夏玉梅

摘 要：數(shù)學命題教學是學生學習和教師教學的重難點，也是發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要教學載體.研究從數(shù)學命題教學的現(xiàn)狀出發(fā)，提出基于核心素養(yǎng)數(shù)學命題課的設計原則，在此基礎上以“一元二次方程根與系數(shù)的關系”為支點，展示核心素養(yǎng)視域下命題教學的實踐探索.

關鍵詞：數(shù)學核心素養(yǎng);數(shù)學命題教學;根與系數(shù)的關系

課程目標是數(shù)學課程育人價值的集中體現(xiàn)，《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）將“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”確定為數(shù)學課程的育人指向，即數(shù)學核心素養(yǎng)^［1］.回顧近年來關于核心素養(yǎng)的研究，較多指向理論研究，且關于教學策略的研究也以說理為主，研究操作性不強.命題教學作為培養(yǎng)和發(fā)展學生核心素養(yǎng)的優(yōu)質載體，往往容易被教育工作者所忽視.研究基于核心素養(yǎng)提出數(shù)學命題課的設計思想，以蘇科版“一元二次方程根與系數(shù)的關系”這一具體案例為支點，嘗試探究出數(shù)學核心素養(yǎng)在數(shù)學命題課的落腳點、生長點和發(fā)展點.

1 基于核心素養(yǎng)的數(shù)學命題課的設計思想

1.1 基于認知，理解數(shù)學核心素養(yǎng)

《標準》指出初中數(shù)學核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應用意識、創(chuàng)新意識^［1］.實際上，中學教師并不缺乏核心素養(yǎng)的理論知識，也熟悉數(shù)學核心素養(yǎng)的定義，但對其內涵的理解還不夠深入，這不利于教師將數(shù)學核心素養(yǎng)內化為設計教學的依據(jù).近年來，眾多教育研究者就數(shù)學核心素養(yǎng)提出了自己的見解，如有研究者在整合數(shù)學核心素養(yǎng)相關研究的基礎上，認為數(shù)學核心素養(yǎng)是個體從數(shù)學的角度觀察事物，并借助數(shù)學知識與思想方法解決數(shù)學學習或者現(xiàn)實生活情境中相關問題的綜合能力以及個體所持有的數(shù)學情感態(tài)度、價值觀等^［2］.教師不應該故步自封，應嘗試領略教育研究者的學術爭鳴，結合自身的認知及教育經驗，深入理解數(shù)學核心素養(yǎng)的內涵，逐步形成自己獨到的見解.

1.2 研讀教材，明確數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學核心素養(yǎng)的形成不是一蹴而就的，它往往以數(shù)學知識為依托，在學生的數(shù)學學習過程中慢慢生長.教師作為數(shù)學教材與學生之間的傳話者，開發(fā)出教材中涵蓋的數(shù)學核心素養(yǎng)對進一步在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)起著舉足輕重的作用.

數(shù)學命題學習主要是學習數(shù)學中的公理、定理、公式、法則等內容，學習內容比較抽象，教師對命題教學中蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)的挖掘也普遍出現(xiàn)難點.實際上，一個單元或一堂課，不可能只涉及一個數(shù)學核心素養(yǎng)，邏輯推理和數(shù)學運算幾乎在所有的數(shù)學課中都有體現(xiàn)^［3］.教師應以教育研究者研究教材的視角看問題，在此基礎上學習優(yōu)秀教師如何挖掘命題課中的數(shù)學核心素養(yǎng)，嘗試以高觀點的視角審視、反思自己的挖掘情況，從而明確教材中核心素養(yǎng)的體現(xiàn)之處.

1.3 合理設計，落實數(shù)學核心素養(yǎng)

數(shù)學命題教學相較于數(shù)學概念而言，往往更具抽象性、邏輯性.傳統(tǒng)的命題教學往往是灌輸式的，部分教師在教學中普遍會出現(xiàn)“直接給出數(shù)學命題，再讓學生反復練習即可”的情況，這有礙于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的生成.數(shù)學命題的教學設計要力求凸顯本節(jié)課的核心法則、典型思維，教師應努力踐行在教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).一方面，教師可以以多個優(yōu)秀教師的教學設計為學習對象，嘗試以他人的視角審視、反思自己的教學設計，初步設計出能培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的教學過程；另一方面，教師可以根據(jù)學生的層次，設計恰當?shù)那榫匙鳛閷W生命題學習的載體，讓他們親身去經歷命題的發(fā)現(xiàn)、探索過程，在課堂中真正落實數(shù)學核心素養(yǎng).

為了讓核心素養(yǎng)視域下的命題教學更具實踐性，研究以“一元二次方程根與系數(shù)的關系”為支點，結合設計思想分析該課的教學背景，在此基礎上再進行教學案例設計.

2 教學背景分析

在課程準備階段，教師應根據(jù)學生的原有基礎，結合課程蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)，明晰學生應達到的素養(yǎng)目標層次.

2.1 素養(yǎng)分析

蘇科版教材從問題情境入手，通過讓學生觀察具體方程及相應根的關系，結合適當?shù)奶崾菊Z，鼓勵學生提出猜想，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，進一步引導學生證明猜想，鍛煉學生的推理與運算能力，最后在適當時機提供針對性的例題，幫助學生強化知識.

2.2 學生診斷分析

本課的教學對象是初中三年級學生，他們較好地儲備了用多種方法解一元二次方程等數(shù)學知識，了解了由特殊到一般的思想方法.該階段的學生更偏向于從直觀、形象的角度認識事物，雖然他們可能有一定的學習基礎和推理興趣，但更關注問題應用.

2.3 素養(yǎng)目標分析

借助喻平教授關于核心素養(yǎng)的評價框架^［3］，確定該節(jié)課的數(shù)學核心素養(yǎng)達成的各水平表現(xiàn)，具體如表1所示.

在實際教學中，教師可以基于學生的原有水平，確定學生所應達到的數(shù)學核心素養(yǎng)目標層次，再根據(jù)目標逆向設計教學過程.

3 教學案例設計

本節(jié)課是一節(jié)數(shù)學命題課，設計思路主要采用問題解決模式，即以“問題情境—引入命題—命題證明—命題應用”為主線建構教學，在實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)落地課堂的同時，也力求還原命題該有的“味道”.

環(huán)節(jié)1 知識回顧，導入新知

問題1：前面我們已經學習了如何求一元二次方程的根，回顧一下有哪些方法呢？

問題2：對于ax²+bx+c=0（a≠0），當判別式大于等于0時，你能說出一元二次方程的求根公式嗎？求根公式揭示了一元二次方程的兩根與系數(shù)間的直接關系，那么一元二次方程的根與系數(shù)間是否還有更深一層的聯(lián)系呢？這就是本節(jié)課我們要繼續(xù)研究的問題——一元二次方程的根與系數(shù)的關系.

設計意圖：通過開放性問題1幫助學生復習舊知，讓不同層次的學生均能夠參與其中，同時也為本節(jié)課的探索之路做預熱練習.根據(jù)學生的回答，教師進行引導、跟進提出問題2.利用問題2讓學生明白前后所學知識有必然聯(lián)系，但是沒有告訴學生是怎樣的聯(lián)系，激發(fā)學生的探究興趣，同時引出本節(jié)課要研究的內容.

環(huán)節(jié)2 合作探究，探索新知

小組合作 將學生分為A，B，C，D，E五個組，讓其按順序分別對應完成下面5個方程的求解，見表2.

問題3：觀察表2，你能發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間有什么關系嗎？（若學生找不出關系，教師則展示整理后的數(shù)據(jù)表，見表3）

設計意圖：當學生不能注意到根與系數(shù)的關系時，教師給予適當暗示，幫助學生建立最近發(fā)展區(qū).此外，教師故意將這五個方程的二次項系數(shù)均設置為1，1作為分母時通常會省略，容易導致學生得出：“兩根之積與常數(shù)項相等，兩根之和與一次項系數(shù)互為相反數(shù)”這樣的錯誤猜想，教師順勢提出問題4，提醒學生注意根與系數(shù)的關系與方程的二次項系數(shù)相關.

問題4：利用得出的猜想，嘗試驗證之前提出的猜想是否正確？（注意可以關注之前沒有涉及到二次項系數(shù).）

⑥ 2x²-5x-3=0；

⑦ 3x²-7x+4=0.

設計意圖：方程①～⑤得出的錯誤猜想，在方程⑥和⑦中被推翻.在這個過程中，讓學生明白進行猜想時不能只參考特殊的例子，應該聚焦于更一般的例子，培養(yǎng)學生會猜想、能合理猜想的能力，進而發(fā)展學生的教學抽象能力.

幾何畫板演示：教師用幾何畫板演示更多案例（見圖1），讓學生從最直觀的角度驗證猜想的合理性.隨著一元二次方程各項系數(shù)的改變，根與系數(shù)的關系都滿足猜想.

素養(yǎng)培養(yǎng)：教師將課堂交給學生，以小組合作的方式，使學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、描述規(guī)律，經歷從特殊到一般的學習過程，進而獲得思維的碰撞、能力的提升、情感的交流、思維的延伸，逐步培養(yǎng)學生的抽象能力、推理能力.

環(huán)節(jié)3 驗證猜想，得出定理

問題5：既然有了猜想，就需要驗證猜想的正確性.我們由求根公式發(fā)現(xiàn)了根與系數(shù)之間存在著聯(lián)系，你能從這個角度來證明猜想嗎？

素養(yǎng)培養(yǎng)：教師引導學生證明猜想，幫助學生養(yǎng)成嚴謹?shù)臄?shù)學態(tài)度，培養(yǎng)學生的推理論證及運算能力.同時在證明時，指導學生從不同視角理解、分析、解決同一問題，發(fā)散了學生的思維.最后再借助課下思考題培養(yǎng)學生獨立思考的能力.

環(huán)節(jié)4 例題講解，強化新知

例1 若x₁、x₂是下列方程的兩根.嘗試不解方程，求出兩根之和與兩根之積.

（1） x²+2x-5=0；

（2） 2x²+x=1.

反思：想一想：求出兩根之和以及兩根之積的關鍵是什么？

例2 若方程2x²-mx-9=0的一個根為-3，求另一根及m的值.（教師可以適當提示學生，如圖2）

例3 小明、小華、小亮分別求出了方程9x²+6x-1=0的根，請判斷誰的答案正確？

設計意圖：例1例3幫助學生鞏固了一元二次方程根與系數(shù)的關系，考查了學生靈活運用知識解決問題的能力，讓學生體會根與系數(shù)的關系在解題中的巧妙運用.在解題時也讓學生注意到利用韋達定理之前，需要先將方程轉化為一般形式，以便找準系數(shù)，熟練公式的結構，為后面解決難度系數(shù)較高的題目打實根基.

環(huán)節(jié)5 師生互動，課堂小結

總結1 本節(jié)課，我們學習了哪些內容？教師展示圖3.

總結2 我們是如何研究本節(jié)課的知識的？教師展示圖4.

設計意圖：總結1讓學生在互動中歸納總結、理順知識，進一步突出了學習內容的重難點，幫助學生構建知識網絡，培養(yǎng)他們優(yōu)良的數(shù)學思維品質、數(shù)學學習習慣.總結2通過流程圖讓學生領悟知識點涵蓋的思想方法，滲透由特殊到一般的認識事物的規(guī)律.

環(huán)節(jié)6 課后閱讀，拓展延伸

課外閱讀：公元前1800～1600年的古巴比倫時期，數(shù)學泥板上就記載關于給定兩數(shù)的和與積，求兩數(shù)的問題；三國時期，趙爽（約公元182～250）在研究勾股弦三邊互求的方法中，也提到已知兩數(shù)的和與積，分別求兩個數(shù).16世紀，意大利數(shù)學家卡丹（1501～1576）、法國數(shù)學家佩勒蒂耶（1517～1582）、意大利數(shù)學家邦貝利（1526～1572）均發(fā)現(xiàn)方程的根與系數(shù)之間存在聯(lián)系.1591年，法國數(shù)學家韋達（1540～1603）正式以定理的形式給出方程的根與系數(shù)的關系.1629年，荷蘭數(shù)學家吉拉爾將定理推廣到一元ｎ次方程，并對正根、負根、虛數(shù)根以及重根都成立，且發(fā)現(xiàn)冪和公式.

設計意圖：了解韋達定理的歷史發(fā)展過程，使學生領略數(shù)學的精髓，激發(fā)學生的學習興趣，啟發(fā)學生的認知發(fā)展，提高學生對知識的理解和對數(shù)學價值的認識.

4 結束語

核心素養(yǎng)指向課程的育人目標，它強調培養(yǎng)人的正確價值觀、必備品格和關鍵能力.研究對核心素養(yǎng)視域下數(shù)學命題的教學提出相應的設計思想，并在此基礎上以“一元二次方程根與系數(shù)的關系”為例進行具體分析，為教師提供了可操性強、目標指向明確的教學設計依據(jù).新課程理念下，如何將課程目標落實到具體教學、讓核心素養(yǎng)的培養(yǎng)生根落地并轉化為課堂教學行動力，還需要更多的實踐探討.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部，義務教育數(shù)學課程標準［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］ 呂世虎，吳振英.數(shù)學核心素養(yǎng)的內涵及其體系構建［J］.課程.教材.教法，2017，37（9）：1217.

［3］ 喻平.數(shù)學核心素養(yǎng)評價的一個框架［J］.數(shù)學教育學報，2017，26（2）：1923+59.