容包括基礎(chǔ)理論和應(yīng)用兩部分。在基礎(chǔ)理論中，以行列式和矩陣作為研究工具，研究核心則是代數(shù)角度的線性方程組和幾何方向的向量組，通過向量組是其極大無關(guān)組的線性組合，解決了線性方程組解的結(jié)構(gòu);而在應(yīng)用部分，則以線性方程組為工具，研究矩陣的相似對角化及二次型的標準化。雖然線性代數(shù)內(nèi)容少、學(xué)時短，但《線性代數(shù)》教材更像壓縮餅干，對于學(xué)生來說，內(nèi)容抽象，不易理解，計算過程煩瑣，計算結(jié)果往往也不知對錯。“線性代數(shù)”課程具有以下特點。

一是概念多，聯(lián)系緊密，相互滲透，且這種聯(lián)系比較隱蔽，分散于各章節(jié)中。學(xué)習(xí)中要善于尋找新舊知識點之間的聯(lián)系，將其進行對比，不斷歸納與總結(jié)，以“舊”促“新”，既鞏固舊知識的記憶，又加深新知識的理解。

二是符號多，下標多，有時下標中還帶有下標。學(xué)好線性代數(shù)，符號及其下標是必須要過的一關(guān)，要通過符號抽象概括的過程了解其背后代表的含義，在重復(fù)練習(xí)中不斷熟練掌握。

三是有些運算性質(zhì)與初等數(shù)學(xué)不同，甚至相悖。在初等數(shù)學(xué)中，數(shù)的乘法滿足交換律、零因子律和消去律，而這些性質(zhì)對于矩陣的乘法運算均不成立，因此，要學(xué)會分析矩陣乘法不滿足交換律的原因及由此帶來的影響。

四是相對于高數(shù)而言，線性代數(shù)部分內(nèi)容對抽象思維能力與邏輯思維能力要求較高，如矩陣的秩、向量組的線性相關(guān)性、向量組的秩與向量空間等，這些概念比較抽象，需要從概念的由來、前后知識點的聯(lián)系入手，向量組的有關(guān)概念需要將代數(shù)與幾何相結(jié)合，才能逐步加深理解，掌握實質(zhì)。

課程思政要充分了解學(xué)生的認知特點，把握其內(nèi)在需求和思想意識，以線性代數(shù)中的思想方法為基礎(chǔ)，充分體現(xiàn)線性代數(shù)簡潔、抽象而嚴謹?shù)奶攸c，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力及運算能力，提高學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力，為后繼課程的學(xué)習(xí)打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

二、融入思想政治教育的《線性代數(shù)》教材的建設(shè)目標

把握“線性代數(shù)”的課程特點，基于課程的教學(xué)規(guī)律，充分挖掘線性代數(shù)在數(shù)學(xué)思想和方法上的辯證唯物主義世界觀和方法論，梳理線性代數(shù)發(fā)展歷史上的重大科學(xué)發(fā)現(xiàn)和科學(xué)理論，挖掘其體現(xiàn)的開拓進取的科學(xué)精神和家國情懷，構(gòu)建融合課程思政的課程體系，同時編寫出既符合人才培養(yǎng)目標，又適合課程需要且融入思想政治教育的教材，將知識傳授與社會主義核心價值觀相結(jié)合，最終達到提高課程教學(xué)質(zhì)量及教學(xué)效果的目的。

出版融合課程思政的《線性代數(shù)》教材，重在培養(yǎng)學(xué)生理性、嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度，塑造正確的世界觀、人生觀和價值觀。通過數(shù)學(xué)思想和方法的分析與解讀，讓學(xué)生對事物、方法、規(guī)律有一種本質(zhì)認識，培養(yǎng)學(xué)生辯證的唯物主義觀;通過了解我國在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的貢獻和優(yōu)勢，增強學(xué)生的民族自豪感和文化自信。

三、“線性代數(shù)”課程思政體系的構(gòu)建

基于線性代數(shù)的發(fā)展史、數(shù)學(xué)思想、常用方法和研究內(nèi)容等方面的特色，將“線性代數(shù)”課程的思政元素概括為四大主題：家國情懷、辯證思維、科學(xué)精神與人文素養(yǎng)。從課程思政主題出發(fā)，挖掘思政元素，確定思想政治融入點，合理安排每一個思政元素融入的廣度與深度，使思想政治教育潤物細無聲，將價值觀培育和塑造“基因式”地植入“線性代數(shù)”課程中。

“線性代數(shù)”的教學(xué)內(nèi)容包括行列式、矩陣、向量組與線性方程組、特征值與特征向量及二次型五章。

（一）第一章《行列式》

1.行列式的定義從二階、三階，推廣到n階，遵循了從感性到理性、從特殊到一般、從具體到抽象的邏輯認識過程，可以發(fā)展學(xué)生的觀察能力，進而提高學(xué)生的抽象和邏輯思維能力。同時，定義中連加符號的使用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)符號的簡潔之美。

2.行列式計算有定義法、三角化與降階三種方法，依據(jù)行列式元素的不同特點，選擇相應(yīng)的計算方法，由此培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)應(yīng)變能力，而且通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生堅韌不拔的刻苦鉆研精神。

（二）第二章《矩陣》

1.在講解矩陣的定義時，引導(dǎo)學(xué)生舉例周圍常見的數(shù)表，以母校建校歷史上的重要時間節(jié)點為例，了解母校的建校歷程，培養(yǎng)學(xué)生以校為家的愛校情懷。同樣，以慶祝建黨100周年為契機，將我黨百年歷史上的重要時間和重大歷史事件點進行梳理，培養(yǎng)學(xué)生的愛國愛黨之情。

2.數(shù)的乘法滿足交換律、零因子率與消去律，而矩陣的乘法則不滿足，這就相應(yīng)地帶來了一系列的“后遺癥”，要想呈現(xiàn)與數(shù)的運算同樣的效果，需要添加兩矩陣可交換的條件。因此，知識的遷移是有條件的，不能想當(dāng)然地將已有結(jié)論復(fù)制到新的知識中，需要本著實事求是的學(xué)習(xí)態(tài)度，才可以獲得準確的認知。

3.采用伴隨矩陣法求逆矩陣時，需要注意行列式與伴隨矩陣的順序、代數(shù)余子式的符號和轉(zhuǎn)置，計算結(jié)果正確與否，可以通過與原矩陣相乘是否為單位矩陣進行檢驗。通過計算步驟的分析，讓學(xué)生體會到嚴謹、仔細、精確的計算特色，從而培養(yǎng)學(xué)生理性、嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度，提高計算的準確率。

4.從行階梯形矩陣可以區(qū)分零行與非零行，行最簡形矩陣則將首非零元及其所在列進行了簡化，而標準形則實現(xiàn)了非零行的行數(shù)與非零列的列數(shù)的一致性。通過以上分析，引導(dǎo)學(xué)生明確每一次初等變換的目的，使學(xué)生從一個簡單機械的計算器，轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€善于思考的學(xué)習(xí)者。同時我們從各階段性產(chǎn)物中，非常清晰地明確矩陣的結(jié)構(gòu)，達到了大道至簡的效果，為第三章線性方程組的求解及向量組問題的討論奠定了基礎(chǔ)。

5.矩陣的秩包含兩種情形，分別用“壽命”和“年齡”做類比，從而加深理解。2021年恰逢山東科技大學(xué)七秩華誕，其中的“秩”就是“十年”的意思，所以這樣進行類比，也就存在其合理性。由此可以透過現(xiàn)象，把握概念的本質(zhì)，透徹地理解概念的本意，為后面的應(yīng)用打下了扎實的基礎(chǔ)。

（三）第三章《線性方程組與向量組》

1.在消元法這一節(jié)中，首先通過分析《九章算術(shù)》方程一章中的例子，用分離系數(shù)法得出方程組的增廣矩陣，然后用直除法求得線性方程組的解，這就是高斯消元法的雛形，由此讓學(xué)生感受我國古人的智慧，堅定文化自信。

2.在向量組的線性組合這一節(jié)中，闡釋國是家的線性組合，中華民族是由56個民族組成的命運共同體。習(xí)近平總書記強調(diào)，中華民族和各民族的關(guān)系，是一個大家庭和家庭成員的關(guān)系，各民族的關(guān)系是一個大家庭里不同成員的關(guān)系。促進各民族像石榴籽一樣緊緊抱在一起，共同守衛(wèi)祖國邊疆、共同創(chuàng)造美好生活。這就更加堅定了學(xué)生堅持民族團結(jié)、實現(xiàn)中華民族偉大復(fù)興的信心。

3.線性相關(guān)與線性無關(guān)是描述向量組線性相關(guān)性時的一對矛盾，它們相互對立，非此即彼;同時，線性相關(guān)與線性無關(guān)在局部與整體上是相互統(tǒng)一的;線性無關(guān)的向量組添加其線性組合組成的向量，則變?yōu)榫€性相關(guān)的向量組，而線性相關(guān)的向量組中也可以找到極大線性無關(guān)組，極大無關(guān)組與向量組等價，從而線性相關(guān)與線性無關(guān)可以相互轉(zhuǎn)化，這正是線性相關(guān)與線性無關(guān)的對立統(tǒng)一。利用其對立性分析問題，用統(tǒng)一性解決問題。這一切都是唯物辯證法對立統(tǒng)一規(guī)律的具體體現(xiàn)，從而提高學(xué)生的辯證思維能力。

4.極大線性無關(guān)組與向量空間的基、解空間的基礎(chǔ)解系雖然名稱不同，但本質(zhì)上都是相同的。解空間的通解是基礎(chǔ)解系的所有線性組合，達到了利用有限把握無限的目的，再次見證了有限與無限的對立統(tǒng)一，可培養(yǎng)學(xué)生的唯物辯證思維能力。

5.向量組的線性表示可以轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組求解，向量組的線性相關(guān)性與齊次線性方程組密切相關(guān)，解決問題的工具是矩陣行列式，所以向量組、線性方程組、矩陣與行列式是線性代數(shù)基礎(chǔ)理論的四個重要組成部分，培養(yǎng)學(xué)生“四位一體”的策略思想，可以獲知線性方程組和向量組的全貌，有效地解決相關(guān)問題。

（四）第四章《特征值與特征向量》

1.向量組的施密特正交化公式巧妙地利用了投影與正交投影，將公式的推導(dǎo)與幾何意義相結(jié)合，實現(xiàn)了代數(shù)與幾何的完美統(tǒng)一，堪稱數(shù)學(xué)和諧之美。

2.求解矩陣的特征值與特征向量其實就是利用線性方程組研究矩陣的過程，矩陣的相似對角化就是發(fā)揮了相似變換不改變矩陣的特征值這一特性而形成的，相似對角化之后，方陣的冪及多項式的計算均得到簡化，達到了化繁為簡、以簡馭繁的目的。

（五）第五章《二次型》

1.二次型與實對稱矩陣建立了一一對應(yīng)的關(guān)系之后，二次型化標準形的過程就是實對稱矩陣正交相似對角化的過程，二次型的標準形不唯一，而規(guī)范性唯一。二次型的標準化與規(guī)范化將其簡單化，便于把握本質(zhì)特征，有利于正定性的討論。從中體會線性代數(shù)處理問題的特色，善于透過現(xiàn)象把握本質(zhì)，獲得對于事物的正確認知。

2.矩陣的三種關(guān)系——等價、相似與合同，分別對應(yīng)了三種變換——初等變換、相似變換與合同變換，等價關(guān)系下的不變量是秩，相似關(guān)系下的不變量是特征值，而合同關(guān)系下的不變量就是正負慣性指數(shù)。以上種種“變與不變”，相輔相成，是“形變質(zhì)不變”，是形式和內(nèi)容的和諧統(tǒng)一[6]。

四、融入課程思政的《線性代數(shù)》教材的編寫

2017和2019年，山東科技大學(xué)基礎(chǔ)課部的骨干教師編寫并出版了《線性代數(shù)》教材的第一版和第二版，在泰安校區(qū)信息系、機電系、資土系、經(jīng)管系各專業(yè)中使用，每年度使用學(xué)生1500名左右。對于這兩版教材，我們自我評價為：它是專門為普通本科院校工科及經(jīng)管專業(yè)而編寫的，內(nèi)容系統(tǒng)完整，章節(jié)編排合理，課時安排得當(dāng)，利于開展課堂教學(xué);理論邏輯性與實用性兼顧，深度適合本?？茖W(xué)生的學(xué)習(xí);概念準確，語言簡潔、直觀，符號規(guī)范，數(shù)形結(jié)合，深入淺出，化難為易，便于學(xué)生的理解和接受;例題有代表性，課后習(xí)題分層設(shè)計，總復(fù)習(xí)題與期末考試和考研題型相匹配，便于學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)，準備考試，題量適中，難度適宜，便于自主學(xué)習(xí);課后配有軟件實現(xiàn)，便于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

2021年再版的第三版教材，適量增加了線性代數(shù)發(fā)展史的介紹，并用唯物辯證法的觀點對一些重要概念進行了詮釋。融入思政元素的內(nèi)容，有的放在了章節(jié)的開篇，有的放在了概念或定理的后面，闡述了概念或定理的哲學(xué)意義，保持了原教材的知識體系和結(jié)構(gòu)，對于課程思政融入《線性代數(shù)》教材，做了有益的嘗試。教師普遍反映教學(xué)效果顯著，學(xué)生亦覺得可讀性強，有獲得感，實現(xiàn)了知識傳授和價值引領(lǐng)的有機統(tǒng)一。

2021年，“線性代數(shù)”與“空間解析幾何”課程已經(jīng)被山東科技大學(xué)批準為在線建設(shè)課程，融入思政元素的《線性代數(shù)》教材也入選煤炭高等教育“十四五”規(guī)劃教材。今后，在建設(shè)在線課程的過程中，應(yīng)不斷豐富和完善“線性代數(shù)”課程的思政元素和教學(xué)設(shè)計，在第三版教材的基礎(chǔ)上，不斷深化，探索每個思政元素融入的深度和廣度，編寫出更高質(zhì)量的《線性代數(shù)》教材。

參考文獻

[1]邱偉光.課程思政的價值意蘊與生成路徑[J].思政理論教育，2017，22（7）：10-14.

[2]劉三明.將思政教育融入應(yīng)用工程數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探索[J].教育教學(xué)論壇，2020（22）：346-347.

[3]孫曉青，薛秋芳，秦新強.新工科形式下“課程思政”在《線性代數(shù)》課程中的體現(xiàn)[J].當(dāng)代教育實踐與教學(xué)研究，2019（13）：48-49.

[4]王洋，劉鵬飛，王玉杰.新工科數(shù)學(xué)類課程體系構(gòu)建和教材建設(shè)[J].高師理科學(xué)刊，2019，39（5）：64-67.

[5]鄭文晶.從中美線性代數(shù)教材對比談線性代數(shù)教學(xué)改革[J].呼倫貝爾學(xué)院學(xué)報，2015，23（5）：104-107+70.

[6]李曉紅.淺談線性代數(shù)中的哲學(xué)思想[J].教育教學(xué)論壇，2017（39）：219-220.

A Study of Integrating Ideological and Political Education into Linear Algebra Textbooks

ZHANG Xu-ping， GUO Xiu-rong， LYU Ya-nan

（Department of Public Courses， Shandong University of Science and Technology， Tai’an， Shandong 271000， China）

Abstract： Linear Algebra is an important basic course required for science， engineering and economics majors in colleges and universities. The integration of “curriculum ideological and political education” into the course should be based on the cognitive level of students and the mathematical thinking methods， fully taking the concise， abstract and rigorous characteristics of Linear Algebra course into consideration， so as to promote the all-round development of students. Based on the characteristics of the Linear Algebra course and the teaching law of the course， the goal of integrating “curriculum ideological and political education” into the textbooks of Linear Algebra is put forward. Taking patriotism， dialectical thinking， scientific spirit and humanistic quality as the topics of ideological and political education， an ideological and political education system of Linear Algebra course is constructed. The dialectical materialism interpretation of the history and concepts of linear algebra is written into the textbook. This is an attempt to integrate ideological and political education into the the teaching materials.

Key words： “curriculum ideological and political education”; Linear Algebra; teaching material construction