摘要:在百萬擴(kuò)招背景下,在“三教”改革的引領(lǐng)下,高職數(shù)學(xué)課程革命隨即展開,目的是努力提升學(xué)生可持續(xù)發(fā)展的能力,培養(yǎng)一線需要的實(shí)用人才.對于高等數(shù)學(xué)中的三大計(jì)算均以“以直代曲”為切入點(diǎn),通過問題的分析、分解,轉(zhuǎn)移了主要矛盾,重點(diǎn)解決主要矛盾的同時(shí),培養(yǎng)學(xué)生尋找適合自己的學(xué)習(xí)方法,學(xué)會基本的數(shù)學(xué)表達(dá)方式.
關(guān)鍵詞:高職數(shù)學(xué);以直代曲;共識;拓展端口
中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)18-0055-03
李克強(qiáng)總理在2019年的《政府工作報(bào)告》中要求的百萬擴(kuò)招政策,使職業(yè)院校生源結(jié)構(gòu)更加多元化,必須全面構(gòu)建開放式、個(gè)性化的學(xué)習(xí)體系.數(shù)學(xué)課程在其中扮演了重要角色.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程不僅是知識積累過程,更是恰當(dāng)學(xué)習(xí)方法的探索與掌握的過程.
1 調(diào)查摸底,背景分析
經(jīng)過調(diào)查問卷、座談會和聊天交流等摸底后,發(fā)現(xiàn)擴(kuò)招生源的結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜,可以用“大”來概括:一是年齡相差大,出現(xiàn)了父子同學(xué);二是基礎(chǔ)相差大,有簡單四則運(yùn)算不熟練的,也有剛學(xué)過一些微積分的;三是學(xué)習(xí)目的相差大,有剛出校門暫不準(zhǔn)備工作的,也有在社會上“闖蕩”多年急需“充電”的;四是可支配時(shí)間相差大,有可脫產(chǎn)的,有工作脫不開身的.
基于生源的實(shí)際情況,在數(shù)學(xué)課堂上必須破解規(guī)?;蛡€(gè)性化、共性需求和個(gè)性需求包容的平衡結(jié)構(gòu)瓶頸,形成更加恰當(dāng)?shù)摹耙虿攀┙獭狈独?基本思路為:首先,學(xué)習(xí)的基本路徑必須是“平緩”的,必須是“深入淺出”的.其次,以“以直代曲”為切入點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生去思考,去分析問題、分解問題、解決問題,在實(shí)現(xiàn)問題分解的同時(shí)也實(shí)現(xiàn)了難點(diǎn)和主要矛盾的轉(zhuǎn)移.第三,留有“端口”,許多“支節(jié)”問題、特殊問題,不作為課堂內(nèi)容,或者在課堂上提示一下,作為課后作業(yè)布置.目的是培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力,尋找最佳的個(gè)性化學(xué)習(xí)方法,實(shí)現(xiàn)教與學(xué)的分層分類.
2 揚(yáng)長避短,以人為本
2.1 拾遺補(bǔ)缺
目的是解決部分基礎(chǔ)差的同學(xué)存在的“短板”,以小組、結(jié)對為主,互幫互學(xué),老師適當(dāng)補(bǔ)充講解、督促、檢查,已經(jīng)會的同學(xué)通過互幫互學(xué)時(shí)的講解能提高掌握程度,提高表達(dá)能力,沒學(xué)過的同學(xué)能找到自己的“不足”之處.
2.2 清障梳理
以基本初等函數(shù)為載體和目標(biāo),從數(shù)的運(yùn)算,到用字母代替數(shù),再到方程、函數(shù),最后是平面直角坐標(biāo)系中的圖象、性質(zhì),引領(lǐng)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)“短板”障礙,并解決問題.初步建立數(shù)形結(jié)合的思想方法:由圖象記憶性質(zhì),由性質(zhì)記憶圖象.2.3 以直代曲
作為微積分學(xué)中三大計(jì)算的切入(引入)點(diǎn),通過“承認(rèn)誤差、減小誤差、消滅誤差”三步驟,將問題進(jìn)行邊分析、邊分解、邊解決,形成數(shù)學(xué)中樸素的、易懂易用的思想方法:“以直代曲”.
2.3.1 數(shù)列極限的概念是以圓內(nèi)接正多邊形面積代替圓面積來引入,具體做法如下.
(1)在以圓內(nèi)接正三角形面積S3、內(nèi)接正六邊形面積S6、內(nèi)接正十二邊形面積S12、…來代替圓面積S,用PPT動畫表現(xiàn)出來,可以與同學(xué)們逐步達(dá)成共識:①用直線段代替了圓弧線;②內(nèi)接正多邊形面積是可以計(jì)算的;③形成了一個(gè)無窮數(shù)列;④每一項(xiàng)都與圓面積有誤差;⑤項(xiàng)數(shù)越往后,誤差越小;⑥有必要觀察這個(gè)數(shù)列的變化趨勢,但這是一個(gè)無法逐一去完成的任務(wù)!
(2)引入針對上述數(shù)列的描述性定義:
純文字:當(dāng)項(xiàng)數(shù)不斷向后推進(jìn)時(shí),內(nèi)接正多邊形的面積越來越接近于圓面積;
半文字:當(dāng)n→
SymboleB@
時(shí),Sn→S;
純符號:limn→
SymboleB@
Sn=S.
共識:數(shù)學(xué)是簡潔的!內(nèi)涵是豐富的!
(3)正式講述數(shù)列極限的描述性定義,并通過幾個(gè)簡單的、典型的數(shù)列說明:收斂與發(fā)散,單調(diào)收斂與跳躍收斂,定向發(fā)散與不定向發(fā)散,并強(qiáng)調(diào)記憶.
共識:極限是變化趨勢;有極限計(jì)算這類需求;極限計(jì)算是問題的核心、重點(diǎn)、也是難點(diǎn),暫時(shí)擱置,以后專門解決.
(4)拓展端口.以問問題的形式,或自問自答,或請同學(xué)回答,也可先小組討論選代表回答,還可以留作課后復(fù)習(xí)、作業(yè),留作下次課前回答,可以書中找、網(wǎng)上搜等等.本知識點(diǎn)有以下問題可以提出.
①不是正多邊形可以嗎?
②用相同的方法求周長可以嗎?
③是否可以用外切正多邊形來解決問題?
④內(nèi)接正邊形的面積構(gòu)成的數(shù)列的增減性如何?外切的呢?(注:此問題為定理“單調(diào)有界數(shù)列必收斂”作準(zhǔn)備,也為兩邊夾定理作例子)
⑤比較:內(nèi)接正三角形面積S3,內(nèi)接正六邊形面積S6,內(nèi)接正十二邊形面積S12,…,以及,內(nèi)接正三角形面積S3,內(nèi)接正四邊形面積S4,內(nèi)接正五邊形面積S5,…,構(gòu)成的兩個(gè)數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系.(子數(shù)列問題,包括增減有限項(xiàng)問題)
⑥對“趨向(于)”是怎樣理解的?
⑦試算一下內(nèi)接正n邊形的面積.(為第一個(gè)重要極限作準(zhǔn)備)
⑧數(shù)列是函數(shù)嗎?有什么特殊性?
(5)本知識點(diǎn)的課堂用時(shí)為一個(gè)學(xué)時(shí),用圓內(nèi)接正多邊形面積代替圓面積,以達(dá)到三個(gè)目的:一是“以直代曲”思想,即:“承認(rèn)誤差、減少誤差、消滅誤差”這一數(shù)學(xué)思想方法;二是無窮數(shù)列的變化趨勢是有這方面的需求的;三是復(fù)雜的計(jì)算和觀察變化趨勢“暫時(shí)擱置”—有需求但另議,實(shí)現(xiàn)問題分解和矛盾轉(zhuǎn)移.
2.3.2 導(dǎo)數(shù)的概念以自由落體運(yùn)動為例引入
(1)物理學(xué)中知道:自由落體運(yùn)動中,路程S是時(shí)間t的函數(shù),并且有
St=12gt2≈5t2
于是,1秒到1.5秒的平均速度V1-1.5=S1.5-S(1)1.5-1=12.5
1秒到2秒的平均速度V1-2=S2-S(1)2-1=15
1秒到3秒的平均速度V1-3=S3-S(1)3-1=20
問題:1秒時(shí)的瞬時(shí)速度V1=?
(2)顯然,我們可以用上面三個(gè)平均速度任何一個(gè)來代替—承認(rèn)誤差,根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)與分析,時(shí)間間隔小的誤差也小,于是有1秒到1+Δt秒時(shí)的平均速度:(減小誤差)
V1-(1+Δt)=S1+Δt-S(1)(1+Δt)=5(2+Δt)
Δt越小時(shí),誤差越小,所以取極限:(消滅誤差)
V(1)=limΔt→0S(1+Δt)-S(1)(1+Δt)-1=limΔt→0ΔSΔt=limΔt→05(2+Δt)=10
所以有:自由落體運(yùn)動中,1秒時(shí)的瞬時(shí)速度是10m/s.
共識:計(jì)算瞬時(shí)速度時(shí)需要計(jì)算路程改變量與時(shí)間改變量比值的極限,簡稱“差商極限”.
(3)拓展設(shè)問:①
能否用0.5秒到1秒的平均速度代替1秒時(shí)的瞬時(shí)速度?試算一下;
②能否用2秒到3秒的平均速度來代替?
③將自由落體運(yùn)動改為變速直線運(yùn)動時(shí),計(jì)算有什么區(qū)別?改成變速圓周運(yùn)動呢?
(4)還可以通過切線斜率的計(jì)算,歸納出:差商極限的計(jì)算是有需求的,但具體計(jì)算是相當(dāng)不容易的.導(dǎo)數(shù)計(jì)算就是解決主要矛盾,發(fā)揚(yáng)“迎著困難上”的精神.2.3.3 定積分的引入可以用均分求面積來引入
以標(biāo)準(zhǔn)拋物線在[0,1]區(qū)間上所圍面積計(jì)算為例,等分計(jì)算長條面積并求和:近似面積(承認(rèn)誤差),份數(shù)越多誤差越?。p小誤差),取極限(消滅誤差);又一次展現(xiàn)“以直代曲”的解決方法.
2.4 問題解決.極限、導(dǎo)數(shù)、積分三個(gè)定義中都將矛盾進(jìn)行了的轉(zhuǎn)移,轉(zhuǎn)移成微積分學(xué)中的三大類計(jì)算.
2.4.1 極限計(jì)算只需掌握若干個(gè)基本的未定型,包括兩個(gè)重要極限,即從最簡的幾個(gè)極限出發(fā),配以極限的四則運(yùn)算法則,來完成極限計(jì)算.以最佳求解方法為范例,不作一題多解.
2.4.2 導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí),是圍繞著“湊”公式進(jìn)行,從直接湊公式到掰開了湊,只是利用四則運(yùn)算法則時(shí)不能想“當(dāng)然”:乘與除的法則是掰開了“組合”地湊!復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)時(shí),是“借用公式的湊”,將含自變量當(dāng)成自變量湊用公式,后乘含自變量式的導(dǎo)數(shù).
2.
4.3 定積分計(jì)算最為簡單,只需正確書寫微積分基本公式.強(qiáng)調(diào)計(jì)算時(shí)細(xì)心即可.
3 融會貫通,厚積薄發(fā)
微積分學(xué)作為高職數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)課程,其作用是多方面的.
一方面是知識的積累,明確已有成果,不走“重復(fù)路”:不必去做“割圓術(shù)”,也不必去一一證明導(dǎo)數(shù)公式;而是要“多多益善”地知道數(shù)學(xué)已解決的、可解決的問題.
另一方面是數(shù)學(xué)的思想方法,“以直代曲”就是簡單實(shí)用的一種數(shù)學(xué)的思想方法,是復(fù)雜問題分解成多個(gè)簡單問題的一種處理手段.
第三方面是數(shù)學(xué)式的表達(dá),從數(shù)學(xué)的角度來看,理解或掌握的知識點(diǎn)并不一定能恰當(dāng)?shù)乇磉_(dá)出來,“恰當(dāng)?shù)乇硎尽本褪怯米顬楹啙嵉?、易懂的、?yán)密的(不引起岐意的)表達(dá)出來,換言之就是,數(shù)學(xué)中的定理都是簡潔而內(nèi)涵豐富.例如,初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.不足二十字的定理,其中的內(nèi)涵可以推敲多時(shí).
由此可見,數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中的作用是重要的,是其它課程無法替代的,更是為學(xué)生可持續(xù)發(fā)展打造出一個(gè)基礎(chǔ)平臺,一個(gè)具有相當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力的平臺.為更好地建設(shè)這個(gè)平臺,結(jié)合擴(kuò)招生源的實(shí)際情況,設(shè)計(jì)了上述的課堂實(shí)施線路圖.讓學(xué)生始終明確“要做什么,怎么做”,學(xué)會分析、分解問題、解決問題的總體線路,潛移默化地讓學(xué)生克服對數(shù)學(xué)的恐懼心理,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)方法、習(xí)慣.同時(shí),留下相當(dāng)?shù)耐卣苟丝?,鼓?lì)學(xué)生進(jìn)行查閱各種教材及上網(wǎng)搜索,為個(gè)性化學(xué)習(xí)提供方向.
參考文獻(xiàn):
[1]?張麗穎,張學(xué)軍.高職課堂革命:內(nèi)涵、動因與策略[J].中國職業(yè)技術(shù)教育,2021(2):18-22.
[2] 陸宗斌,李艷萍,王詠芳.高職應(yīng)用數(shù)學(xué)[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,2017.
[3] 陸宗斌,王詠芳.高職課堂革命之高職數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐[J].發(fā)展教育學(xué),2021(4):91-92.
[4] 張恩朝,朱葉.百萬擴(kuò)招背景下高職院校“ 三教”改革研究[J].科技視界,2021(22):139-141.
[責(zé)任編輯:李璟]