金妤茜

【摘 要】義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)體系的完整建構(gòu)離不開小初銜接，如何圍繞數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的進(jìn)階發(fā)展，助力學(xué)生在小學(xué)畢業(yè)之后更加順利地適應(yīng)初中的學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)科小初銜接工作中的核心問題。作為小學(xué)教師，要著眼素養(yǎng)進(jìn)階，關(guān)注素養(yǎng)斷層問題，尋求有效措施，為小學(xué)數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的有效銜接賦能。

【關(guān)鍵詞】小初銜接 素養(yǎng)銜接 代數(shù)推理

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）將九年義務(wù)教育作為一個(gè)整體，有意模糊初中與小學(xué)之間的界限，同時(shí)指出遵循學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，加強(qiáng)一體化設(shè)置，促進(jìn)學(xué)段銜接，體現(xiàn)數(shù)學(xué)課程的階段性、整體性和“小初一體”的思路，這就要求義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)教師們應(yīng)該全面了解不同學(xué)段的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和學(xué)業(yè)質(zhì)量要求，熟悉義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程的整體安排和銜接關(guān)系。但事實(shí)上，學(xué)生在經(jīng)歷了小學(xué)六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)后，仍然不能很好地將所學(xué)知識遷移到中學(xué)階段，尤其在有關(guān)代數(shù)方面的學(xué)習(xí)上表現(xiàn)出明顯的認(rèn)知困難，如不習(xí)慣使用符號表達(dá)的代數(shù)語言，不能理解代數(shù)結(jié)構(gòu)與相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，等等。細(xì)思原因，造成這些學(xué)習(xí)困難的背后除了小學(xué)和中學(xué)教材在內(nèi)容安排上存在算術(shù)與代數(shù)相對割裂的問題，更為關(guān)鍵的是小學(xué)階段的部分教師在教學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域內(nèi)容時(shí)忽視了對學(xué)生代數(shù)推理意識的培養(yǎng)，從而產(chǎn)生了素養(yǎng)斷層的問題。

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“教材編寫建議”中指出，課程內(nèi)容特別強(qiáng)調(diào)的代數(shù)推理要體現(xiàn)出螺旋上升。“推理”在小學(xué)、初中的數(shù)學(xué)教學(xué)中有著不同的目標(biāo)指向，小學(xué)指向意識，初中指向能力，從推理意識到推理能力，素養(yǎng)的進(jìn)階體現(xiàn)了《課程標(biāo)準(zhǔn)》對培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的一致性和階段性要求?？梢姡m然在小學(xué)數(shù)學(xué)中以算術(shù)教學(xué)為主，沒有出現(xiàn)太多正式的代數(shù)形式，但教師可以嘗試挖掘算術(shù)背后潛藏的代數(shù)特性，鼓勵(lì)學(xué)生在可理解范圍之內(nèi)嘗試進(jìn)行代數(shù)推理，從而助力學(xué)生更好地適應(yīng)初中階段的代數(shù)學(xué)習(xí)。代數(shù)推理，是指人們在代數(shù)觀念的系統(tǒng)作用下，從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論，特別是推斷某一數(shù)學(xué)對象的關(guān)系或結(jié)構(gòu)的思維過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中更多地指向一般化和關(guān)系性思維，因此代數(shù)推理能力的培養(yǎng)需要經(jīng)歷數(shù)字到符號的運(yùn)算轉(zhuǎn)換、特殊到一般的思想轉(zhuǎn)換、程序到結(jié)構(gòu)的認(rèn)知轉(zhuǎn)變等，從這個(gè)角度去理解代數(shù)推理，可以發(fā)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中對于培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理有著諸多可行性路徑。

一、關(guān)注基本事實(shí)，深度理解中滲透代數(shù)推理意識

在當(dāng)前的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，作為代數(shù)知識的“式與方程”被安排在第三學(xué)段正式學(xué)習(xí)，但“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)內(nèi)容編排是螺旋上升、逐步加深的，貫穿每一學(xué)段的學(xué)習(xí)，因此在第一學(xué)段早就有了代數(shù)知識的初步滲透。［1］特別是與代數(shù)有關(guān)的基本概念、基本事實(shí)的教學(xué)均是后續(xù)實(shí)施代數(shù)推理的基礎(chǔ)，因此我們需要重視學(xué)生對基本概念和基本事實(shí)的深度理解，為更高年級正式開展代數(shù)學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

史寧中教授在解讀《課程標(biāo)準(zhǔn)》時(shí)指出，在“數(shù)與代數(shù)”板塊需要增加兩個(gè)基本事實(shí)，一是傳遞性：a=b，b=c→a=c；二是等式性質(zhì)：a=b→a+c=b+c。有了這兩個(gè)基本事實(shí)，在義務(wù)教育階段開展代數(shù)推理證明就成為了可能。但是學(xué)生面對“=”，往往將它視為運(yùn)算結(jié)果的輸出符，而忽視了“=”同時(shí)也承擔(dān)著已知數(shù)與未知數(shù)的橋梁作用、數(shù)量之間的等價(jià)關(guān)系等重要價(jià)值。例如，一年級學(xué)生在練習(xí)中得出5=1+4、5=2+3，教師可作進(jìn)一步引導(dǎo)：因?yàn)?=5，所以1+4=2+3；學(xué)生在練習(xí)中得出5+5=2+8、2+8=3+7時(shí)，教師進(jìn)一步引導(dǎo)他們比較發(fā)現(xiàn)5+5=3+7，從而幫助學(xué)生感受等式的傳遞性，滲透代數(shù)推理意識。教師還可以引導(dǎo)學(xué)生不計(jì)算出結(jié)果，僅靠觀察和思考等號兩邊的數(shù)字特征，通過等值推理做出解答。如在8+2=□+□這個(gè)等式中，如果加數(shù)8加上1，則另一個(gè)加數(shù)2就得減去1，才能使得等式仍然成立。這其中便隱含著a+b=（a+1）+（b-1）這樣的代數(shù)關(guān)系，還可以進(jìn)一步引申為a+b=（a-1）+（b+1）乃至a+b=（a-c）+（b+c）。當(dāng)然，這種感受對學(xué)生來說，并不需要十分深刻，但經(jīng)過教師不斷點(diǎn)撥啟發(fā)，可促成學(xué)生不斷積累和感悟“=”左右兩邊的量（式）之間的相等、對稱、等價(jià)的關(guān)系，從而感受“=”的多重價(jià)值和含義，感悟平衡與相等關(guān)系的代數(shù)核心思想，使小初銜接中算術(shù)走向代數(shù)的過渡更為自然和順暢。

在代數(shù)推理意識培養(yǎng)階段，教師可以從數(shù)學(xué)符號入手，從數(shù)學(xué)符號含義的認(rèn)識層面引導(dǎo)學(xué)生在算術(shù)思維基礎(chǔ)上形成對隱藏的代數(shù)關(guān)系和結(jié)構(gòu)的感知與理解，從而培養(yǎng)代數(shù)思維。

二、注重整體聯(lián)系，法理并重中訓(xùn)練代數(shù)推理方法

史寧中教授曾對代數(shù)推理作了如下解說：代數(shù)推理在小學(xué)階段指說理，是通過簡單的歸納或類比，發(fā)現(xiàn)和提出一些初步的結(jié)論；感悟從特殊到一般的有邏輯的說理過程，在說理的過程中理解算理，歸納算法，最后建立計(jì)算模型。［2］《課程標(biāo)準(zhǔn)》在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的教學(xué)提示中提到，數(shù)的運(yùn)算教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生感知數(shù)的加減運(yùn)算要在相同數(shù)位上進(jìn)行，體會數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，同時(shí)也要感悟數(shù)的運(yùn)算之間的關(guān)系，從而發(fā)展運(yùn)算能力和推理意識。［3］可見，在具體數(shù)字運(yùn)算中進(jìn)行發(fā)現(xiàn)、總結(jié)、理解與應(yīng)用算理也是進(jìn)行代數(shù)推理的可行路徑。

小學(xué)數(shù)學(xué)的運(yùn)算對象主要有整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，這三類數(shù)的四則運(yùn)算看似不同卻具有一致性，本質(zhì)均為計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)參與運(yùn)算。其中同一類數(shù)的同種運(yùn)算，其算理和算法更是相融相通的。因此面對同一模塊的運(yùn)算教學(xué)，可以讓學(xué)生大膽猜想，以舊引新，從舊知遷移類推出新知，這個(gè)過程不僅有效打通了運(yùn)算內(nèi)容之間的聯(lián)系，更是促進(jìn)了學(xué)生推理意識的發(fā)展。例如，蘇教版四年級下冊的“三位數(shù)乘兩位數(shù)”，作為小學(xué)階段最后一節(jié)整數(shù)乘法課，教學(xué)時(shí)可先讓學(xué)生回顧“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的算理和算法，緊接著鼓勵(lì)學(xué)生在此基礎(chǔ)上進(jìn)行類比推理，思考三位數(shù)乘兩位數(shù)又該如何計(jì)算。在學(xué)生自主探索、明晰算理、掌握算法之后進(jìn)而抽象概括得出結(jié)論：整數(shù)乘法，不管是幾位數(shù)乘幾位數(shù)，都可以用拆數(shù)轉(zhuǎn)化、分別相乘和合并乘積的方法來計(jì)算，其背后的原因也是一致的——位值計(jì)數(shù)思想和乘法分配律。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生大膽推理四位數(shù)乘三位數(shù)、四位數(shù)乃至五位數(shù)筆算的算理與算法，縱橫溝通、以舊習(xí)新，歸納出多位數(shù)乘法的運(yùn)算方法，實(shí)現(xiàn)了多位數(shù)筆算乘法的整體建構(gòu)。

在運(yùn)算教學(xué)中，教師可以在學(xué)生積累了大量活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們從推理的角度將算法從特殊到一般進(jìn)行歸納總結(jié)，感受代數(shù)推理的一般方法，順利實(shí)現(xiàn)從“個(gè)”到“類”的提升，同時(shí)也可以找準(zhǔn)契機(jī)實(shí)現(xiàn)從“類”到“類”的遷移，從而培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理和類比推理的能力，使小學(xué)的算術(shù)課堂蘊(yùn)含豐富的代數(shù)特質(zhì)。

三、聚焦核心內(nèi)容，問題解決中發(fā)展代數(shù)推理能力

“一般化”和“符號化”是代數(shù)思維的核心，代數(shù)思維在小學(xué)階段的學(xué)習(xí)中有著諸多體現(xiàn)。最為明顯的便是小學(xué)數(shù)學(xué)第三學(xué)段的“用字母表示數(shù)”“正比例”等內(nèi)容，這些內(nèi)容向?qū)W生展現(xiàn)了代數(shù)初步的主要內(nèi)容，這也正是小學(xué)階段代數(shù)推理的核心內(nèi)容。此部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)指向初中階段“數(shù)與式”“方程與不等式”“函數(shù)”等內(nèi)容，為后續(xù)的進(jìn)階學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。

蘇教版教材中“用字母表示數(shù)”的內(nèi)容，看似是作為方程的鋪墊知識，實(shí)則有著豐富的代數(shù)內(nèi)涵?！坝米帜副硎緮?shù)”的教學(xué)除了引導(dǎo)學(xué)生知道用字母可以表示某個(gè)未知量或變量，更重要的是讓學(xué)生理解字母所具有的“概括”價(jià)值，字母可以將數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律以符號的形式簡明地表示出來，且通過符號運(yùn)算和推理得到的結(jié)果具有一般性，而正是這個(gè)一般性可以幫助我們說明更多復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題。例如，在蘇教版五年級下冊學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)特征”時(shí)，以往教學(xué)采用的是通過觀察、舉例、不完全歸納等方式得出結(jié)論，這樣的學(xué)習(xí)過程沒有真正培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。此時(shí)可以聯(lián)系在五年級上冊學(xué)過的用字母表示數(shù)，以代數(shù)推理的方式來說明“3的倍數(shù)特征”。我們可以用字母符號來表示一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，如一個(gè)數(shù)是abcd，則abcd=1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d），因?yàn)?99a+99b+9c=9（111a+11b+c）=3×3×（111a+11b+c），所以999a+99b+9c是3的倍數(shù)。因此，要想abcd是3的倍數(shù)，只需a+b+c+d是3的倍數(shù)。由此可知，一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是3的倍數(shù)。問題解決的過程正是代數(shù)推理的過程，是其得以發(fā)展的契機(jī)。

用符號表示數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和一般規(guī)律，并且借助符號推理得出一般結(jié)論是代數(shù)推理的基礎(chǔ)，體現(xiàn)出了初步的一般化與符號化，這方面的要求會在初中階段逐步增強(qiáng)。因此，小學(xué)階段需要教師切實(shí)掌握好如“用字母表示數(shù)”“正比例”等與初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著直接聯(lián)系的小學(xué)數(shù)學(xué)知識及其本質(zhì)，盡可能地創(chuàng)造機(jī)會引導(dǎo)學(xué)生感悟符號表示的一般性，感受符號使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和思考的重要形式，從而實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的平穩(wěn)過渡。

在《課程標(biāo)準(zhǔn)》加強(qiáng)了學(xué)段銜接的背景之下，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該立足小學(xué)，胸懷九年，擁有教小學(xué)、想初中的意識，了解學(xué)生學(xué)習(xí)的知識基礎(chǔ)。同時(shí)，還需要“登高眺遠(yuǎn)”，知曉學(xué)生學(xué)習(xí)的下一站，做好知識和方法的鋪墊，積極關(guān)注數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的進(jìn)階培養(yǎng)，努力尋找小初銜接教學(xué)的平衡點(diǎn)，既不缺位，也不越位，這就是最好的“銜接”！

（作者單位：江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星港學(xué)校 本專輯責(zé)任編輯：王彬）

參考文獻(xiàn)：

［1］陳靜. 兒童早期代數(shù)思維的滲透與培養(yǎng)——中美小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)比較研究［J］. 教育研究與評論（小學(xué)教育教學(xué)），2018（02）：8-13.

［2］陳杰. 變革育人方式，落實(shí)核心素養(yǎng)——2022年版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容新變化［J］. 山東教育，2022（28，29）：30-32.

［3］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.04.

本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究課題第十四期重點(diǎn)課題“‘完整學(xué)習(xí)視域下培養(yǎng)小學(xué)生推理意識的實(shí)踐研究” （課題編號：2021JYJC14-ZB20）的研究成果。