孫曉玲 杜建偉 王鵬 李有文
摘?要:重積分的計算是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重要內(nèi)容,但由于其對學(xué)生的空間想象能力要求較高,同時計算方法又很靈活,學(xué)生的學(xué)習(xí)難度較大,學(xué)習(xí)效果常常不太理想。本文主要總結(jié)了重積分計算中的一些常用技巧(如:奇偶對稱性、輪換對稱性)以及MATLAB軟件中的繪圖命令,并列舉了一些典型例題,希望可以幫助學(xué)生更好地掌握重積分的計算。
關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);重積分;奇偶對稱性;輪換對稱性
重積分的計算是高等數(shù)學(xué)課程中的一個重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容,它對學(xué)生的空間想象能力要求較高,同時計算也比較復(fù)雜,很多學(xué)生因為空間想象能力差或計算功底不夠扎實而導(dǎo)致無法下手。重積分的解題步驟一般分為兩步:(1)根據(jù)積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的坐標(biāo)系;(2)確定積分次序,在選定的坐標(biāo)系下將重積分化為累次積分進(jìn)行計算[12]。坐標(biāo)系的選擇和積分次序的確定主要遵循計算方便、簡潔的原則,如果存在錯誤可能將無法進(jìn)行計算,因此是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點(diǎn)。
為了使重積分的計算變得盡可能簡單,減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān),在重積分的計算中我們常常會使用一些技巧,如:奇偶對稱性、輪換對稱性等。通過對稱性的使用可以使積分區(qū)域變得簡單,從而有效降低對學(xué)生空間想象能力的要求,同時也可以簡化計算,達(dá)到事半功倍的效果。但是在高等數(shù)學(xué)的課本中往往并未直接給出這些對稱性的結(jié)論和使用方法,需要學(xué)生自己進(jìn)行觀察和總結(jié),為了更好地幫助學(xué)生進(jìn)行重積分的學(xué)習(xí),本文通過一些具體的例子給出了奇偶對稱性、輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用。
另外,本文還介紹了一些MATLAB軟件中繪制三維圖形的命令,希望能通過數(shù)學(xué)軟件的靈活運(yùn)用幫助學(xué)生提高空間想象能力,進(jìn)而解決重積分的計算問題。
1?奇偶對稱性在重積分計算中的應(yīng)用
與定積分的奇偶對稱性類似,在二重積分、三重積分的計算中我們?nèi)匀豢梢允褂闷媾紝ΨQ性來簡化計算,具體使用方法如下:
1.1?二重積分計算
計算二重積分時,如果積分區(qū)域D關(guān)于y軸對稱,那么:
(1)當(dāng)f(-x,y)=-f(x,y)時(此時稱函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量x為奇函數(shù)),有I=Df(x,y)dxdy=0。
(2)當(dāng)f(-x,y)=f(x,y)時(此時稱函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量x為偶函數(shù)),有I=Df(x,y)dxdy=2D1f(x,y)dxdy(其中D1為D的x0部分)。
計算二重積分時,如果積分區(qū)域D關(guān)于x軸對稱,那么:
(1)當(dāng)f(x,-y)=-f(x,y)時(此時稱函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量y為奇函數(shù)),有I=Df(x,y)dxdy=0。
(2)當(dāng)f(x,-y)=f(x,y)時(此時稱函數(shù)f(x,y)關(guān)于變量y為偶函數(shù)),有I=Df(x,y)dxdy=2D2f(x,y)dxdy(其中D2為D的y0部分)。
1.2?三重積分計算
計算三重積分時,當(dāng)積分區(qū)域關(guān)于xoy(或yoz,或zox)坐標(biāo)面對稱,被積函數(shù)f(x,y,z)關(guān)于變量z(或x,或y)為奇偶函數(shù)時,也有與二重積分類似的奇偶對稱性結(jié)論[3]。
利用奇偶對稱性可以簡化重積分的計算,但是在使用此技巧時,需要同時考慮被積函數(shù)f(x,y)和積分區(qū)域D,即兩者的對稱性要相匹配。
下面,我們列舉幾個利用奇偶對稱性進(jìn)行計算的例子:
例1:計算I=D(|x|+yex2)?dxdy,其中D是由曲線|x|+|y|=1所圍成。
解:本題的難點(diǎn)是被積函數(shù)含有絕對值函數(shù),因此關(guān)鍵是設(shè)法去掉絕對值符號。去掉絕對值符號的常用方法有兩種:一種方法是把積分區(qū)域分割成若干個子區(qū)域,使被積函數(shù)在子區(qū)域上不變號;另一種方法是利用奇偶對稱性。兩種方法相比,顯然后者更為簡單。
因為積分區(qū)域D關(guān)于x軸,y軸都對稱,而被積函數(shù)x關(guān)于變量y,變量x均為偶函數(shù)。所以Dx?dxdy=4D1x?dxdy(D1為D在第一象限的部分)。
而被積函數(shù)yex2關(guān)于y是奇函數(shù),所以Dyex2?dxdy=0。故I=Dx?dxdy+Dyex2dxdy=4D1x?dxdy+0=4∫10dx∫1-x0x?dy=4∫10x(1-x)dx=23。
例2:計算I=Ωz(1+x+y)dxdydz,其中Ω是由曲面z=x2+y2及z=2-x2-y2所圍成的閉區(qū)域。
解:本題的積分區(qū)域Ω適合用柱坐標(biāo)進(jìn)行計算,但此時被積函數(shù)較為復(fù)雜。通過觀察發(fā)現(xiàn)Ω關(guān)于yoz坐標(biāo)面對稱,而被積函數(shù)zx關(guān)于x是奇函數(shù),所以Ωzxdxdydz=0。
同時,Ω關(guān)于zox坐標(biāo)面對稱,而被積函數(shù)zy關(guān)于y是奇函數(shù),所以Ωzydxdydz=0。
故原式=Ωzdxdydz
=∫2π0dθ∫10ρdρ∫2-ρ2ρ2zdz
=2π∫10ρz222-ρ2ρ2dρ
=π∫10ρ(2-ρ2-ρ4)dρ
=712π。
例3:計算I=Ω|x2+y2+z2-1|dv,其中Ω由圓錐面z=x2+y2與平面z=1所圍成。
解:由于被積函數(shù)含x2+y2+z2且圓錐面z=x2+y2為球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)面φ=π4,故宜用球面坐標(biāo)系計算此三重積分。計算時應(yīng)先去掉被積函數(shù)中的絕對值記號。記Ω1為Ω中x2+y2+z21的部分,即Ω中位于球面x2+y2+z2=1以外的部分;Ω2=ΩΩ1,則Ω1,Ω2可分別用不等式組表示為:
Ω1:1
2π
于是,
I=Ω|x2+y2+z2-1|dv
=Ω1(x2+y2+z2-1)dv+Ω2(1-x2+y2+z2)dv
=∫2π0dθ∫π40dφ∫1cosφ1(r-1)r2sinφdr+∫2π0dθ∫π40dφ∫10(r-1)r2sinφdr
=π6(322-2)+π6(1-22)
=π6(2-1)。
注意:計算三重積分時常用直角坐標(biāo)系,但有時為了便于確定積分上下限,需要采用柱面坐標(biāo)或球面坐標(biāo),選擇坐標(biāo)系的一般方法是:
(1)當(dāng)積分區(qū)域Ω的側(cè)面由圓柱面所圍成,或當(dāng)Ω在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為圓域x2+y2
a2,且被積函數(shù)中含x2+y2、yx這樣的式子時,可考慮用柱面坐標(biāo);
(2)當(dāng)積分區(qū)域Ω的邊界由球面、圓錐面等圍成,且被積函數(shù)中含有x2+y2+z2、x2+y2這樣的式子時,可考慮用球面坐標(biāo);
(3)當(dāng)“便于定限”與“便于積分”二者無法兼顧時,應(yīng)首先考慮便于積分。
總之,通過以上幾道例題可以看出,使用奇偶對稱性可以有效簡化積分區(qū)域和被積函數(shù),使本身非常復(fù)雜、甚至常規(guī)方法無法計算的問題變得簡單、易于上手,可以有效減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。
2?輪換對稱性在重積分計算中的應(yīng)用
輪換對稱性也是重積分計算中的一種常用方法,它的使用規(guī)則比較靈活,一般來說,如果表示積分區(qū)域的方程在輪換x→y,y→z,z→x下方程表達(dá)式不變,則被積函數(shù)中相應(yīng)變量對調(diào)后積分值不變,即可以考慮使用輪換對稱性去化簡計算[3]。
例4:設(shè)Ω:x2+y2+z2
1(x0,y0,z0),計算Ωx2?dxdydz。
解:因為Ω的方程在x→y,y→z,z→x后方程表達(dá)式不變,由輪換對稱性可知Ωx2?dxdydz=Ωy2?dxdydz=Ωz2?dxdydz。
所以Ωx2?dxdydz=13Ω(x2+y2+z2)?dxdydz
=13∫π20dθ∫π20dφ∫10r2·r2sinφdr
=13·π2·1·15?=π30。
顯然,此題利用輪換對稱性可使被積函數(shù)變得簡單,可以有效簡化計算。
3?MATLAB軟件在重積分計算中的應(yīng)用
畫出積分區(qū)域的圖形是重積分計算的第一步,只有圖形確定了才能根據(jù)它的形狀選擇合適的坐標(biāo)系,進(jìn)而確定積分限進(jìn)行計算。但是很多學(xué)生因為空間想象能力比較差,常常在第一步——畫圖環(huán)節(jié)就被卡住了,導(dǎo)致學(xué)習(xí)到的一些積分計算技巧也無法施展。為了幫助這部分同學(xué),下面我們介紹一些關(guān)于MATLAB軟件的知識。
(1)設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y),繪制其三維曲面圖的MATLAB命令調(diào)用格式為:
[x,y]=meshgrid(v1,v2);
z=....;(寫出函數(shù)的表達(dá)式)
surf(x,y,z)
其中,v1,v2是x軸和y軸的分隔方式[45]。
(2)設(shè)空間曲面的參數(shù)方程:x=x(u,v)
y=y(u,v)
z=z(u,v)(a
ezsurf('x(u,v)','y(u,v)','z(u,v)',[a,b,c,d])[6]。
例5:畫出雙曲拋物面z=-x24+y29的圖形。
輸入命令:
[x,y]=meshgrid(10:10);
z=x.^2/4+y.^2/9;
surf(x,y,z)
運(yùn)行結(jié)果如圖1所示。
例6:畫出雙葉雙曲面x216-y225+z29=-1的圖形。
雙葉雙曲面x216-y225+z29=-1的參數(shù)方程為:
x=4tanusinv
y=5secu
z=3tanucosv(02π)。
輸入命令:
ezsurf('4*abs(tan(u)).*sin(v)','5*sec(u)','3*abs(tan(u))*cos(v)',[0,pi,0,2*pi])
axis([40?4040?4025?30])
運(yùn)行結(jié)果如圖2所示。
4?總結(jié)
奇偶對稱性和輪換對稱性是重積分計算中非常好用、非常有效的計算方法。在課堂教學(xué)中,我們要在“適度、夠用”原則的基礎(chǔ)上,不斷更新教學(xué)理念,合理創(chuàng)新教學(xué)方法,調(diào)整教學(xué)思路,在講授書本內(nèi)容的基礎(chǔ)上,適當(dāng)補(bǔ)充對稱性的相關(guān)內(nèi)容,幫助學(xué)生建立正確的解題思路。同時,也要開設(shè)基于MATLAB軟件的高等數(shù)學(xué)實驗課程,加強(qiáng)實踐教學(xué)、信息化教學(xué)。通過數(shù)學(xué)軟件的靈活使用,全面提高學(xué)生的空間想象能力和使用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力,讓學(xué)生切身體會到數(shù)學(xué)的實用性,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動學(xué)習(xí),并養(yǎng)成使用數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣。
參考文獻(xiàn):
[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2014.
[2]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(理工類)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2017.
[3]陳蘭祥.高等數(shù)學(xué)同步精講[M].北京:學(xué)苑出版社,2005.
[4]薛定宇,陳陽泉.高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的MATLAB求解(第三版)[M].北京:清華大學(xué)出版社,2013.
[5]艾冬梅,李艷晴,張麗靜,等.MATLAB與數(shù)學(xué)實驗第2版[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2014.
[6]何正風(fēng).Matlab在數(shù)學(xué)方面的應(yīng)用[M].清華大學(xué)出版社,2012.
項目資助:山西省高等學(xué)校教學(xué)改革創(chuàng)新項目(J2021?377、J2021385、J2021394、J20220617、J20220596、J20220588、J20230795);中北大學(xué)本科教育教學(xué)改革項目(202170、2021123)
作者簡介:孫曉玲(1981—?),女,山西大同人,博士,中北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院副教授,研究方向:圖論及其應(yīng)用。