探究式學習在數(shù)學教學中的應用

劉園園

［摘? 要］ 新課改強調(diào)數(shù)學教學活動的開展，需注重學生的自主探索、實踐與合作交流等. 但在實際教學中，有不少教師冠以“探究”之名，卻無“探究”之實，導致探究活動流于形式. 文章以“勾股定理”的教學為例，從一個教學實錄的分析與改進出發(fā)，具體談談探究性學習法在教學中的應用.

［關鍵詞］ 教學活動；勾股定理；教學改進；自主探究

數(shù)學是人類進步的成果，經(jīng)歷了探究和認知的過程，數(shù)學教學是一種具有創(chuàng)造性的教學活動. 新課標提出：數(shù)學教學要倡導學生積極、主動地參與探索過程，力求讓學生在不同形式的自主學習與探究活動中，經(jīng)歷知識的發(fā)展與再創(chuàng)造，體驗數(shù)學學習中的發(fā)現(xiàn)與再創(chuàng)造帶來的快樂［1］. 可見數(shù)學教學追求的是具有高效性與創(chuàng)新性的教學.

教學中，有些教師誤解了新課標的要求，將課堂完完全全地交給學生，美其名曰為自主探究，卻毫無活動體驗、感悟可言，壓根兒就達不到探究應有的效果. 由此引發(fā)了筆者的思考：探究式學習的素材該如何選擇？用怎樣的方式既能凸顯學生的主體地位，又能讓學生的思維不偏離教學目標？教師這個“掌舵手”該怎樣起到恰到好處的引導作用？基于以上思考，本文以“勾股定理”的教學為例，談一些感悟，與同仁共勉.

教材分析

勾股定理是初中階段，乃至整個數(shù)學學習生涯中較為重要的一個章節(jié). 教材編者以古埃及人用繩子打結，制作直角的情境引出a2+b2=c2的猜想，并以此作為判斷直角三角形的依據(jù). 可見，勾股定理是根據(jù)三角形三條滿足特殊數(shù)量關系的邊來判定三角形是否為直角三角形的一個定理.

教學實錄

師：如圖1，這是一枚紀念郵票，其圖案是以一個著名的數(shù)學定理為依據(jù)設計而來的. 現(xiàn)在請大家觀察圖中所呈現(xiàn)的方格數(shù)量，說說你們的發(fā)現(xiàn).

教師引導學生將郵票中的圖案，轉(zhuǎn)化到方格紙中（如圖2所示）.

師：觀察圖2，每個小方格都是面積為1的小正方形，其中分別以BC、AC為邊長的正方形面積分別為9、16，若想知道以AB為邊長的正方形面積，該怎么處理呢？

設計意圖 引導學生從割補法去探尋問題的答案，培養(yǎng)學生的自主探究能力.

學生自主探究得出答案后，教師鼓勵學生觀察這三個正方形面積之間的關系，嘗試發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律.

師：現(xiàn)在請大家在方格紙上任意畫一個三個頂點均在格點上的直角三角形，以此三角形的三條邊往外分別作正方形，并計算三個正方形的面積. 再結合探究結論，說說你們的發(fā)現(xiàn).

……

在學生推導出勾股定理后，教師對與之相關的知識做出補充與說明，尤其介紹了勾股定理的來歷，以增強學生的數(shù)學文化素養(yǎng).

教學思考

新課標對本章節(jié)提出的教學要求是：探索勾股定理與逆定理，且能運用它們來解決簡單的問題. 鑒于此，本節(jié)課的教學主要定位在探究式學習上. 觀察這位教師的執(zhí)教過程，筆者認為他并沒有吃透探究式學習的理論，本節(jié)課的探究效益并未達到預期目的. 究其主要原因，主要體現(xiàn)在以下幾方面：

1. 價值取向

教法決定了學法，學習方法大致分為“接受式學習”與“探究式學習”兩大類. 布魯納提出：教學過程其實就是學生對知識的再發(fā)現(xiàn)過程，這種學習上的發(fā)現(xiàn)與科學家的發(fā)現(xiàn)具有相同的性質(zhì)，都是積極思維活動的產(chǎn)物，因此，兩者的價值與智力功能是相通的. 鑒于此，學生在恰當?shù)慕谭ㄖ笇?，應形成良好的學法，要像科學家一樣成為數(shù)學的發(fā)現(xiàn)者. 但此教學片段，并未體現(xiàn)出明顯的探究式學習的價值取向，未能體現(xiàn)知識的“再發(fā)現(xiàn)”過程.

2. 設計缺陷

（1）問題缺乏“生長性”

探究式學習的關鍵在于問題的設計，學生所探究的問題可以由教師提供，也可以是學生在探究中自主提出. 本教學片段所呈現(xiàn)的問題，由教師提供. 這種安排與教師長期的教學習慣有關，但此問題情境僅僅生成了一個讓學生自主驗證的結論，即以直角三角形的兩條直角邊為邊長構造出的兩個正方形的面積和，與以斜邊構造出的正方形的面積是相等的. 但這個結論并不是來自學生的自主探究，也不是學生自主探究后提出的. 顯然，此過程缺乏了培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題與解決問題的能力.

（2）思維缺乏“著力點”

學生的數(shù)學思維能力，主要體現(xiàn)在是否能用類比、抽象、概括或歸納等方法，合情推理出相關結論. 教師應在教學中尋找學生思維的“著力點”，讓學生的思維具備發(fā)展的營養(yǎng)基. 然而，本節(jié)課的教學設計，教師將學生直接引導至用方格紙與割補法驗證相關結論. 顯然，此過程錯過了訓練學生思維的好時機，只是讓學生探究一個面積關系的驗證過程，極大地弱化了探究式學習對學生思維能力培養(yǎng)的重要作用.

（3）探究缺乏“層次性”

從新課標對本節(jié)課的要求來看，除了要掌握基礎知識與技能外，還有探索、體驗勾股定理形成過程的目標. 初中階段的學生思維水平存在較大的差異，教師在教學設計時，應考慮大多數(shù)學生對知識的接受能力，盡可能照顧到不同水平層次學生的認知情況. 本節(jié)課更適合應用目標層次較為適中的“質(zhì)疑法”來探究. 但此教學片段，并未能體現(xiàn)教學的層次性.

教學改進

基于以上教學思考，筆者結合自身的執(zhí)教經(jīng)驗與聽課的相關課例，認為本節(jié)課在“探究式學習”的價值取向以及教學設計上，可進一步優(yōu)化. 并在實際教學中，特意進行了課堂教學實驗，且獲得了較好的成效. 現(xiàn)將設計思想與教學過程整理如下.

1. 情境創(chuàng)設

師：三角形是大家所熟悉的一種圖形，它的三條邊必須滿足怎樣的關系？

生（眾）：三角形的任意兩條邊之和必須大于第三條邊，且任意兩邊之差要小于第三條邊.

師：不錯！由此我們都知道任意三角形的三條邊中，兩邊之和或差都與第三條邊不相等. 現(xiàn)在請大家發(fā)揮自己的想象，進行一次大膽地猜想，提一個與三角形三條邊具有明確數(shù)量關系的想法.

設計意圖 以學生熟悉的三角形三條邊的數(shù)量關系作為起點（低起點，符合各個層次學生的認知），鼓勵學生以此理論作為思維的“著力點”，進行類比、歸納、邏輯推理等，并大膽提出三角形三條邊數(shù)量關系的問題（學生自主提出探究問題）.

此過程即能培養(yǎng)學生的合情推理能力與問題意識，還能有效地挖掘?qū)W生的學習動機，為“探究式學習”的展開奠定基礎. 另一方面，此問給學生提供了足夠的思維空間，讓每個學生都能從自己的認知結構出發(fā)，進行思考，使得每個學生都能有所收獲.

2. 教學探究

學生在自主思考與合作交流后，提出了一些猜想，如：任意三角形中的兩條邊的平方和必定大于第三條邊的平方；任意兩條邊的平方差必定比第三條邊的平方小等.

師：非常好！看來大家都進行了積極的思考與猜想，現(xiàn)在我們一起來探究這些猜想是否正確.

生1：以上猜想并不正確，若三角形的三條邊分別為3，4，5，那么就存在32+42=52的情況.

生2：若三角形的三邊為5，5，9，那么52+52則小于92.

師：這兩位同學的反例法用得太恰當了，輕而易舉地就推翻了以上猜想，從中大家能看出了什么？

生3：說明以上猜想是錯誤的.

師：哦？是否可以這么下結論？

生4：我覺得這么下結論不準確，只能說以上猜想不一定對，有的三角形的兩條邊的平方和可能會比第三條邊的平方大，也有的會比第三條邊的平方小.

師：有點道理，對于這個想法，我們能否進一步探究？

生（眾）：可以試試.

師：在探究之前，我們先擬定一份計劃，看看該采取怎樣的探究方式和步驟.

生5：可以考慮畫幾個不同類型的三角形，分別量出它們?nèi)龡l邊的長度，再分別計算它們的平方，并從中總結出規(guī)律.

師：這是一個不錯的想法，值得推薦. 也就是說從個例（特殊）出發(fā)，先逐個探究，然后再通過它們的結論，獲得普遍（一般）性的規(guī)律. 現(xiàn)在請各組合作學習，每人在方格紙上畫出不同的格點三角形，并分別測量出各條邊的長度，計算各條邊邊長的平方（可用計算器）.

設計意圖 根據(jù)學生提出的假設，引導學生從特殊到一般進行探究. 探究過程中，鼓勵學生自主運用測量工具與計算工具，搜集并處理數(shù)據(jù)，應用標準、規(guī)范的語言來表述結論. 此過程符合探究式學習的思維發(fā)展過程，對培養(yǎng)學生從特殊到一般的數(shù)學思想奠定了基礎，也為學生從事數(shù)學研究做出了良好的示范.

師：現(xiàn)在請各組組長統(tǒng)計一下，本組有多少人畫了銳角、鈍角與直角三角形，將數(shù)據(jù)匯總一下. 請各位學生將自己的所畫的三角形的三個角分別標上字母A、B、C，對應的邊為a、b、c，直角、鈍角以∠C來表示.

匯總學生所畫三角形種類的同時，教師借助計算機投影，按照三角形的種類列表、分組、填寫數(shù)據(jù)，且分別計算出相應的a2+b2與c2的值，填入表1中. 要求學生根據(jù)表格中所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，分析結論.

生6：根據(jù)表格所呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)來看，當三角形為銳角三角形時，a2+b2＞c2；而鈍角三角形中a2+b2＜c2.

師：哪位學生用規(guī)范的數(shù)學語言表達這個發(fā)現(xiàn)？

生7：銳角三角形任意兩邊平方和比第三條邊的平方大；鈍角三角形任意兩條邊的平方和比第三條邊的平方??；直角三角形的兩條直角邊的平方和與斜邊的平方相等.

師：通過以上探究，我們發(fā)現(xiàn)了三類三角形三條邊的平方之間存在一定的數(shù)量關系，這個結論是我們根據(jù)自己所畫的幾個三角形所獲得的，其中涉及人工測量，就必定有誤差的存在，如果不用測量工具，有沒有辦法探究出三邊平方之間的關系？（學生沉默）

師：以上探究過程，我們都是通過手動測量而得到邊長度，進而計算出3條邊的平方及平方和，除此之外，有什么幾何內(nèi)容與平方有所關聯(lián)？（學生恍然大悟）

生8：正方形的面積就是邊長的平方，我們可以將三角形的三條邊長度作為正方形的邊長，所畫出的正方形面積即邊長的平方，只要弄清楚三個正方形面積的關系，也就明晰了三角形三條邊的平方關系.

師：太棒了！借助正方形的面積來探究三角形三條邊平方的關系，的確是一個非常有意義的建議. 通過以上探究，我們所獲得的結論尚屬于猜想，既然是猜想，就需要論證，現(xiàn)在我們就來一起證明以上猜想是否合理. 接下來咱們就探討：直角三角形的兩直角邊的平方和是否與斜邊的平方相等.

設計意圖 教師成功地將學生誘導到勾股定理的證明探究中，學生的思維逐層深入，對勾股定理的形成與發(fā)展有了更為深刻的認識，充分體現(xiàn)了知識的“再創(chuàng)造”過程.

3. 拓展延伸

在學生通過自主探究，證明了勾股定理后，筆者又引入了勾股定理的發(fā)展歷史與文化價值，讓學生從思想上對勾股定理產(chǎn)生敬意，同時也有效地滲透了數(shù)學文化素養(yǎng). 而后，教師帶領學生應用勾股定理進行了應用方面的拓展，強化了學生對勾股定理的應用能力.

評注 教師引領學生通過自主探究與合作學習的模式，對勾股定理進行探索. 首先通過測量工具對三類三角形的三邊平方的關系進行對比、分析，讓學生自主獲得結論. 這種合情推理過程自然、本真又充滿科學味，學生在畫圖、計算、填表與數(shù)據(jù)分析過程中，忙得不亦樂乎，大部分學生都展現(xiàn)出高漲的探究熱情，這也充分凸顯了學生在課堂中的主體地位.

在學生獲得一定的結論后，教師引導學生從幾何（正方形面積）的角度探索三角形三邊平方之間的關系，不僅有效地滲透了數(shù)學中最重要的數(shù)形結合思想，還讓學生的思維從感性層面直接上升到理解的層面，從真正意義上實現(xiàn)了探究式學習模式對學生思維能力的促進作用.

教學思考

探究式學習從問題的選擇上來看，需與教學重點、教學難點相掛鉤，且要有實踐性與開放性，并具備探究價值；從探究過程來看，要有明確的教育價值，要讓學生在探究過程中體會創(chuàng)造研究的曲折、艱辛，以及獲得成功的喜悅；從認知水平上來看，探究式學習的課程設計，需與學生的生活密切相關，需構建符合學生認知特點的探究活動，這樣才能給學生帶來真正意義上的思維啟發(fā)［2］.

總之，學生思維的培養(yǎng)，探究能力的形成需要一個長期的過程. 作為教師，應把握好課堂中的每一個讓學生探究的機會，以培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)為目的，不斷激發(fā)學生的潛能，讓學生愛上探究，讓探究成為學習的常態(tài)，課堂必然會煥發(fā)出勃勃生機.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］ 張和平，裴昌根，宋乃慶. 小學生幾何直觀能力測評模型的構建探究［J］. 數(shù)學教育學報，2017，26 （05）：49-53.