譚彩琴

摘要：根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，在第一學(xué)段的數(shù)學(xué)課堂中，小棒、圓片、小方塊、釘子板等傳統(tǒng)學(xué)具經(jīng)常出現(xiàn)，而第二學(xué)段課堂往往難尋蹤跡。然而，實(shí)踐表明，第二學(xué)段數(shù)學(xué)課堂創(chuàng)意使用傳統(tǒng)學(xué)具，能起到畫龍點(diǎn)睛的作用，其能夠幫助學(xué)生厘清算理，建立空間觀念，體會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想，將思維引向深處。

關(guān)鍵詞：傳統(tǒng)學(xué)具;高年級(jí);算理;數(shù)學(xué)思想;深度學(xué)習(xí)

傳統(tǒng)學(xué)具是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的工具，對(duì)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有積極影響。傳統(tǒng)學(xué)具種類繁多，常用的有小棒、圓片、小方塊、釘子板等。根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，在第一學(xué)段數(shù)學(xué)課堂中，教師經(jīng)常設(shè)計(jì)一些操作活動(dòng)，讓學(xué)生借助數(shù)學(xué)學(xué)具的操作應(yīng)用，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，使抽象的數(shù)學(xué)概念形象化，幫助他們理解數(shù)學(xué)概念。

在第二學(xué)段數(shù)學(xué)課堂中，教師往往過(guò)高地估計(jì)了學(xué)生的抽象能力，課堂上學(xué)習(xí)內(nèi)容的增加也導(dǎo)致教師放棄學(xué)生動(dòng)手操作的時(shí)間，導(dǎo)致傳統(tǒng)學(xué)具難尋蹤跡，取而代之的是多媒體信息技術(shù)的使用。然而，研究表明，第二學(xué)段的學(xué)生仍處在具體運(yùn)算階段，他們還需要具體事物的支撐才能形成簡(jiǎn)單的抽象思維。在實(shí)際授課過(guò)程中，我們也發(fā)現(xiàn)，第二學(xué)段數(shù)學(xué)課堂創(chuàng)意使用傳統(tǒng)學(xué)具，能起到畫龍點(diǎn)睛的作用。利用操作的直觀感受，能夠讓高年級(jí)學(xué)生在操作中建立數(shù)學(xué)模型，將數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想和具體的實(shí)物聯(lián)系起來(lái)，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，讓學(xué)生從本質(zhì)上把握數(shù)學(xué)知識(shí)。

下面，筆者從三個(gè)方面來(lái)談一談傳統(tǒng)學(xué)具在第二學(xué)段數(shù)學(xué)課堂中的創(chuàng)意應(yīng)用。

1 ? ?運(yùn)用傳統(tǒng)學(xué)具，幫助學(xué)生理解算理

數(shù)學(xué)是一門講道理的學(xué)科。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程中不但要獲得數(shù)學(xué)方法，還要理解方法背后蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)道理，“知其然更知其所以然”。然而，抽象的數(shù)學(xué)道理往往難以讓小學(xué)生接受。而傳統(tǒng)學(xué)具恰恰可以將抽象的道理形象化，它給學(xué)生提供了可觸摸的、具體的實(shí)物，將抽象的道理用直觀的方式表達(dá)出來(lái)，讓學(xué)生豁然開(kāi)朗。

例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)了2、5的倍數(shù)特征之后，緊接著學(xué)習(xí)3的倍數(shù)特征。可是3的倍數(shù)特征與2和5的不同，需要將各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加，看是不是3的倍數(shù)。對(duì)于這一結(jié)論，教材上也只是讓學(xué)生依樣畫葫蘆，計(jì)算各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和。愛(ài)動(dòng)腦筋的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生疑惑：為什么要把各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字相加呢？教師也總是搪塞而過(guò)。如果在這個(gè)時(shí)候，教師能夠引導(dǎo)學(xué)生將傳統(tǒng)學(xué)具中的計(jì)數(shù)器和小棒配合使用，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。我們先從一位數(shù)說(shuō)起，3的倍數(shù)就是除以3沒(méi)有余數(shù)。個(gè)位上的數(shù)，三個(gè)三個(gè)地分，沒(méi)有剩余，那么這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。如果這是一個(gè)兩位數(shù)，我們?cè)谟?jì)數(shù)器十位上撥一顆珠子，就表示1個(gè)十，換作10根小棒來(lái)三三分之，就會(huì)剩1根;十位上兩顆珠子，表示20，三三分之，剩余2個(gè)1根，以此類推，十位上是幾，那么三三分之，就會(huì)剩余幾個(gè)1。再看百位，如果計(jì)數(shù)器上百位是1，那么用100根小棒，三三分之，剩余1;有幾個(gè)百就會(huì)剩余幾。這樣，最終就將每一位上剩余的小棒合起來(lái)，三三分之，就能判斷是否是3的倍數(shù)了。而每個(gè)數(shù)位上剩余的小棒數(shù)恰好就是那個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。如圖1，234中有2個(gè)百，三個(gè)三個(gè)分，剩2;3個(gè)10，三個(gè)三個(gè)分，剩3;個(gè)位4暫且不分。剩下2+3+4=9，用9再繼續(xù)三個(gè)三個(gè)分，正好分完，說(shuō)明234就是3的倍數(shù)。如果最后分不完，比如235，最后剩2+3+5=10，10÷3=3……1，說(shuō)明235就不是3的倍數(shù)。學(xué)生在操作的過(guò)程中，能夠很好地感悟、理解這個(gè)規(guī)律背后的道理。有了這樣的操作經(jīng)驗(yàn)，還可以引導(dǎo)學(xué)生自己利用學(xué)具嘗試解決9 的倍數(shù)特征：每一位的數(shù)字之和是9的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)。學(xué)生實(shí)現(xiàn)了對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的理解，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，并將其正遷移，拓寬了自己的視野。

再如，教師采用不完全歸納法讓學(xué)生在舉例、猜想、驗(yàn)證過(guò)程中逐步獲得結(jié)論。而對(duì)于為什么奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)這樣的現(xiàn)象并沒(méi)有過(guò)多解釋。其實(shí)，如果在這個(gè)時(shí)候，能夠讓學(xué)生自己擺一擺小圓片，就能將感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)。奇數(shù)就是單數(shù)，兩個(gè)兩個(gè)圓片組合，最后剩余1個(gè)（如圖2）。第一個(gè)奇數(shù)剩余1個(gè)，第二個(gè)奇數(shù)也剩余1個(gè)，剩下的兩個(gè)正好又配成1組，沒(méi)有剩余，所以和就是偶數(shù)。同樣的道理，學(xué)生通過(guò)操作，還可以深度理解偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)的深層次原因。這樣的直觀體驗(yàn)和學(xué)生將來(lái)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的邏輯證明僅有一步之遙，讓學(xué)生真正從理性上理解這個(gè)規(guī)律。

2 ? ?運(yùn)用傳統(tǒng)學(xué)具，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念

在圖形與幾何領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中，空間觀念是學(xué)生空間想象能力的基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念是小學(xué)數(shù)學(xué)重要的教學(xué)目標(biāo)之一。在學(xué)習(xí)中，借助傳統(tǒng)學(xué)具的操作可以幫助學(xué)生獲得大量的感性認(rèn)識(shí)，鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力。在手腦配合的過(guò)程中，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行積極思考，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣會(huì)隨之增強(qiáng)。學(xué)具的直觀性能夠幫助他們較好地建立空間觀念，從而理解圖形的特征、圖形的運(yùn)動(dòng)，發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。

在“圖形的旋轉(zhuǎn)”一課學(xué)習(xí)中，旋轉(zhuǎn)有三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度，學(xué)生在理解上總是存在一定的困難。比如：直角三角形ABC繞不同的點(diǎn)沿不同的方向可以旋轉(zhuǎn)出不一樣的圖形，部分學(xué)生在畫圖時(shí)總會(huì)遇到很多障礙，要么漏了旋轉(zhuǎn)中心，要么轉(zhuǎn)錯(cuò)了方向。這時(shí)我們可以借助傳統(tǒng)學(xué)具鐘面，首先幫助學(xué)生厘清順時(shí)針?lè)较蚝湍鏁r(shí)針?lè)较?，用手指跟著鐘面轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)，將鐘面的直觀化為內(nèi)心的抽象。然后再借助實(shí)物三角形，讓學(xué)生先實(shí)際轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、看一看（如圖3），旋轉(zhuǎn)后的圖形在什么位置，與原圖形之間有怎樣的關(guān)系？為什么旋轉(zhuǎn)出的圖形位置會(huì)不同？學(xué)生在實(shí)際操作中，將感官和思維相結(jié)合，建立屬于自己的空間觀念。慢慢地，讓他們脫離實(shí)物，在腦海中轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、畫一畫，將旋轉(zhuǎn)的過(guò)程內(nèi)化。對(duì)于空間觀念稍弱的同學(xué)，可以重復(fù)這樣的過(guò)程，讓學(xué)生在操作、想象中不斷豐富對(duì)旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)，提升他們的空間觀念。

在學(xué)習(xí)“正方體的展開(kāi)圖”時(shí)，正方體模型就是不可缺少的傳統(tǒng)學(xué)具。課前，學(xué)生用硬卡紙自主制作多個(gè)小正方體，并用膠帶將每條棱都封好，在制作的過(guò)程中能夠充分感受二維平面到三維立體的轉(zhuǎn)變。課上，學(xué)生用剪刀將小正方體沿著不同的棱剪開(kāi)，就可以得到它的展開(kāi)圖，這個(gè)過(guò)程與課前恰好相反，從立體又回到平面。在這一折一剪之間，學(xué)生的空間觀念得到發(fā)展。當(dāng)然，這里僅僅停留在操作上還不夠，還可以采用多種方式拓展學(xué)生的思維。在學(xué)生剪開(kāi)一部分正方體后，可以讓學(xué)生先想象正方體展開(kāi)后的圖形，再試著剪一剪來(lái)驗(yàn)證自己的想法。同樣，在折的過(guò)程中，也可以先出示展開(kāi)圖，讓學(xué)生在腦海中折一折，再實(shí)際操作驗(yàn)證自己的想法。學(xué)生在想象——操作——想象的過(guò)程中，空間觀念得到充分發(fā)展，深度達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。

3 ? ?運(yùn)用傳統(tǒng)學(xué)具，感受基本的數(shù)學(xué)思想

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，傳統(tǒng)學(xué)具能夠?yàn)閷W(xué)生提供具體的數(shù)學(xué)模型，借助形的表達(dá)理解數(shù)的關(guān)系，數(shù)的關(guān)系又影響著形的展示，幫助學(xué)生探尋解決問(wèn)題的突破口，讓問(wèn)題得以解決。并在此過(guò)程中將不同的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合，數(shù)與形相結(jié)合，體會(huì)數(shù)學(xué)思想中重要的數(shù)形結(jié)合思想，提高學(xué)生的問(wèn)題解決能力。

“分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系”是學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)遇到的一大難點(diǎn)。這兩者之間的抽象聯(lián)系與學(xué)生的形象思維構(gòu)成了一對(duì)十分突出的矛盾。為此，在這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)具的使用顯得尤為重要。在學(xué)生探索分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系時(shí)，讓學(xué)生用圓片分一分，涂一涂，借助形的表達(dá)理解數(shù)的計(jì)算。例如，“把3塊餅平均分給4個(gè)小朋友，每個(gè)小朋友分得多少塊？”列式3÷4，學(xué)生之前只學(xué)過(guò)兩個(gè)整數(shù)能整除的除法。在不能整除的情況下，要么用小數(shù)表示結(jié)果，要么用余數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示是第一次。面對(duì)這樣的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自己嘗試用圓片分一分來(lái)幫助思考。3個(gè)圓片代表3塊餅，平均分成4份，有兩種基本思路：第一，一個(gè)圓片一個(gè)圓片地分（如圖4-1），每個(gè)人都可以分得1個(gè)圓片的1/4，一共3個(gè)圓片，合起來(lái)就是3個(gè)1/4，也就是3/4。第二，將3個(gè)圓片疊在一起，直接平均分成4份（如圖4-2），每份是3個(gè)的1/4，也是3/4。學(xué)生能夠很好地借助這樣的操作過(guò)程理解除法與分?jǐn)?shù)的關(guān)系。這樣的操作也為學(xué)生在解決不熟悉的問(wèn)題時(shí)提供了基本思路。借助學(xué)具的直觀表現(xiàn)，幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓數(shù)形結(jié)合這樣的基本數(shù)學(xué)思想能夠深入學(xué)生內(nèi)心，并在實(shí)踐中發(fā)揚(yáng)光大，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

在“釘子板上的多邊形”的探索過(guò)程中，釘子板就是非常重要的傳統(tǒng)學(xué)具。學(xué)生在研究了多邊形內(nèi)只有1顆釘子的情況下，進(jìn)行猜想：是不是釘子板上任意多邊形的面積都可以用邊上的釘子數(shù)除以2？這時(shí)，學(xué)生可以充分利用手中的釘子板自主圍出不同的多邊形，讓結(jié)論更具普遍性。結(jié)果，在驗(yàn)證過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：有的多邊形符合這樣的猜想，有的卻不符合。從而引導(dǎo)學(xué)生從變化中尋找不變的量。符合這樣猜想的多邊形還具有一個(gè)特征，那就是多邊形內(nèi)只有1顆釘子，由此完善結(jié)論。學(xué)生很快就思考：如果內(nèi)部有2顆釘子呢？3顆呢？又會(huì)具有怎樣的規(guī)律。這樣的操作活動(dòng)能夠大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。學(xué)生繼續(xù)利用釘子板，圍出合適的多邊形，進(jìn)行規(guī)律探索。在探索的過(guò)程中，充分感受數(shù)與形的緊密聯(lián)系，體會(huì)基本的數(shù)形結(jié)合思想。

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中也指出：要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系。第二學(xué)段的學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，教師要?jiǎng)?chuàng)意使用傳統(tǒng)學(xué)具，讓學(xué)生通過(guò)觀察表象、動(dòng)手操作等直觀方式不斷獲取感性認(rèn)識(shí)，有效培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和動(dòng)手能力。學(xué)生在進(jìn)行學(xué)具操作時(shí)，多種感官參與學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考、積極探索，提升學(xué)習(xí)興趣，更容易找到解決問(wèn)題的突破口，開(kāi)闊學(xué)生的視野，提高問(wèn)題解決能力，使直觀操作最終促進(jìn)學(xué)生抽象思維的發(fā)展。

當(dāng)然，在什么時(shí)機(jī)使用什么學(xué)具，怎樣使用學(xué)具才能夠幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這是教師需要提前思考的問(wèn)題，也會(huì)隨著教學(xué)評(píng)價(jià)的不斷變化而有所調(diào)整。教師還可以根據(jù)自身的教學(xué)實(shí)際情況，改造一些已有的傳統(tǒng)學(xué)具，讓其更有利于學(xué)生操作與學(xué)習(xí)。

4 ? ?結(jié)語(yǔ)

總之，在第二學(xué)段數(shù)學(xué)課堂中，教師可以根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的心理特點(diǎn)，把握好傳統(tǒng)學(xué)具的使用契機(jī)，充分利用傳統(tǒng)學(xué)具的直觀性，給予學(xué)生動(dòng)手操作的機(jī)會(huì)，幫助他們建立數(shù)學(xué)模型，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)用直觀的方式展示出來(lái)，厘清算理，建立空間觀念，體會(huì)基本的數(shù)學(xué)思想，將學(xué)生的思維引向深處，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

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