毛文波

［摘? 要］ 小學數學結構化學習學理分析旨在融通知識、認知、能力和素養(yǎng)結構，實現學習目標的整體關聯。文章以“千以內數的認識”為例，探討開展目標整體關聯的結構化學習學理分析的策略：連續(xù)熟悉情境的知識結構分析，達到遷移預備目標; 關聯活動操作的表征結構分析，經歷概念形成過程目標; 循環(huán)生活應用的思維結構分析，落實核心素養(yǎng)目標。

［關鍵詞］ 小學數學結構化學習；學理分析；學習目標；目標整體關聯

小學數學結構化學習的學理分析是指“通過對數學知識結構與學生的認知結構深度分析，融通共生，讓學生經歷數學認知的完整過程，建構數學知識的完整樣態(tài)，實現知識技能、過程方法、情感態(tài)度、思想價值等多層面數學素養(yǎng)的全面發(fā)展”［１］，它是解決碎片化教學、僵化傳遞教材知識的有效路徑。通過學理分析，教師可以深刻整體把握學習目標，實現關聯知識、認知、能力和素養(yǎng)結構的融通與落實。筆者結合“千以內數的認識”為例，談談結構化學習學理分析的策略。

一、連續(xù)熟悉情境的知識結構分析，達到遷移預備目標

（一）“千以內數的認識”的知識結構分析

“表示自然數的關鍵是十個符號和數位。”［２］對小學二年級學生來說，“數位”是十進制計數法的核心，與此相關的核心元素是計數單位、位值和十進制數位法則。位值與計數單位相聯系，這是學生常常不易理解的地方。

小學階段關于自然數的認識分為四個階段：20以內數的認識、100以內數的認知、萬以內數的認識、多位數的認識，時間跨度為四年，其中“萬和千”是數的認識中最重要、最關鍵的概念。從“千以內數的認識”的知識結構（如圖1）可以發(fā)現數數是關鍵方法，是“數起源于數”思想的體現，也是集合思想的體現。

（二）真實問題情境，知識、方法、思想遷移目標的落實

數是數量舍棄了各種屬性的本質抽象，對于處在具體形象思維階段的二年級學生來說，學習抽象的數更需要具體的、熟悉的生活經驗來支撐。熟悉的方法、思想的順利正遷移，能提高學生對數的理解。數人數是學生熟悉的真實問題，能激起學生的學習動機。

1. 由“亂”到“序”，體會群數的優(yōu)越性

因借班上課，學生對教師有好奇感。

“想知道毛老師的班級有多少人嗎？”教師出示擺有珠子的小黑板，“有多少顆珠子就有多少人，你打算怎么擺就能一眼看出人數？”

這樣的提問可以使“亂”向“序”進發(fā)。學生的作品中（如圖2），有一半的學生采用一十一十地數。

2. 由多到少，體會位值的意義

讓學生整體感受32人后走向數的抽象教學。

“還能怎樣表示32呢？珠子能不能再少一些，也能表示出32人？”

可以用3捆（10根1捆）小棒和2根來表示，可以用3個大珠子和2個小珠子來表示（1個大珠子表示10），可以用不同顏色的珠子表示。

“明明是5個珠子，怎么是32呢？”

“把它放到計數器上?！?/p>

“3個珠子在十位，2個珠子在個位?！?/p>

由物到圖實現物的抽象，珠子在不同的位置就表示不同的數，能讓學生體會計數單位與位值的數位意義，并使學生的思維由此進階（圖3）。

3． 由96到百，清晰十進數位法則

百是認識千的關鍵計數單位。

“一個班是32人，像這樣的2個班有多少人？3個班呢？”

“96人，怎樣撥就能數到100人？”

教師展示撥珠過程和讓學生回憶十進數位法則，使學生經歷由具體到抽象的過程。

二、關聯活動操作的表征結構分析，經歷概念形成過程目標

（一）“千以內數的認識”教材表征結構分析

比較人教版、蘇教版和北師大版3本教材“千以內數的認識”的表征方式發(fā)現，各版教材都運用了多種表征方式，體現了外在表征與內在表征相結合。在“幾百幾十幾”認識的過程中，人教版教材處理得最為豐富、最為細膩，表征方式特別多元。關于“幾百幾十幾”的讀法寫法，北師大版和蘇教版都沒有放在第一課時。筆者在課前學情調研發(fā)現學生對三位數的讀法、寫法無障礙，所以人教版的安排是適當的，符合結構化學習整體建構的特征。

（二）關聯活動，自主建構概念能力目標的落實

基于多元表征理論，“幾百幾十幾”至“一千”的認識構建了以下的認知生長過程（圖4），學生在豐富的表征活動中自主建構數的概念。

1．描繪性表征和描述性表征關聯促進認知從具體走向抽象

“描繪性表征”是與視覺關聯性較強的具體情境、實物、圖形和動作的表征，“描述性表征”是語言、文字、符號、模型的表征［３］。兒童學習的過程常始于描繪性表征，比如，認識千的學程設計是這樣的：數百數千，認千，找千位，表征千。學生認知過程經歷了實物的動手操作、數數等描繪性表征，又經過數“十個百”是千、找計數單位千和千位、借助計數器計數模型等描述性表征，并經歷了“具象—表象—抽象—圖式”的發(fā)展過程。

2．真實情境中的認知遷移與數學方法思想關聯促進思維從低階走向高階

遷移理論對情境的研究：“當一個科目在單一而非復合情境中傳授時，情境間的遷移就相當困難?！保郏矗菡J識“幾百幾十幾”的情境是數出操場上上課的人數，看似簡單、熟悉，卻以“亂+序”相結合的復雜的點子圖情境出現（圖5）。在短時間內學生不便數、又多次猜不出的情況下，可以通過“問題的表征”提高遷移能力［５］。

“你想讓操場上的同學怎么站就好數了？”

“每隊排整齊，每隊站10人，站成100人一排”。

復雜的問題變得簡單了，實現正向遷移。

學生認識“幾百幾十幾”和認識“幾十幾”在認數的方法、思想本質上是一致的。從學生認知上來說，有了兩位數的認知經驗，就能很容易地遷移到三位、四位及以上數的學習。學生能否順利地遷移“百以內數”的學習經驗，直接決定知識結構的生長和認知結構的發(fā)展。

當將復雜的點子圖轉化為排得整齊的點子圖后，學生處在學習最近發(fā)展區(qū)，這樣就能對接已有的認知經驗，即整齊地排、一列10個、一十一十地數和剛剛學會的一百一百地數。

認識沖突是點數多了，按群數時會發(fā)生變化，應該怎樣數？不同的學生則體現了不同的思維水平（如圖6）。根據比格斯SOLO分類理論，學習單中①號學生是“一十一十”地數，思維水平是單點結構；②號學生是“一百一百”地數（雖然一開始是5個十、5個十地數），再加43；③號學生是先“一十一十”地數，然后把“10個十”圈起來，這反映了由舊水平向新水平明顯遷移的思維進階痕跡，所以②號和③號學生思維水平是多點結構；④號學生的思維水平更簡捷，只圈了3個圈，橫數24個，豎數10個，簡化了圈，用乘法來計算，再加3，思維水平已達到關聯結構。

真實情境的問題解決，使得學生的學習空間更大，能促進學生數學知識、思想方法的遷移，使不同水平的學生都得到充分的發(fā)展和思維進階。

三、循環(huán)生活應用的思維結構分析，落實核心素養(yǎng)目標

（一）“千以內數的認識”思維結構分析

“數學認知結構發(fā)展過程既是數學知識結構的建構過程，也是數學思維的遞進發(fā)展生長過程?！保郏叮荨扒б詢葦档恼J識”學生思維結構主要有以下特點：直觀動作思維（操作棋子、圈畫點）→程序描述性思維（數數）→概念符號思維（小棒、百數片、計數器一般替代物）→模型形式思維（數字表示數），由形象思維向抽象思維發(fā)展，促進學生的素養(yǎng)發(fā)展。

（二）評價互動，促進學科核心素養(yǎng)發(fā)展目標的落實

數感是小學生核心素養(yǎng)表現之一。“數感主要是指對于數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟?！保郏罚輸蹈惺且环N感知，對事物的大小、多少、長短等，不同的人感知的方法、能力存在差異。低年級學生的數感培養(yǎng)起始于數數，通過對實物的數數，建立相應的數及數量概念，在數的過程中感受數的大小與數量的多少，在運算中體會增或減的變化及數量關系。當數數的經驗和數的經驗積累到一定程度，隨著數學運算的學習，學生數感的方法、手段將更加豐富。

1. 在學生熟悉地經驗活動中，逐步擴大數的范圍培養(yǎng)數感

學生在本課之前一年多的數學學習經歷，為本課的學習積累了一定的經驗和數感。學生雖然已經學會了一百一百地數，但從學生最初對243無序的點子圖的猜數中可以看出其對數的大小觀念的建立存在不小的困難。本課數感培養(yǎng)重點落在“100、243、500、1000”數的感知與感悟。感悟是借助學生熟悉的數班級人數切入，算、估幾個班的人數，并逐漸把數的范圍擴大，前一個數是后一個數的參照標準，讓學生體會精準和近似的關系，通過滲透估計數大小的方法來培養(yǎng)量感。

培養(yǎng)數感，始終離不開數和數量，數是抽象的，而數量則是具體可感的。

2. 在同數不同量之間轉換，體會數的廣泛意義

感受同數不同量的大小與多少，讓學生獲得較為豐富的感知、體會與經驗。

數感的培養(yǎng)要注意當認識243的意義、建立了243數字模型后，教師還要給學生進行適當的問題拓展。

比如，“操場上有243人在上體育課，其實這個243就藏在我們身邊，我們身邊的什么是243？”“學校兒童劇場有243個座位。”“4本數學書紙的張數接近243。”“一節(jié)課有40分鐘，幾節(jié)課的時間就接近243分鐘？”“我們學校一個兒童劇場有243個座位，兩個呢？它大約是幾百個座位？”

學生有了243豐富的感知后，發(fā)展到對500的感悟，并以此為參照，能感悟千的大小?！?個兒童劇場有486個座位，這個486還是一臺微波爐的價錢。幾臺微波爐的價錢大約1千元？”生齊回答2臺，可見此時學生對“1000”的數感很好。

知識結構的分析是學生學習的基礎，認知結構（表征結構）的分析是學生學習的保障，思維結構的分析是學生學習的目標。深入地分析是為了更好地落實育人目標，更好地發(fā)展學生的素養(yǎng)。

參考文獻：

［１］ 席愛勇，吳玉國. 學理分析：讓結構化學習深度發(fā)生［Ｊ］.中小學教師培訓，２０１８（０４）：５４－５７.

［２］ 史寧中． 基本概念與運算法則——小學數學教學中的核心問題［Ｍ］． 北京：高等教育出版社，２０１６．

［３］［６］ 吳主國． 小學數學結構化學習的實踐研究［Ｍ］． 南京：江蘇鳳凰教育出版社，２０２１．

［４］［５］ 約翰·Ｄ·布蘭思福特，等. 人腦是如何學習的——大腦、心理、經驗及學校［Ｍ］. 上海：華東師范大學出版社，２０１３．

［７］ 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（２０１１年版）［S］. 北京：北京師范大學出版社，２０１２.