張亞晨

［摘 要］作業(yè)設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，是學(xué)業(yè)質(zhì)量的重要保證?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確提出學(xué)業(yè)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)是核心素養(yǎng)，這就進(jìn)一步說(shuō)明作業(yè)設(shè)計(jì)一定要圍繞核心素養(yǎng)展開(kāi)。文章著眼于作業(yè)設(shè)計(jì)內(nèi)容，從“關(guān)注層次，突出過(guò)程”“適度綜合，聚焦能力”“深度探究，重視理解”“趣味實(shí)踐，滲透應(yīng)用”四個(gè)維度入手，用案例的方式探討新課程標(biāo)準(zhǔn)下的作業(yè)設(shè)計(jì)。

［關(guān)鍵詞］作業(yè)設(shè)計(jì)； 四個(gè)維度；課程標(biāo)準(zhǔn)

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）20-0041-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課程標(biāo)準(zhǔn)”）不僅在課程理念里補(bǔ)充了“逐步形成適應(yīng)終身發(fā)展需要的核心素養(yǎng)”，而且明確了學(xué)業(yè)質(zhì)量的標(biāo)準(zhǔn)是核心素養(yǎng)。因此，新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下的小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)已不再是課堂教學(xué)的附屬品，而是重建與提升課程意義及人生意義的重要內(nèi)容。新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下的作業(yè)，包括過(guò)程性、綜合性、探究性、應(yīng)用性的作業(yè)，將拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)空間，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，挖掘?qū)W生的內(nèi)在潛能，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維。在實(shí)際教學(xué)中，按新課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生的認(rèn)知能力設(shè)計(jì)作業(yè)，顯得尤為重要。下面通過(guò)四個(gè)維度來(lái)探討小學(xué)數(shù)學(xué)的作業(yè)設(shè)計(jì)。

一、關(guān)注層次，突出過(guò)程——完善作業(yè)內(nèi)容

學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，由于接受能力不同，對(duì)知識(shí)的掌握程度也存在著不同。教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的狀況與特點(diǎn)，將學(xué)生進(jìn)行劃分，并進(jìn)行有針對(duì)性的作業(yè)布置——設(shè)置層次性作業(yè)。這里的層次性具體是指在一道題中設(shè)置多種條件，再配置思維層次逐層遞增的基礎(chǔ)題、提題等。

在設(shè)計(jì)層次性作業(yè)時(shí)，要注意“學(xué)習(xí)過(guò)程”本身也是一種知識(shí)。過(guò)程性知識(shí)具有動(dòng)態(tài)性、內(nèi)隱性、個(gè)體性，容易被忽視和遺忘。過(guò)程性知識(shí)對(duì)于結(jié)果性知識(shí)也是一種補(bǔ)充與完善。另外，對(duì)于學(xué)習(xí)過(guò)程和思維過(guò)程的評(píng)價(jià)，需要改變習(xí)題的設(shè)計(jì)方式和考查方式。因此，關(guān)注過(guò)程性知識(shí)的作業(yè)設(shè)計(jì)成為當(dāng)下應(yīng)然需求。

【例1】教學(xué)“圓的面積”之后，設(shè)計(jì)如下的作業(yè)。

層次1（基礎(chǔ)過(guò)程）：回顧圓的面積的探索過(guò)程

通過(guò)估算，猜測(cè)圓的面積和半徑關(guān)系是（? ? ? ? ?）。

（2）按照?qǐng)D2的方式將圓拼成一個(gè)近似的平行四邊形，平行四邊形的底大約可以看成（? ? ? ），平行四邊形的高可以看成（? ? ? ）。隨著圓平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近（? ? ? ），由長(zhǎng)方形面積公式得到圓的面積是（? ? ? ）。

層次2（拓展過(guò)程）：拓展圓的面積推導(dǎo)過(guò)程

將圓進(jìn)行切割后，除了能拼成平行四邊形，還可以拼成梯形。

如圖3所示，將圓平均分成（? ? ）份后可以拼成梯形，梯形的高是（? ? ?），圓的周長(zhǎng)的一半就是梯形的（? ? ），這個(gè)梯形的面積是（? ? ? ?），也就是圓的面積。

數(shù)學(xué)家在推導(dǎo)圓的面積時(shí)，想出了如圖4所示的方法：想象沿著圓的半徑將圓剪開(kāi)，把圓完全打開(kāi)，得到一個(gè)等腰三角形。如果這個(gè)想象成立，則三角形的底就是圓的（? ? ? ），三角形的高就是圓的（? ? ? ），則三角形的面積是（? ? ? ），也就是圓的面積。

層次3（應(yīng)用過(guò)程）：利用圓的面積推導(dǎo)方法解決實(shí)際問(wèn)題

如圖5，將圓環(huán)沿著線段AB剪開(kāi)，想象圓環(huán)展開(kāi)成（? ? ? ），外圈半徑減內(nèi)圈半徑就是這個(gè)圖形的（? ? ?），外圈周長(zhǎng)減內(nèi)圈周長(zhǎng)就是這個(gè)圖形的（? ? ? ?），這個(gè)圖形的面積就是（? ? ?）的面積。如果外圈半徑為R，內(nèi)圈半徑為r，這個(gè)圖形的面積為（? ? ? ? ），也就是圓環(huán)的面積。

這份作業(yè)圍繞著圓的面積的探索過(guò)程展開(kāi)，不僅回顧圓的面積的探索過(guò)程，而且深入圓的面積的推導(dǎo)過(guò)程，著重在層次2中將圓沿著半徑剪開(kāi)，想象展開(kāi)成三角形，考查圓的半徑、周長(zhǎng)與三角形的底、高之間轉(zhuǎn)化的關(guān)系，提醒學(xué)生在轉(zhuǎn)化過(guò)程中需要注意各圖形中的元素相互對(duì)應(yīng)，幫助學(xué)生更加深刻認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化方法。層次3是對(duì)層次2的反思，考查學(xué)生想象將圓環(huán)剪開(kāi)后展開(kāi)成等腰梯形的能力，拓展學(xué)生的空間觀念。三個(gè)過(guò)程性作業(yè)，能引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，其中蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想和方法能讓學(xué)生終身受益。

二、適度綜合，聚焦能力——提高作業(yè)效能

綜合類作業(yè)的核心是綜合遷移，主要表現(xiàn)為數(shù)學(xué)建模，需要用到兩種或兩種以上基礎(chǔ)知識(shí)。解決綜合性的實(shí)際問(wèn)題，需要將數(shù)學(xué)概念、公式、法則等結(jié)合起來(lái)運(yùn)用。教師要盡可能地將多樣知識(shí)、能力相互融合、相互聯(lián)系，提高作業(yè)效能。

在設(shè)計(jì)綜合類作業(yè)時(shí)，不要過(guò)度追求題目的高難度，不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)技能技巧，要重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)的通性通法。

【例2】教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)除法之后，可以設(shè)計(jì)如下3項(xiàng)作業(yè)。

1.用圈一圈的方法口算86÷2。圖6-1是在計(jì)算（? ? ）÷（? ? ）=（? ? ），圖6-2是在計(jì)算（? ? ）÷（? ? ）=（? ? ）。最終得到86÷2=（? ? ）。

2.在圖7中畫出箭頭指向數(shù)字所表示的意思。

3.學(xué)校有312盒粉筆，平均分給4個(gè)年級(jí)，每個(gè)年級(jí)得多少盒？

小明根據(jù)題意列出豎式（如圖8）。

（1）先將豎式補(bǔ)充完整。

（2）箭頭指向的7在（? ? ）位上，表示（? ? ）個(gè)（? ? ）。

（3）方框部分表示28個(gè)（? ? ）；在題中表示的意思是（? ? ）。

這三道作業(yè)題指向不同內(nèi)容的綜合。第1題是兩位數(shù)除以一位數(shù)的計(jì)算過(guò)程與分小棒操作的綜合應(yīng)用，第2題是兩位數(shù)除以一位數(shù)的豎式計(jì)算和分小棒操作的綜合應(yīng)用，兩題都考查了操作過(guò)程與計(jì)算過(guò)程的對(duì)應(yīng)聯(lián)系，豐富了學(xué)生對(duì)于操作過(guò)程和計(jì)算過(guò)程兩者關(guān)聯(lián)的認(rèn)知，同時(shí)操作和計(jì)算兩者相互轉(zhuǎn)化的過(guò)程中回顧了算法，理解了算理。第3題是利用豎式解決生活中的問(wèn)題，題目沒(méi)有簡(jiǎn)單地讓學(xué)生列豎式解決，而是做了有梯度的設(shè)計(jì)。第（1）題是填寫豎式，強(qiáng)調(diào)基本的豎式計(jì)算過(guò)程，第（2）題直接考查學(xué)生對(duì)于豎式中算理的理解，第（3）題則是進(jìn)一步考查學(xué)生對(duì)豎式中的算理在實(shí)際問(wèn)題中的認(rèn)識(shí)，三個(gè)問(wèn)題循序漸進(jìn)，讓除法豎式的練習(xí)更加立體與全面。

上述題組的設(shè)計(jì)是幫助學(xué)生深化理解操作、計(jì)算、應(yīng)用三者之間的聯(lián)系以及相互轉(zhuǎn)化。然而對(duì)于豎式而言，不管是乘法豎式還是除法豎式，都有很多的外顯表征形式，尤其是借助圖形可以創(chuàng)意地表征豎式計(jì)算。

【例3】教學(xué)長(zhǎng)方體、正方體系列知識(shí)后，可以設(shè)計(jì)以下作業(yè)（如圖9）。

工廠里有下列三種型號(hào)的鐵皮，每種型號(hào)的鐵皮不多于4張。

（1）用A型號(hào)鐵皮做底面，焊接一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體水箱，剩下的4個(gè)面要選擇哪個(gè)型號(hào)鐵皮，選幾張呢？

（2）如果從中任意選擇5張鐵皮，焊接成一個(gè)無(wú)蓋的水箱，怎樣選能使得水箱儲(chǔ)水量最大呢？

此題借用焊接水箱這個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，考查了長(zhǎng)方體和正方體的特征、表面積、體積三個(gè)最為核心的知識(shí)點(diǎn)，具有很強(qiáng)的綜合性，能使學(xué)生感受數(shù)學(xué)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)存在多種情況。數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又應(yīng)用于生活。設(shè)計(jì)有生活味的作業(yè)能夠讓學(xué)生深切感到數(shù)學(xué)就在身邊、數(shù)學(xué)是有用的，從而增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的親近感，提高作業(yè)效能。

三、深度探究，重視理解——豐富作業(yè)內(nèi)涵

探究類作業(yè)的核心是推理能力，主要表現(xiàn)為呈現(xiàn)一種或多種研究問(wèn)題的情境，可以是現(xiàn)實(shí)情境中的推理，也可以是數(shù)學(xué)抽象中的推理。探究類作業(yè)的關(guān)鍵是指向訓(xùn)練學(xué)生解決結(jié)構(gòu)不全問(wèn)題，或條件不充分、條件冗余、結(jié)論不唯一的開(kāi)放性問(wèn)題，或?qū)⒛骋缓?jiǎn)單問(wèn)題進(jìn)行變式的能力。探究類作業(yè)種類豐富，完成時(shí)段靈活，課前、課中、課后都可以安排。

【例4】認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形特征這節(jié)課中，設(shè)計(jì)如下的作業(yè)。

（1）從圖10-1的5根小棒中選擇4根小棒拼長(zhǎng)方形。

（2）圖10-2是2根吸管，怎樣圍成長(zhǎng)方形？

（3）圖10-3是3條已標(biāo)記節(jié)點(diǎn)的線段，哪一條可以圍成長(zhǎng)方形？

圖形特征基本上是從角和邊兩個(gè)方面來(lái)建構(gòu)的。對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，角比邊更抽象，因?yàn)榻鞘怯梢粋€(gè)端點(diǎn)引出的兩條射線組成的圖形。因此，在小學(xué)學(xué)習(xí)的圖形的角的特征以直角為主，也就是以長(zhǎng)方形和正方形為主。后續(xù)學(xué)習(xí)的平行四邊形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形等特殊多邊形，只要學(xué)生能了解等邊對(duì)等角、大邊對(duì)大角的定性表述，對(duì)角的定量描述沒(méi)有過(guò)多要求。

在探究完長(zhǎng)方形特征之后，學(xué)生對(duì)“長(zhǎng)方形有兩組相等對(duì)邊”印象深刻。在后續(xù)“通過(guò)畫一畫、拼一拼、擺一擺等再創(chuàng)造長(zhǎng)方形”時(shí)，基本上所有的學(xué)生都是先作一組相等對(duì)邊，再作另一組對(duì)邊，這就解釋了學(xué)生計(jì)算長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)時(shí)，為什么用“長(zhǎng)×2+寬×2”計(jì)算，這也表明學(xué)生對(duì)于長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)就是“兩組相等對(duì)邊組成的圖形”。

事實(shí)上，對(duì)于基本圖形來(lái)說(shuō)，鄰邊也是需要著重認(rèn)識(shí)的，而且很多圖形之間的區(qū)別與鄰邊有關(guān)。例如四邊形中，如果平行四邊形鄰邊相等，就是菱形；如果長(zhǎng)方形鄰邊相等，就是正方形；如果菱形鄰邊互相垂直，就是正方形等等。因此對(duì)于長(zhǎng)方形來(lái)說(shuō)，認(rèn)識(shí)鄰邊是十分必要的，可讓學(xué)生在做作業(yè)之前對(duì)長(zhǎng)方形有如圖11的建構(gòu)。

推理是學(xué)生必須具備的數(shù)學(xué)能力，也是數(shù)學(xué)作業(yè)中不可或缺的練習(xí)項(xiàng)目。

【例5】學(xué)習(xí)利用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算后，可以設(shè)計(jì)如下作業(yè)。

這周數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)了用運(yùn)算律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，小明感覺(jué)學(xué)得還不錯(cuò)。小明做了兩道題：

500÷25×4? ?? 6000÷125×8

=500÷100? ?=6000÷1000

=5? ? ? ? ? ? ? ?=6

（1）你覺(jué)得小明做的對(duì)嗎？如果不對(duì)，請(qǐng)你幫他訂正。

（2）對(duì)于簡(jiǎn)便運(yùn)算，你能提醒同學(xué)們要注意哪些點(diǎn)嗎？

學(xué)習(xí)簡(jiǎn)便運(yùn)算之后，學(xué)生容易陷入思維誤區(qū)，下意識(shí)認(rèn)為混合算式都要進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，也都可以進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。此題就是從學(xué)生思維誤區(qū)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行既定事實(shí)的推理。學(xué)生在改錯(cuò)的過(guò)程中，能夠辨析簡(jiǎn)便運(yùn)算使用范圍以及一般混合運(yùn)算的運(yùn)算順序，清楚在按照運(yùn)算順序的前提下可以簡(jiǎn)算再簡(jiǎn)算，同時(shí)理解在計(jì)算過(guò)程中順序的重要性。

探究類作業(yè)著力改變作業(yè)固定、單一的現(xiàn)狀，力求從多維度發(fā)展學(xué)生思維，將推理能力作為主要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)貫穿其中，培養(yǎng)學(xué)生“帶得走”的能力。

四、趣味實(shí)踐，滲透應(yīng)用——增加作業(yè)魅力

實(shí)踐類作業(yè)的核心是應(yīng)用意識(shí)，主要表現(xiàn)為依據(jù)現(xiàn)實(shí)內(nèi)容和學(xué)生的身心特點(diǎn)，將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決生活問(wèn)題。這類作業(yè)是通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，帶領(lǐng)學(xué)生積極探索、體驗(yàn)生活，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展的一種課外作業(yè)，一般可以在周末或者假期里布置，學(xué)生可以自由選擇是單人完成或組隊(duì)完成。

【例6】“認(rèn)識(shí)千米”實(shí)踐作業(yè)

（1）通過(guò)量、走、跑等方式感受100米，并在獲取100米的相關(guān)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)之后，推算出1000米的大致情況。

（2）在推算出1000米的大致情況之后，通過(guò)量、走、跑等方式親身感受1000米。

（3）比較推算的1000米和實(shí)際的1000米之間有什么不同，思考為什么會(huì)有這樣的不同。

通過(guò)實(shí)踐作業(yè)，學(xué)生對(duì)于千米的認(rèn)識(shí)有了更深的印象。尤其是在實(shí)踐過(guò)程中，總會(huì)遇到課本上沒(méi)寫的情況，這會(huì)引起學(xué)生很大的興趣，他們的好奇心就增強(qiáng)了，就更想研究了。

【例7】“滴水”實(shí)踐作業(yè)

“滴水”實(shí)驗(yàn)

問(wèn)題：如圖12所示，如果這樣滴一年，會(huì)浪費(fèi)多少水？

請(qǐng)同學(xué)們自行組隊(duì)，按照以下提示完成這項(xiàng)實(shí)驗(yàn)。

（1）一年按360天計(jì)，是不是真的要滴360天呢？

（2）如果不滴360天，你有什么方法能估算出一年浪費(fèi)的水有多少升？

（3）一個(gè)人的數(shù)據(jù)能不能代表最后的數(shù)據(jù)？如果不能，你準(zhǔn)備怎么處理一個(gè)小組的數(shù)據(jù)？

如果教師布置的都是理論性很強(qiáng)的作業(yè)，學(xué)生會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)失去信心。生活是學(xué)生每天都在體驗(yàn)的，“盡管客觀科學(xué)性的邏輯超越了直觀的主觀生活世界，但它卻只能回溯到生活世界的明證時(shí)，才具有它的真理”，數(shù)學(xué)正是這樣的學(xué)科。這樣的實(shí)踐作業(yè)既方便學(xué)生操作，又能豐富學(xué)生假期生活，讓學(xué)生感覺(jué)到作業(yè)不僅是寫寫背背，還有動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)，作業(yè)是有魅力的。

以上就是從層次過(guò)程、綜合能力、探究推理、實(shí)踐應(yīng)用四個(gè)方面對(duì)作業(yè)設(shè)計(jì)內(nèi)容的思考。當(dāng)然，作業(yè)設(shè)計(jì)首先要遵循學(xué)生的自主性。對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)而言，作業(yè)是學(xué)習(xí)不可或缺的部分，也是提高課堂教學(xué)效率的重要手段和保證。教師不但要關(guān)注課堂，還要關(guān)注作業(yè)的設(shè)計(jì)。在“雙減”背景以及新課程標(biāo)準(zhǔn)理念下，研究小學(xué)數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)的現(xiàn)存問(wèn)題，并找出提升作業(yè)設(shè)計(jì)質(zhì)量的策略，將是小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重要環(huán)節(jié)，需要不斷研究與實(shí)踐！