新工科時代應(yīng)用類本科院校“線性代數(shù)”課程的體系重構(gòu)

曾 誠，遲 楠，呂井明

(貴州理工學(xué)院理學(xué)院,貴州 貴陽 550003)

1 新工科時代“線性代數(shù)”的特點

大學(xué)數(shù)學(xué)相比中學(xué)數(shù)學(xué)，其最顯著的特點就是它比中學(xué)數(shù)學(xué)更具抽象性和復(fù)雜性，但幾何、代數(shù)、分析始終是數(shù)學(xué)最重要的三大方法。高等數(shù)學(xué)（微積分）作為分析體系的代表，體現(xiàn)出來的特點就是其抽象性；而線性代數(shù)作為代數(shù)體系的重要課程，其體現(xiàn)出來的最大特點就是繁瑣和復(fù)雜性，并且也是高等院校理工科專業(yè)極其重要的必修基礎(chǔ)課程之一。它具有開課面廣、影響力大、重視程度高等特點，同時兼?zhèn)漭^強的邏輯性、抽象性及廣泛的實用性。

對于地方性理工類院校的學(xué)生而言，線性代數(shù)是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，對于培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力和解決實際問題能力具有重要的意義[1-6]。學(xué)習(xí)過這門課程的同學(xué)普遍反映線性代數(shù)較之高等數(shù)學(xué)更抽象，內(nèi)容更枯燥，概念和定理一直在不斷地定義過程中，不容易理解，更不清楚學(xué)習(xí)線性代數(shù)的目的。這也導(dǎo)致大部分學(xué)生失去了主動學(xué)習(xí)的熱情和動力，多數(shù)學(xué)生純粹為了考試而勉強學(xué)習(xí)，學(xué)了那么多理論，考完試完全擱置不用，實在很浪費。當(dāng)然，這也不能全歸咎于學(xué)生，究其原因，主要有以下三個方面：第一，國內(nèi)的數(shù)學(xué)教材都是純粹偏重于計算體系，而忽略了線性代數(shù)本身的特性：線性代數(shù)既有代數(shù)的含義（運算），也有幾何的含義（定標(biāo)），但是目前大部分的教材對線性代數(shù)的幾何直覺少有提起，只注重對行列式和矩陣等研究對象的計算和運算。第二，從教材來考慮，大多數(shù)線性代數(shù)教材均是以理論知識為主，很少列舉一些與實際生活或?qū)I(yè)相聯(lián)系的例子，也就是太數(shù)學(xué)化了，缺少通過數(shù)學(xué)模型來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)。第三，從教師的角度來考慮，講授線性代數(shù)的老師大多來自數(shù)學(xué)專業(yè)，其特點就是數(shù)學(xué)功底非常不錯，但由于受工程背景、知識面及課時的限制，大多數(shù)老師也只是傳授課本上的數(shù)學(xué)知識，這樣不能很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，從而達不到好的教學(xué)效果。

由于線性代數(shù)課程在理工類院校的主要專業(yè)（比如：機械工程、航空航天、電氣工程、信息及其自動化、土木工程、數(shù)據(jù)科學(xué)和大數(shù)據(jù)、網(wǎng)絡(luò)工程等）和主流方向（圖像處理和壓縮、數(shù)字水印、信號處理、統(tǒng)計分析、機器學(xué)習(xí)、網(wǎng)頁排序、信息安全和密碼學(xué)等）中都扮演著重要的角色，因此如何講授好線性代數(shù)課程對培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的計算能力和提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力都至關(guān)重要，從而也成了教育專家和高校教師關(guān)注的焦點之一。本文結(jié)合作者自己的實際教學(xué)實踐，對如何改進線性代數(shù)課程的教學(xué)實踐與方法、提高線性代數(shù)課程的教學(xué)效果，談?wù)剮c個人的體會與建議。

2 重構(gòu)地方性、應(yīng)用類理工科院校的“線性代數(shù)”課程體系

針對地方應(yīng)用型理工類學(xué)院線性代數(shù)課程的教學(xué)現(xiàn)狀，也就是上面提到的目前在教學(xué)過程中遇到的主要問題，即線性代數(shù)的高度抽象化和繁瑣復(fù)雜特性，以及其概念定義、定理和性質(zhì)偏多導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到極度困難的特點。同時在線性代數(shù)的教學(xué)過程中，目前的教學(xué)模式會讓學(xué)生們覺得線性代數(shù)是一個有點簡單粗暴、不講道理甚至有點莫名其妙的規(guī)則集合，而教師們則覺得并不是在講授一門課程，而只是將學(xué)生拋到一個看似有些被強制的世界中，無法領(lǐng)略其美妙、和諧和統(tǒng)一。因此，綜上兩方面，非常有必要重構(gòu)線性代數(shù)課程的內(nèi)容體系，以便從根本上解決目前線性代數(shù)只注重其計算，而不考慮線性代數(shù)課程的本質(zhì)特征。

另一方面，很多高校只在第一學(xué)期開設(shè)高等數(shù)學(xué)或微積分課程，不開設(shè)線性代數(shù)課程，其主要原因是考慮到大學(xué)數(shù)學(xué)相比中學(xué)數(shù)學(xué)的難度過大，同時線性代數(shù)和中學(xué)數(shù)學(xué)體系沒有一個很好的接入口，只能讓學(xué)生適應(yīng)一段時間大學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)后，再在第二學(xué)期開設(shè)線性代數(shù)課程。而實際上，線性代數(shù)和高等數(shù)學(xué)從內(nèi)容的角度來說，基本上沒有太多聯(lián)系，而且從某些方面來說，很多工科專業(yè)對于線性代數(shù)的需求比高等數(shù)學(xué)更高，因此從本質(zhì)上來說線性代數(shù)課程完全可以在第一學(xué)期開設(shè)，這樣也能使后繼專業(yè)課程提前開課。例如，論文作者所在的貴州理工學(xué)院，其大數(shù)據(jù)學(xué)院開設(shè)的網(wǎng)絡(luò)安全專業(yè)和智能科學(xué)專業(yè)就根據(jù)其人才培養(yǎng)方案的特點，針對21級本科生，開始從第一學(xué)期就開設(shè)線性代數(shù)課程。

綜上所述，根據(jù)線性代數(shù)課程的特點，以及考慮到線性代數(shù)體系的順暢和諧，同時保證中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的無縫對接，本文提出從線性方程組和向量兩個角度開始來介紹線性代數(shù)課程，因為從中學(xué)數(shù)學(xué)的觀點出發(fā)，學(xué)生最能接受線性方程組的形式和向量初步?；诖耍媱澲貥?gòu)線性代數(shù)課程體系，以線性方程組和向量為核心與基礎(chǔ)，以矩陣和行列式為工具，演化線性代數(shù)課程中代數(shù)和幾何的結(jié)合，結(jié)合數(shù)學(xué)模型的引入和專業(yè)背景的介入，幫助學(xué)生建立直覺，從而有助于他們理解這些抽象的概念，進一步理解線性代數(shù)課程的本質(zhì)。我們重構(gòu)的教學(xué)體系如下：

第一章 線性方程組和向量

本章計劃分為四個小節(jié)，首先以中學(xué)講過的二元一次線性方程組（非齊次線性方程組）為例來說明這類線性方程組的解有三種形式：無解、唯一解、無窮多解（也可用數(shù)形結(jié)合的方式），而且其求解只與左邊的系數(shù)和右邊的常數(shù)有關(guān)，與寫成什么樣的自變量無關(guān)，即由左邊的系數(shù)和右邊的常數(shù)合在一起的表（矩陣）在線性方程組求解過程中的重要性，同時還介紹線性方程組的初等變換（對換、倍乘、倍加）；其次介紹兩類特殊的形式：階梯形方程組（矩陣）和最簡形方程組（矩陣），給出一些主要概念（主元、非零行、主元列等），并用算法的形式來描述線性方程組的化簡過程，刻畫線性方程組解的存在性和唯一性；再次通過在中學(xué)階段學(xué)過的另外一個概念——向量作為對象，介紹向量的線性運算及基本性質(zhì)，并給出延展形式（向量的線性組合與線性表示）；最后說明在大學(xué)階段，線性方程組分為齊次線性方程組和非齊次線性方程組，并給出這兩類線性方程組解的形式，其中非齊次方程與線性組合（線性表示）可對應(yīng)，而從解的角度來分析齊次方程可引出線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念定義。

第二章 矩陣代數(shù)

本章計劃分為四個小節(jié)，重點介紹線性代數(shù)領(lǐng)域最重要的工具——矩陣。首先通過數(shù)學(xué)模型和第一章的實例來具體給出矩陣的定義和運算（線性運算：加法和數(shù)乘、矩陣之間的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置等），以及一些特殊矩陣的概念和形式；其次給出分塊矩陣的定義和運算，以及分塊對角矩陣；再次描述矩陣的初等變換和初等矩陣，其中矩陣的初等變換來源于方程組的初等變換的平移，這樣過渡也非常自然，然后介紹初等矩陣，這是初等變換能夠成立的本質(zhì)原因，也是重點和難點；最后一小節(jié)是說明逆矩陣的定義和意義，并給出逆矩陣的性質(zhì)和初等變換的應(yīng)用（求逆矩陣、矩陣方程求解等），以及分塊矩陣（分塊對角矩陣）的逆矩陣形式。

第三章 階行列式

本章計劃分為三個小節(jié)，主要介紹線性代數(shù)領(lǐng)域另一個主要的工具——行列式。首先通過行列式在其歷史發(fā)展長河中的演化過程，重點分析一階、二階、三階等低階行列式，說明行列式的本質(zhì)是一個數(shù)，并歸納演繹按照一行（列）展開，并通過介紹余子式和代數(shù)余子式，推廣到更一般的階行列式，并也按照一行或一列展開；第二小節(jié)主要描述行列式的性質(zhì)和運算，包括行列式的初等變換（與矩陣有所不同），特殊的行列式（對角、反對角、上三角、下三角、Vanermode等），行列式的線性運算，行列式的轉(zhuǎn)置，行列式為0的特殊情形、行列式的方陣等；最后針對行列式的應(yīng)用，重點從伴隨矩陣的定義和性質(zhì)，行列式與可逆的關(guān)系，以及求逆矩陣的公式，同時還用Cramer法則來求解線性方程組等。

第四章 向量空間

本章計劃分為三個小節(jié)，首先介紹向量空間的定義和一些簡單的例子，重點強調(diào)封閉性的重要作用，以及向量空間的一些基本特征（加法單位元、加法逆元、乘法單位元等），隨后給出子空間和有限維空間的定義，向量空間和子空間的關(guān)系，重新刻畫描述線性相關(guān)性的等價定義、性質(zhì)和定理等；第二小節(jié)將幾對相似的概念合在一起來對比描述：基與維數(shù)（向量空間）、極大無關(guān)組與秩（向量組）、基礎(chǔ)解系及所含向量的個數(shù)，計劃先通過第一小節(jié)對有限維向量空間的描述引出空間中的一個重要特征——基，它可以張成一個向量空間，并給出基的基本定義和性質(zhì)，指出它的唯一性（基中的線性無關(guān)的向量數(shù)是固定的——維數(shù)）和不唯一性（取法可以多個，不固定），然后過渡到向量組中就可以得出平行的概念——極大無關(guān)組和秩，同理針對線性方程組的所有解向量，即基礎(chǔ)解系和它所含的向量個數(shù)；最后一小節(jié)主要介紹基變換、過渡矩陣、坐標(biāo)和坐標(biāo)變換等基本概念和性質(zhì)。

第五章 矩陣的特征值與相似對角化

本章計劃分為五個小節(jié)，這是前面幾章內(nèi)容的綜合分析推廣。首先給出向量內(nèi)積的定義、計算方法、長度公式、規(guī)范正交基、正交向量組、正交矩陣等概念和性質(zhì)，重點強調(diào)正交性和線性無關(guān)的聯(lián)系；第二小節(jié)描述線性變換的定義、實例、性質(zhì)等，并給出線性變換的矩陣，以及相似矩陣的定義和性質(zhì)；第三小節(jié)介紹矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)、定理等，求解矩陣的特征值和特征向量的規(guī)則和方法，以及特征多項式與特征方程的定義和性質(zhì)；第四小節(jié)掌握矩陣可相似對角化的條件與方法，以及對角化的判定條件；最后描述實對稱矩陣的定義與特征，可對角化的原理，以及用正交變換將實對稱矩陣對角化的具體方法。

第六章 二次型及其應(yīng)用

本章計劃分為四個小節(jié)，首先介紹并能夠?qū)懗龆涡偷木仃?、合同的概念和性質(zhì)；其次給出二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范性的定義，以及如何使用三種方法（正交化方法、配方法、初等變換方法）來將二次型替換化簡為標(biāo)準(zhǔn)形，并給出相應(yīng)的變換矩陣；再次描述正定二次型和正定矩陣（還有負定、半正定、正半定、不定等概念）的定義和判別方法，包括慣性定理，順序主子式等；最后通過實例介紹二次型在二次曲面中的應(yīng)用，并判別二次曲面的形狀，這也是代數(shù)和幾何結(jié)合得最好的一部分。

通過重構(gòu)線性代數(shù)的課程體系，可以得知從中學(xué)時代的線性方程組和向量出發(fā)是最容易讓學(xué)生接受的。對于線性方程組，其求解的過程主要由方程左側(cè)的系數(shù)和右側(cè)的常數(shù)決定，而與自變量無關(guān)；從方程的角度來介紹增廣矩陣，進而通過其求解過程來引出行初等變換這個強有力的工具，然后初等變換到兩類特殊的矩陣（行階梯形矩陣和行最簡形矩陣），重點強調(diào)非零行（秩、有效方程）和主元列（主元、主變量）。對于行列式，重點強調(diào)其按照一行或一列展開來作為定義；這樣就可以繞開用逆序數(shù)來定義行列式，對于用逆序數(shù)來定義的這種方式，學(xué)生普遍不太理解，而老師也非常難給學(xué)生講懂。通過重構(gòu)線性代數(shù)的框架體系，我們可以將線性代數(shù)每章的重要概念用下面的方式來描述：

總之，對于新工科時代應(yīng)用類本科院?！熬€性代數(shù)”課程的體系重構(gòu)有利于體現(xiàn)線性代數(shù)課程的特點，更好地體現(xiàn)了線性代數(shù)體系的邏輯性，同時保證中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的無縫對接。重構(gòu)線性代數(shù)課程體系，不但體現(xiàn)了該課程以線性方程組和向量為核心，以矩陣和行列式為工具，而且有效地演化了線性代數(shù)課程中代數(shù)和幾何的結(jié)合，并通過數(shù)學(xué)模型幫助學(xué)生建立直覺，從而有助于學(xué)生理解這些抽象的概念，并進一步理解線性代數(shù)課程的本質(zhì)。