［摘? 要］ 犯錯誤是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中必然出現(xiàn)的一種現(xiàn)象，它是學(xué)生在概念理解、公式運(yùn)用和方法應(yīng)用時出現(xiàn)的偏差. 學(xué)生只有正確認(rèn)識錯誤，才能糾正偏差. 教師要通過學(xué)生錯誤的展示，引導(dǎo)學(xué)生分析錯誤、糾正錯誤，使學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升思辨能力.

［關(guān)鍵詞］ 錯誤資源；思辨能力；數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常常出現(xiàn)的錯誤分為兩類，一類是因?yàn)榇中摹忣}不仔細(xì)所犯的低級錯誤，另一類是由于沒有理解概念的本質(zhì)，未能正確掌握數(shù)學(xué)的思想和方法造成的高級錯誤. 總之，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所產(chǎn)生的與事實(shí)不相符的理解以及解題中出現(xiàn)的問題都稱為數(shù)學(xué)錯誤. 本文主要論述如何利用學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的高級錯誤，抽絲剝繭，尋找錯因，從而提升學(xué)生的思辨能力. 高級錯誤在學(xué)習(xí)過程中并不一定是顯性的，它可能隱藏在學(xué)生的思維方法中，如果不細(xì)心發(fā)現(xiàn)很難察覺. 這些錯誤還具有典型性和共享性，是同一認(rèn)知階段的學(xué)生容易共同存在的錯誤. 因此這些錯誤資源是課堂教學(xué)中的重要資源，善加利用可以很好地提升學(xué)生的思辨能力. 數(shù)學(xué)思辨能力是指對于具體問題具備思考、分析、推理和判斷的能力以及能夠?qū)ν愂挛锏膶傩赃M(jìn)行類比的能力. 數(shù)學(xué)思辨能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要具備的基本品質(zhì)和關(guān)鍵能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，是形成數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ). 然而大部分學(xué)生的思辨能力并不樂觀，表現(xiàn)出做過聽過的不一定會，沒有聽過做過的一定不會，說明他們普遍缺少獨(dú)立思考和解決問題的能力，更不用說運(yùn)用知識去解決實(shí)際生活中的問題. 為了提升學(xué)生的思辨能力，教師可以充分且巧妙地運(yùn)用錯誤資源. 在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生主動探究，展現(xiàn)思維沖突，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)和判斷錯誤，在分析、思考和判斷中獲得成果，從而產(chǎn)生更加深刻的認(rèn)識，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì). 本文以一道三角函數(shù)題的求解教學(xué)為例，論述錯誤資源對提升學(xué)生數(shù)學(xué)思辨能力的作用.

展示錯誤，增強(qiáng)思辨意識

數(shù)學(xué)概念、定理、公式等是從具體事物中提取的有關(guān)數(shù)量關(guān)系和空間關(guān)系的本質(zhì)屬性，具有抽象性和生成性的特點(diǎn)，運(yùn)用這些數(shù)學(xué)知識解決問題時必然經(jīng)歷曲折的過程，難免發(fā)生一些錯誤，這就需要學(xué)生運(yùn)用思辨意識，不斷審視發(fā)生在自己身上的錯誤，突破固定思維，實(shí)現(xiàn)認(rèn)識深化. 大腦對表象的覺察稱為意識，意識具有辨識真?zhèn)蔚闹匾δ? 在教學(xué)中，教師要著重發(fā)展學(xué)生的思辨意識，以提升學(xué)生的思維能力. 因此，教師應(yīng)正確認(rèn)識學(xué)生的錯誤，鼓勵學(xué)生勇于表現(xiàn)自己，讓學(xué)生將自己的思維過程展示出來；教師應(yīng)盡量給予學(xué)生充分的思考空間和時間，讓學(xué)生主動暴露問題并正確分析這些問題，以此刺激學(xué)生頭腦中的思辨意識，引導(dǎo)學(xué)生深入思考和深度探究，激發(fā)新的生成.

錯誤生成，提高數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必然要求和必備特征，它的主要表現(xiàn)是學(xué)生具備批判性思維——既具有批判能力，也具有批判精神. 學(xué)生擁有批判性思維后能夠主動判斷依據(jù)是否正確，可以概括中心思想，可以獨(dú)立自主地進(jìn)行思考、質(zhì)疑. 批判性思維不僅對學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要作用，對學(xué)生的長期發(fā)展也具有深遠(yuǎn)意義，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維. 因此，教師在教學(xué)中要有計(jì)劃地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生能夠從多個角度理性地思考問題，從思維層面去認(rèn)識錯誤，提高思維品質(zhì).

在上述教學(xué)過程中，學(xué)生已經(jīng)找到了錯誤，但是課堂討論不止于此，而是引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究，使學(xué)生超越錯誤，發(fā)展創(chuàng)新意識.

師：很好！這道題還能進(jìn)行其他的變式練習(xí)嗎？

生9：我編造了這樣的變式題：已知tanα=-，計(jì)算的值.

師：這道題你是怎么想到的呢？它與原題有沒有關(guān)系？

生9：是這樣的，因?yàn)閠anα=-<0，所以α是第二象限或第四象限的角. 對此，我進(jìn)行分類討論，發(fā)現(xiàn)兩種情況的結(jié)果都是，所以我認(rèn)為這道題和原題是有關(guān)系的，不知道對不對.

師：原來你是這樣想的，生9給我們又提出了一道新題，大家討論一下，說說自己的意見.

生10：tanα=-決定了sinα和cosα的取值，而且限定了α的取值范圍. 角的取值范圍也就確定了我們需要的符號. 因?yàn)棣翞榈诙笙藁虻谒南笙薜慕牵詓inα·cosα的兩倍的值是不變的. 當(dāng)此題作為填空題或選擇題時，只要按照α的取值范圍進(jìn)行計(jì)算就可以了，但如果此題是解答題，那么還是要進(jìn)行分類討論.

師：非常好，生10分析得很嚴(yán)謹(jǐn)而且有條理，他能夠敏銳地抓住主要矛盾，提出了不同的解決方案.

生11：我也想到了這樣一道題. 已知tanα=-2，求的值. 這兩道題有相似的結(jié)構(gòu)，只要將生9給出的變式題簡化為，進(jìn)一步得到，就不需要求sinα和cosα的值，也不需要分類討論了.

師：太精彩了！生11的思維更具創(chuàng)新性，不被固有的思維所束縛，打破了慣性，從更高層次看待了問題，在不同的角度展開了批判性思考，最終成功地解決了問題.

審視錯誤、糾正錯誤并不是運(yùn)用錯誤資源的根本目的，根本目的是深化學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 在這一原則的指導(dǎo)下，教師應(yīng)充分利用審視錯誤時生成的新資源，逐步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行問題變式. 面對學(xué)生提出的變式題，教師通過追問激發(fā)學(xué)生的探究欲，引發(fā)學(xué)生的思維碰撞，不斷強(qiáng)化學(xué)生的思辨意識. 對同一問題進(jìn)行不同角度的探討，可培養(yǎng)學(xué)生的批判思維，提升學(xué)生的核心素養(yǎng).

問題是學(xué)習(xí)的載體，只要學(xué)生能正視錯誤、分析錯誤、糾正錯誤、探尋錯誤本質(zhì)，就能不斷接近數(shù)學(xué)本質(zhì)，在探究錯誤的過程中學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，實(shí)現(xiàn)長遠(yuǎn)發(fā)展.

作者簡介：張麗娟（1983—），本科學(xué)歷，中小學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)與研究工作.