李杲

［摘 要］教材中有大量數(shù)形結(jié)合的身影，通過分析學生習題檢測結(jié)果，結(jié)合調(diào)查與訪談發(fā)現(xiàn)，受傳統(tǒng)教學觀念與教學方式的影響，部分教師對數(shù)形結(jié)合思想沒有足夠的重視，導致學生經(jīng)驗欠缺，運用能力不足。結(jié)合實際情況，建議教師在教學過程中轉(zhuǎn)變觀念，認真研讀課程標準和教材，采用“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形互助”等學習策略，豐富數(shù)形結(jié)合思想的教學資源。

［關(guān)鍵詞］小學數(shù)學； 數(shù)形結(jié)合；調(diào)查；分析；策略

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0028-04

一、問題的緣起

在我校五年級“多邊形的面積”單元的學生作業(yè)中，一名學生解答題目 “有一個直角梯形，它的下底是12厘米，現(xiàn)將上底延長5厘米，就變成了一個長方形，面積增加了15平方厘米，原來這個直角梯形的面積是多少平方厘米？”的方法讓筆者產(chǎn)生了疑慮。

這道題考查的是學生是否能運用數(shù)形結(jié)合思想畫圖解決問題?？墒牵@道題目的正確率只有76.31%，且嘗試運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的學生只占52.63%。這是本班的個例，還是五年級學生的普遍現(xiàn)象？帶著這個疑問，筆者調(diào)查并統(tǒng)計了本校五年級5個班和另一所學校五年級3個班的學生答題情況，結(jié)果見表1。

分析發(fā)現(xiàn)，無論是本校還是外校，運用數(shù)形結(jié)合思想解題的學生人數(shù)所占比例均不足70%，甚至出現(xiàn)50%的比例。為了更深入地了解學生對數(shù)形結(jié)合思想的認識的現(xiàn)狀，筆者決定從教材、學生、教師三方面著手進行調(diào)查分析。

二、調(diào)查設(shè)計與調(diào)查過程

1.對教材的調(diào)查

數(shù)形結(jié)合思想在教材知識體系中是如何呈現(xiàn)的？筆者翻閱人教版教材時發(fā)現(xiàn)，在教學“乘法分配律”時，滲透的重要思想就是數(shù)形結(jié)合思想。教材引導學生采用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，啟發(fā)學生用自己喜歡的方式表示規(guī)律，并突出要求“用圖形、字母和其他符號表示規(guī)律”，針對a×（b+c）=a×b+a×c這種形式，說一說a和b可以表示什么數(shù)，以促使學生深入理解分配律的內(nèi)涵?？梢钥闯觯谒?、五年級的教材中，教材編者注重數(shù)形結(jié)合思想的滲透和應用。

2.題組訓練跟進調(diào)查

在跟進調(diào)查中，筆者決定更改題目數(shù)據(jù)，并給出相應圖形（如圖1），以檢測學生的正確率是否有提高。

檢測發(fā)現(xiàn)，學生的正確率大大提高，可見運用數(shù)形結(jié)合思想確實可以幫助學生提高解決問題的能力。之前答錯的大部分學生在解這題時都能夠根據(jù)圖來說明思考過程。

3.問卷調(diào)查

問卷內(nèi)容 （學生版）：

（1）你聽說過數(shù)形結(jié)合思想嗎？如果聽說過，請用你喜歡的方式描述出來。

（2）你的數(shù)學老師經(jīng)常在教學中應用數(shù)形結(jié)合思想嗎？

（3）你會主動運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題嗎？說出你的理由。

對于第（1）題，有90.5%的學生表示聽說過數(shù)形結(jié)合思想。其中有11.5%的學生認為數(shù)形結(jié)合思想是代數(shù)知識，有22.8%的學生認為數(shù)形結(jié)合思想是幾何知識，有39.5%的學生認為數(shù)形結(jié)合思想既是代數(shù)知識又是幾何知識，有11.5%的學生認為數(shù)形結(jié)合思想通過代數(shù)知識研究幾何知識和通過圖示來理解數(shù)學知識。

對于第（2）題，有47.2%的學生表示教師上課時經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合思想來教學，有21.5%的學生表示老師偶爾運用數(shù)形結(jié)合思想來教學。

對于第（3）題，有56.9%的學生表示自己會主動運用數(shù)形結(jié)合思想來學習，因為通過圖示可以提升解決問題的速度；有31.7%的學生表示自己偶爾會運用數(shù)形結(jié)合思想來解題，因為有時候畫圖比較麻煩，也不知道該怎么畫出清晰的圖示。

問卷內(nèi)容 （教師版）：

（1）你認為數(shù)形結(jié)合思想重要嗎？

（2）教學中，你經(jīng)常向?qū)W生提及數(shù)形結(jié)合思想嗎？

（3）對于運用數(shù)形結(jié)合思想解題的學生，你會怎么做？

（4）人教版教材哪些章節(jié)中出現(xiàn)過“數(shù)形結(jié)合”的模型？（至少5 個）

對于第（1）題，100%的教師認為數(shù)形結(jié)合思想對數(shù)學教學很重要。

對于第（2）題，67.1%的教師表示上課時經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合思想來教學，32.9%的教師表示偶爾運用數(shù)形結(jié)合思想來教學。

對于第（3）題，32.6%的教師表示會積極表揚運用數(shù)形結(jié)合思想來思考的學生，45.9%的教師表示偶爾會表揚運用數(shù)形結(jié)合思想來思考的學生。

對于第（4）題，63.7%的教師能夠說出5個以上的模型，27.3%的教師能說出10個以上的模型。

三、原因分析

從學生、教材、教師三方面的調(diào)查結(jié)果可以看出，促進學生運用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題，看似簡單，實則是一大難題。

首先，如果教師沒有積極轉(zhuǎn)變教學理念，學生對數(shù)形結(jié)合思想的認識就不會很清晰。其次，對于數(shù)形結(jié)合思想的運用方法，如果教師教學不夠靈活、系統(tǒng)，不知道如何引導學生，學生在學習數(shù)學的過程中就不能體會到運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的便利，從而喪失積極思考、尋求突破的興趣。

四、教學建議

1.“以形助數(shù)”，培育沃土

“以形助數(shù)”是指借助圖形的直觀特點，促進學生理解抽象概念的數(shù)、數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，幫助學生精準掌握并運用數(shù)學知識。

（1）借助實物，感受數(shù)的內(nèi)涵

運用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)㈩}目信息轉(zhuǎn)化成對應的圖形或直觀符號，促進學生建構(gòu)數(shù)與形之間的關(guān)系，引導學生深入思考問題并解決問題，進而使學生歸納出“形”對“數(shù)”的幫助。

例如，對于“體積和體積單位”，有些學生對體積的概念掌握熟練，卻對具體實物的體積大小判斷出現(xiàn)差錯，這有可能是因為教師在教學時沒有將體積單位和所對應的實物進行聯(lián)系。因此，教師在教學時可先通過烏鴉喝水的情境導入，引導學生在討論和交流中感悟有關(guān)體積的表象；再讓學生通過觀察、比較實驗過程中的現(xiàn)象，概括體積的概念，并比較不同物體的體積大?。蛔詈笠鲶w積單位的學習，引導學生根據(jù)長度單位和面積單位的學習經(jīng)驗進行類推，進而想到比較體積大小同樣需要一個統(tǒng)一的體積單位作為標準。此外，教師還可以借助直觀的教具進行演示，或利用學生熟知的物體，引導學生將體積單位和生活實物進行聯(lián)系（如圖2），讓學生通過觀察對比建立清晰的表象。

建構(gòu)完體積單位的模型后，教師讓學生思考生活中的物品可以用哪些體積單位來度量，并完成練習（如圖3）。

（2）依托線段圖或?qū)嵨?，簡化抽象問題

①借助線段圖理解數(shù)學問題

線段圖能將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化。在教學中，教師可以引導學生感悟線段的妙用，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。

例如，學習“植樹問題”時，學生受到負遷移的影響，解決簡單問題的時候更容易出錯。

對于題目“同學們在全長40米的小路一邊上植樹，每隔8米栽一棵（兩端要栽），一共需要栽多少棵樹？”，學生一看到題目就會覺得答案是40÷8=5（棵）。顯然，這個答案是錯誤的。此時，教師要指導學生畫線段圖（如圖4），把分割的點數(shù)和棵數(shù)進行一一對應，幫助學生發(fā)現(xiàn)兩端都栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，進而延伸一端栽一端不栽和兩端都不栽的情況的規(guī)律，以此豐富“植樹問題”的數(shù)學模型。

②借助實物，理解算理和算法

要掌握計算的知識與技巧，關(guān)鍵在于建構(gòu)算理和算法模型。

例如，在教學“兩位數(shù)除以一位數(shù)”時，對于48÷3，筆者借助實物——小棒，使計算具體化：先在3個方框中分10根小棒，再把剩下的18根小棒平均分到3個方框中（如圖5）。

2.“以數(shù)解形”，厚積薄發(fā)

在小學階段，學生對平面圖形的學習是建立在實物之上的，而組合圖形的面積的學習又是建立在平面圖形的學習之上的。因此，引導學生對比、分析、建構(gòu)，可以幫助學生歸納圖形之間的聯(lián)系。

例如，在回顧多邊形的面積公式時，教師可引導學生對學過的圖形進行歸納，了解它們之間的聯(lián)系，將腦海中的知識碎片歸整成塊（如圖6）。

當學生掌握了圖形之間的轉(zhuǎn)化之后，便能發(fā)現(xiàn)梯形與平行四邊形和三角形之間的圖形聯(lián)系（如圖7）。

經(jīng)歷這兩個活動后，學生進一步加深了對圖形面積公式的理解，深化了幾何直觀。

3.“數(shù)形互助”，融會貫通

（1）挖掘“數(shù)”與“形”內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造圖像

在五年級的學習中，“喝牛奶問題”是一個典型的數(shù)形結(jié)合例子，對學生來說是一個難點。為突破這個難點，教師需要引導學生在解決問題的過程中畫圖示，建構(gòu)出純牛奶模型，讓圖示發(fā)揮在題意理解、數(shù)量分析和問題解決上的優(yōu)勢，提升學生的幾何直觀素養(yǎng)。

教師在教學中需要突出借助圖示解決問題的策略，通過畫圖（如圖8）幫助學生把題目信息直觀化、數(shù)量關(guān)系清晰化，從而能結(jié)合分數(shù)的意義找到解決問題的方法。

經(jīng)過觀察、分析，學生發(fā)現(xiàn)每一次喝的牛奶量是上一次剩下的一半。這時教師可以提問：“你能用一幅圖來表示嗎？”以此引導學生進行遷移思考。學生可以用一個正方形表示一杯牛奶，用不同的顏色表示每一次喝的量，再用一個算式概括出規(guī)律（如圖9）。

（2）借助數(shù)對，滲透函數(shù)思想

教師要善于從學生的生活中挖掘其積累的感性經(jīng)驗，激發(fā)學生學習興趣的同時借助數(shù)形結(jié)合思想向?qū)W生滲透函數(shù)思想。

例如，“用數(shù)對確定位置”的一道習題（如圖10）。

教師要結(jié)合平移知識，引導學生思考“圖形平移后，表示頂點位置的數(shù)對有什么變化”。學生思考后可以發(fā)現(xiàn)圖形平移引起數(shù)對變化的規(guī)律。通過圖形變換對應數(shù)對的變化，學生建構(gòu)出圖形和數(shù)量間的聯(lián)系，體會到數(shù)形結(jié)合的思想，也在不知不覺中接觸了函數(shù)思想。

（3）結(jié)合圖示，用“形”的變化體會“數(shù)”的神奇

折線統(tǒng)計圖是數(shù)形互助的有力體現(xiàn)。教師要引導學生觀察表格內(nèi)數(shù)據(jù)的大小、感受圖表上數(shù)據(jù)的變化情況，順勢而導，引出折線統(tǒng)計圖。在學習過程中，學生經(jīng)歷了折線統(tǒng)計圖的形成過程，體會到“數(shù)—形—數(shù)”的完整分析過程，從而體會到數(shù)形結(jié)合看問題的好處。

例如，“統(tǒng)計”的一道習題（如圖11）。

面對這樣一道綜合題，教師可以先讓學生獨立完成，引導學生在描點連線的過程中感悟數(shù)據(jù)與所畫折線圖之間的聯(lián)系，深入思考所畫的折線圖反映的數(shù)據(jù)增減變化情況，促進學生進行合理推理。

“數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法并不是多么深奧的知識。在小學的數(shù)學知識體系中，只要教師做好教學設(shè)計，學生就能自覺地運用數(shù)形結(jié)合思想去解決一些實際問題，主動用數(shù)學的眼光去認識和處理生活中的事件，感受數(shù)學的魅力，去欣賞數(shù)學那片獨特的風景！

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 田丹妹. 數(shù)形結(jié)合思想方法在小學數(shù)學教學中的應用策略研究：以人教版五年級為例[D].錦州：渤海大學，2017.

[2] 王舒瑤.數(shù)形結(jié)合思想在小學數(shù)學教學中的應用研究[D].重慶：西南大學，2015.