嚴(yán)靜　姜兆敏

摘 要：微課易于學(xué)生聚焦教學(xué)的重難點(diǎn)，便于學(xué)生的自主學(xué)習(xí).本文以融入思政元素的“求曲面的面積”的微課設(shè)計(jì)為例，將高等數(shù)學(xué)課程與思政緊密結(jié)合，既提高了教學(xué)效果，又培養(yǎng)了學(xué)生的優(yōu)良品質(zhì).

關(guān)鍵詞：課程思政；微課；曲面面積；教學(xué)設(shè)計(jì)

1 研究背景與意義

1.1 微課引入高等數(shù)學(xué)課程的必要性

近幾年來(lái)，由于疫情的原因，教師不得不利用直播、錄播、慕課、微課等線上教學(xué)方式進(jìn)行教學(xué)工作.相比其他線上教學(xué)方式，微課具有如下特點(diǎn)［1］：一、 時(shí)間短但內(nèi)容精.微課的時(shí)長(zhǎng)一般約為10—15分鐘，甚至更短，主要結(jié)合動(dòng)畫(huà)、公式、圖片、文字等多種形式，把一個(gè)或多個(gè)知識(shí)點(diǎn)完整地用視頻的形式呈現(xiàn)出來(lái)；二、 方式靈活多樣.學(xué)生不受時(shí)間、空間的限制，可以借助手機(jī)、電腦等設(shè)備隨時(shí)隨地進(jìn)行學(xué)習(xí).高等數(shù)學(xué)是高校理工科學(xué)生的公共基礎(chǔ)必修課，不僅是其他數(shù)學(xué)課程和許多專業(yè)課的基礎(chǔ)，而且在實(shí)際生活和科研領(lǐng)域都有著極其重要的作用，但該課程中許多概念抽象、內(nèi)容邏輯性強(qiáng)，計(jì)算復(fù)雜，再加上高等數(shù)學(xué)一般都是大班授課，教師利用傳統(tǒng)的授課方式會(huì)讓學(xué)生感到枯燥乏味，從而影響教學(xué)效果.如果教師根據(jù)知識(shí)點(diǎn)制作相應(yīng)的微課視頻，學(xué)生就可以根據(jù)自身的情況選取自己薄弱點(diǎn)利用課后時(shí)間反復(fù)學(xué)習(xí)，能夠有效提升學(xué)習(xí)效果.因此，將微課引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分發(fā)揮微課優(yōu)勢(shì)是十分必要的.當(dāng)然，要吸引學(xué)生觀看微課視頻，教師必須精心選取課程內(nèi)容，更要花大量的時(shí)間和精力來(lái)設(shè)計(jì)和制作微課.

1.2 課程思政與高等數(shù)學(xué)相結(jié)合的重要性

2020年5月28日，教育部印發(fā)《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》，指出全面推進(jìn)課程思政建設(shè)是落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的戰(zhàn)略舉措.高等數(shù)學(xué)是理工科學(xué)生在大學(xué)一年級(jí)最重要的課程之一.大一新生的人生觀和價(jià)值觀尚不成熟，面對(duì)世界深刻復(fù)雜的變化、信息時(shí)代各種思潮的相互激蕩，面對(duì)學(xué)業(yè)、情感等多方面的考量，他們?nèi)菀讍适Ю硐胄拍?，迷失生活方?因此，大一新生的成長(zhǎng)需要高等數(shù)學(xué)充分發(fā)揮其課程思政功能.近年來(lái)，高等數(shù)學(xué)教學(xué)中如何滲透課程思政已引起高校數(shù)學(xué)教學(xué)的重視與思考［2］.許多一線教師、專家學(xué)者探討了課程思政具體的實(shí)施途徑［3］［4］，主要包括數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)文化的融入，數(shù)學(xué)在實(shí)際生活或科學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用案例，挖掘數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的唯物辯證法、方法論等.思政元素的融入不僅有助于學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)概念、理念和思想，形成數(shù)學(xué)知識(shí)的體系化、系統(tǒng)化，提升學(xué)生探索、創(chuàng)新和實(shí)踐的能力，而且有助于學(xué)生提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，樹(shù)立積極進(jìn)取、奮發(fā)向上的拼搏精神和嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、善于思考、鉆研的科學(xué)精神，建立樂(lè)觀、優(yōu)質(zhì)的思想品質(zhì)［5］.

基于以上背景，本文著重探討高等數(shù)學(xué)中“二重積分的幾何應(yīng)用——求曲面的面積”的微課設(shè)計(jì).

2 “二重積分的幾何應(yīng)用——求曲面的面積”教學(xué)設(shè)計(jì)

曲面面積在高等數(shù)學(xué)中既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，因?yàn)榍娣e分既是二重積分的一個(gè)重要的幾何應(yīng)用，也是第一類曲面積分計(jì)算的基礎(chǔ).

2.1 教學(xué)分析

本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容為利用二重積分計(jì)算曲面的面積.教學(xué)目標(biāo)可細(xì)分為知識(shí)目標(biāo)、能力目標(biāo)和情感目標(biāo).其中知識(shí)目標(biāo)為理解元素法推導(dǎo)曲面面積公式，掌握公式的應(yīng)用；能力目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、空間想象、數(shù)學(xué)應(yīng)用等能力；情感目標(biāo)為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生正確的價(jià)值取向，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)意識(shí).教學(xué)重點(diǎn)一是曲面面積公式的推導(dǎo)，二是面積公式的應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)是曲面面積元素的確定.學(xué)情方面，學(xué)生對(duì)元素法已經(jīng)有了一定的了解并已熟練掌握二重積分的計(jì)算;另外，作為網(wǎng)絡(luò)原住民，當(dāng)代大學(xué)生課堂集中注意力時(shí)間短，利用手機(jī)、電腦等電子設(shè)備進(jìn)行智能化、碎片化學(xué)習(xí)已經(jīng)成為他們獲取知識(shí)的常用方式.

2.2 教學(xué)設(shè)計(jì)思路和思政切入點(diǎn)簡(jiǎn)介

本著知識(shí)、能力、情感的有機(jī)融合，教學(xué)設(shè)計(jì)思路及思政切入點(diǎn)如圖1所示.首先通過(guò)生活中的常見(jiàn)曲面引入問(wèn)題：曲面的面積應(yīng)用廣泛，如何計(jì)算曲面的面積呢？為激發(fā)學(xué)生的興趣，特別提出如何計(jì)算“中國(guó)天眼”的接收面積，課件中展示相關(guān)圖片并對(duì)“天眼”及其創(chuàng)始人南仁東作簡(jiǎn)要介紹，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)之美，引發(fā)他們的愛(ài)國(guó)之情.接著用元素法進(jìn)行面積公式的推導(dǎo)，得到公式之后，作為應(yīng)用舉例，解決一開(kāi)始提出的“天眼”面積問(wèn)題，利用計(jì)算的結(jié)果，再將“天眼”與美國(guó)的阿雷西博望遠(yuǎn)鏡進(jìn)行比較，能增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感和科技自強(qiáng)的使命擔(dān)當(dāng).通過(guò)解決問(wèn)題的過(guò)程，歸納出曲面面積的計(jì)算步驟，最后提出兩個(gè)探究性的問(wèn)題，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的能力，提升學(xué)生深入思考和自主學(xué)習(xí)的能力.

2.3 教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)

2.3.1 創(chuàng)設(shè)情境 案例引入

從日常生活入手，課件展示許多家居用品，著名建筑，都是曲面的造型.同時(shí)指出在設(shè)計(jì)它們時(shí)不僅要考慮美觀，還要考慮功能、材料、成本等因素，很多都涉及到面積的計(jì)算，特別是曲面的面積，由此引入曲面面積的計(jì)算問(wèn)題.特別引入一個(gè)具體案例：舉世聞名的“中國(guó)天眼”——一個(gè)有著500米口徑的球面射電望遠(yuǎn)鏡（見(jiàn)圖2），中國(guó)天眼是目前世界上最大最靈敏的單口徑射電望遠(yuǎn)鏡，那么它的接收面積也就是內(nèi)表面積究竟有多大呢？這個(gè)問(wèn)題能調(diào)動(dòng)學(xué)生探究、求解問(wèn)題的欲望.在該案例中同時(shí)介紹“天眼”創(chuàng)始人南仁東，我國(guó)杰出的天文學(xué)家，他放棄了高于國(guó)內(nèi)300倍的薪酬，毅然選擇回國(guó)，帶領(lǐng)科研團(tuán)隊(duì)克服重重困難，歷經(jīng)22年才完成了這項(xiàng)偉大的工程.

此環(huán)節(jié)不僅是課程的引入，也是思政的融入之一，學(xué)生能感受到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用廣泛，數(shù)學(xué)與建筑之美的融合；科學(xué)家不畏艱難，無(wú)私奉獻(xiàn)的愛(ài)國(guó)主義精神.

2.3.2 微元思想 公式推導(dǎo)

假設(shè)空間一張光滑曲面，方程為z=f（x，y），它在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈，現(xiàn)在要求曲面的面積.

通過(guò)前期的學(xué)習(xí)，我們知道對(duì)于不規(guī)則的物體，通常可以利用極限思想將它轉(zhuǎn)化為積分來(lái)求解，也就是我們前面介紹過(guò)的元素法，其主要步驟為：分割、近似、求和、取極限.在這個(gè)問(wèn)題里面，它的具體方式就是先分割曲面，為了便于分析，我們不妨用平行于坐標(biāo)面的平面進(jìn)行分割，這樣分割之后，我們看到，每一片小曲面的面積在它的局部就可用它的切平面面積來(lái)近似代替，也就是“以平代曲”，并且分割越細(xì)，這些小切平面的面積之和就越接近整片曲面面積（見(jiàn)圖3）.將它們求和取極限就能得到積分表達(dá)式.在整個(gè)過(guò)程中，最關(guān)鍵也是最困難的是如何求小切平面的面積.

我們?nèi)∑渲杏写硇缘囊恍∑衅矫鎭?lái)分析，它的面積也就是曲面的面積元素dS.由于分割曲面的都是平行于坐標(biāo)面的平面，所以這個(gè)小切平面以及它的投影區(qū)域都是矩形，投影區(qū)域面積dσ也等于dxdy.為了便于找出dS和dσ的關(guān)系，我們將這個(gè)小切平面向下平移，平移到和它投影區(qū)域的一條邊貼合在一起（此處課件展示為動(dòng)畫(huà)）.將它們放大來(lái)看，如圖4，假設(shè)兩平面的夾角為γ，這為了更形象地說(shuō)明天眼接收面積之大，作出如下比較：一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的面積為7140平方米，它比35個(gè)標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)的面積還要大.在天眼建成之前，美國(guó)的阿雷西博曾是世界上最大的射電望遠(yuǎn)鏡（課件展示相關(guān)圖片，與天眼作出比較），它的口徑為305米，接收面積約73000平方米，不足中國(guó)天眼的三分之一，并且由于多年老化和維護(hù)不利，阿雷西博已于20年發(fā)生坍塌而廢棄，退出了歷史的舞臺(tái).“中國(guó)天眼”已經(jīng)取代了阿雷西博的地位，無(wú)論從精密程度還是綜合性能，都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)了阿雷西博.此處思政的融入明顯能夠提升學(xué)生的民族自豪感和愛(ài)國(guó)主義精神，培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神，積極投身國(guó)家重大工程建設(shè)的歷史使命感.

2.3.4 步驟歸納 突出重點(diǎn)

回顧剛才的整個(gè)解題過(guò)程，歸納曲面面積計(jì)算的四個(gè)步驟：建方程、定投影、求偏導(dǎo)、算積分.其中最重要的是建方程和定投影，如果條件已給出曲面的方程，那么只要找到這個(gè)方程并將它表示成顯函數(shù)z=f（x，y）的形式；確定投影時(shí)，要充分發(fā)揮我們的空間想象力，有時(shí)還需要借助曲面的交線在坐標(biāo)面上的投影.

3 教學(xué)總結(jié)

本次微課時(shí)長(zhǎng)約10分鐘，整體上以“提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題”為脈絡(luò)主線，首尾呼應(yīng)，體現(xiàn)了知識(shí)的完整性.教學(xué)設(shè)計(jì)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)習(xí)程度要求，教學(xué)過(guò)程以知識(shí)傳授、價(jià)值引領(lǐng)、能力培養(yǎng)相結(jié)合，能達(dá)到較好的教學(xué)效果.作者就所授課班級(jí)采用課堂結(jié)合微課視頻講解了這部分知識(shí)點(diǎn)，調(diào)查顯示極大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)熱情，加深了學(xué)生對(duì)“元素法”思想的理解，并能較快掌握曲面面積公式的應(yīng)用.本微課不僅得到了學(xué)生的認(rèn)可，還得到了高校同行的肯定，2022年12月，作者憑借微課《二重積分的幾何應(yīng)用——求曲面的面積》榮獲江蘇省高校第八屆數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課青年教師授課競(jìng)賽暨第二屆全國(guó)大學(xué)數(shù)學(xué)課程思政邀請(qǐng)賽二等獎(jiǎng).

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基金項(xiàng)目：江蘇理工學(xué)院校教改項(xiàng)目1：基于GeoGebra的高等數(shù)學(xué)可視化教學(xué)探索（項(xiàng)目編號(hào)：11611212120）；江蘇理工學(xué)院校教改項(xiàng)目2：數(shù)學(xué)師范生信息技術(shù)應(yīng)用能力的培養(yǎng)與實(shí)踐（項(xiàng)目編號(hào)：11611212123）；江蘇省高校大學(xué)生勞動(dòng)教育基礎(chǔ)課程群課題：高等數(shù)學(xué)教學(xué)中思政案例設(shè)計(jì)與應(yīng)用實(shí)踐研究（課題編號(hào)：2021JDKT050）.