數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)視角下的高考試題分析及教學(xué)建議

【摘? 要】? 數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)活動的基本形式，是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.文章剖析了2023年全國高考數(shù)學(xué)乙卷蘊含的多維度、多角度落實數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的考查內(nèi)容和方式，并給出一些有效的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】? 數(shù)學(xué)運算；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；試題分析；教學(xué)建議

1? 問題的提出

供陜西、甘肅、寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙、江西、河南八省的2023年全國高考數(shù)學(xué)乙卷，全面考查了考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力，充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的高考考查要求，凸顯數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科和在人才選拔中的重要作用，但不少考生認(rèn)為試題結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難度不大，就是沒有做完，特別是實際分?jǐn)?shù)與期望存在較大反差.那么是什么原因?qū)е路謹(jǐn)?shù)的落差呢？本文筆者從數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的視角來剖析試題，并給出些許教學(xué)建議，不當(dāng)之處敬請指正.

2? 基于運算素養(yǎng)的試題分析

數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的必由之路和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段，試題彰顯數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)活動的基本形式，充分體現(xiàn)了“無運算不數(shù)學(xué)”的特點.按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）給出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù)，數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)被劃分為三個水平，每一個水平又通過情境與問題、知識與技能、思維與表達(dá)和交流與反思這四個維度進(jìn)行表述，根據(jù)滿意原則，將每道試題四個維度中的最高水平作為該試題的運算素養(yǎng)水平得到表1［1］，下面舉例說明相關(guān)“水平”的確定.圖1

例1? （理科第19題）如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點分別為D，E，O，AD=5DO，點F在AC上，BF⊥AO.

（1）證明：EF∥平面ADO；（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

試題分析? 本題以三棱錐為載體進(jìn)行命題，考查了線面平行、面面垂直的判定和二面角的求法.前兩問表面看是空間線面位置關(guān)系的幾何證明，實則蘊含大量的代數(shù)推理. 因為點F由BF⊥AO確定，所以問題的關(guān)鍵就是恰當(dāng)利用條件BF⊥AO，推得F是AC的中點. 解答時，首先要在數(shù)學(xué)情境中迅速地找到運算對象；然后根據(jù)題目所需，選擇比較合適的運算方法求得所需結(jié)果. 第一問，可從以下三個角度進(jìn)行思考： ①向量基底法或向量坐標(biāo)法，從計算BF·AO入手，如設(shè)AF=tAC，則BF=BA+AF=（1－t）BA+tBC，AO=－BA+12BC，則由BF·AO=0，解得t=12，得F為AC的中點；②解析法，如以BA，BC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，從計算斜率，即kBF×kAO=－1入手，求得F（1，2），說明F為AC的中點；③利用平面幾何知識，如同一法（設(shè)F′是AC的中點，利用三角形相似或勾股定理的逆定理證BF′⊥AO，由唯一性知BF與BF′重合，即F、F′為同一點）.最后證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

第二問，可從以下兩個角度進(jìn)行思考：①利用向量法，如計算法向量，證法向量垂直；②幾何綜合法，如計算OD2+AO2=AD2=152，利用勾股定理的逆定理得OD⊥AO，進(jìn)而由線面和面面垂直的判定定理證明.

第三問，同樣有兩個思考角度，如圖2：①利用空間向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，得平面AOC的一個法向量m=（0，0，1），平面ADO的一個法向量n=（1，2，3），由向量夾角公式和同角關(guān)系得結(jié)論為22；

②幾何綜合法（一作二證三計算），如過點O作OH∥BF交AC于點H，則∠DOH為二面角D-AO-C的平面角，但運用余弦定理求角時需求△DOH的三邊長，它不僅需繼承已有結(jié)果，而且計算邊DH=152的運算也不簡單.詳解? 略.

素養(yǎng)水平? 通過對試題的詳細(xì)分析可知，該題在考查相關(guān)空間點、線、面位置關(guān)系判定的同時，全面考查考生空間想象、運算求解、邏輯推理及綜合分析解決問題的能力.第一問在情境與問題這個維度涉及到的只有數(shù)學(xué)情境，無其它情境；在知識與技能這個維度，考查的知識點涉及線線平行、線面平行的判定和線線垂直的性質(zhì)及相關(guān)平面幾何知識，考查考生靈活應(yīng)用所學(xué)知識，選擇合理運算方法解決問題的能力；在思維與表達(dá)這個維度，體會通過合理運算解決線面平行的推理證明過程，形成規(guī)范化思考解決問題的品質(zhì)；從交流與反思這個維度來看，體現(xiàn)了借助運算探討位置關(guān)系的運用.根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》有關(guān)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平劃分，第一小問基本可以劃分為數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平2.

第二問承前啟后，通過勾股定理的逆定理得到DO⊥AO，進(jìn)而有EF⊥AO，說明考生能將題目提供的數(shù)據(jù)信息與幾何圖形有機聯(lián)系，并能形成合理的運算思路解決問題，類同第一問，根據(jù)加分原則，可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)水平2的要求.

第三小問在情境與問題這個維度仍僅涉及數(shù)學(xué)情境，運算對象清晰；在知識與技能這個維度，在前兩問的基礎(chǔ)上還涉及二面角、空間向量坐標(biāo)、法向量、夾角公式、同角三角關(guān)系等知識點，主要考查考生根據(jù)所求問題選擇適合解決該問題的運算方法；在思維與表達(dá)這個維度，主要考查學(xué)生能否利用所學(xué)知識設(shè)計運算程序，求出二面角的正弦值，進(jìn)而體驗運算即邏輯推理的過程；在交流與反思這個維度，體現(xiàn)了利用運算結(jié)果說明問題這一過程，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，該問達(dá)到數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平2的要求.

例2? （理科第20題，文科第21題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的離心率是53，點A（－2，0）在C上．

（1）求C的方程；（2）過點（－2，3）的直線交C于P，Q兩點，直線AP，AQ與y軸的交點分別為M，N，證明：線段MN的中點為定點．

試題分析? 該題以圓錐曲線中的橢圓為載體設(shè)置，第一問相對比較簡單， 主要考查的是考生能夠利用主干條件求出題目中要求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第二問在主干條件的大前提下，又設(shè)置了小條件作為問題解決的媒介，考查的是直線恒過定點問題.

解答第二問，首先要不拘泥于試題的固有形式，能對試題適當(dāng)拓展延伸，問題即驗證yM+yN2為定值；其次，能夠針對所求問題選擇較合適的運算方法，最主要的是結(jié)合所學(xué)知識將抽象的動態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為可以直接解答的問題，如圖3.

易知直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ：y=k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理可得

x1+x2=－8k（2k+3）4k2+9，x1x2=16（k2+3k）4k2+9，再在直線AP：y=y1x1+2（x+2）中，令x=0，得yM=2y1x1+2，變量替換可得yN=2y2x2+2，綜合y1=k（x1+2）+3，y2=k（x2+2）+3等信息，運算得

yM+yN2=3，即證得線段MN的中點是定點（0，3）.

在整個解題過程中考生能體驗到利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸思想解決復(fù)雜問題的功效，及規(guī)范化的理性思維品質(zhì)和克服困難、勇攀高峰的精神意志.詳解? 略.

素養(yǎng)水平? 通過上面對試題的詳細(xì)分析，可以看到這道試題不僅是單一地考查相關(guān)知識點，還考查考生的綜合分析及解決問題的能力. 這道試題的第一問在情境與問題這個維度涉及到的只有單純的數(shù)學(xué)情境，無其它任何的實際情境；在知識與技能這個維度，考查的知識點涉及橢圓的離心率、頂點、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考查考生應(yīng)用所學(xué)知識列、解方程的能力；在思維與表達(dá)這個維度，考生能夠體會橢圓的幾何性質(zhì)及方程思想對整個問題解決的關(guān)鍵作用；從交流與反思這個維度來看，體現(xiàn)了“反思” 這個過程. 根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》有關(guān)數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平劃分，該問基本可以劃分為數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平1.

第二問在情境與問題這個維度涉及到的是純數(shù)學(xué)情境，只需簡單轉(zhuǎn)化即可明確運算對象；在知識與技能這個維度，該問除了要利用第一問的計算結(jié)果之外，還涉及直線方程、直線與橢圓位置關(guān)系、韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式和定點等知識點，主要考查考生能否綜合應(yīng)用所學(xué)過的知識，結(jié)合題目條件準(zhǔn)確地找出運算問題，再根據(jù)所求問題的類型選擇適合解決該運算問題的運算方法；在思維與表達(dá)這個維度，主要考查學(xué)生能否利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、設(shè)而不求、設(shè)而要求、化歸等思想方法設(shè)計運算程序，求出點M、N的坐標(biāo)之和；其次，在解題過程中切身體會到運算過程是一種邏輯推理過程；在交流與反思這個維度，體現(xiàn)了“反思”這一過程，說明考生能合理構(gòu)造運算程序，綜合運用相關(guān)運算，完美解答問題，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，遵循加分原則，該問可以劃分為數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的水平3.

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程. 從表1展示的素養(yǎng)水平可以看出，全卷100%的題需計算，整體計算量較大，運算能力水平要求較高，如理科設(shè)問32個，運算素養(yǎng)水平1、2的問題各15個，水平3的問題2個，相關(guān)問題的分值權(quán)重依次為43.8%，48.7%，7.5%，理科運算素養(yǎng)的考查水平明顯高于文科，雖有近一半的題目運算對象明確，運算所必須的知識及技能熟悉，但它與正確求得運算結(jié)果還有較大距離，對于需要轉(zhuǎn)化甚至構(gòu)造運算對象，探究運算方法的題目，更需考生具備較強的綜合運用知識分析和解決問題的能力.

3? 基于運算素養(yǎng)的教學(xué)建議

高考題是命題專家依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》和《中國高考評價體系》經(jīng)過嚴(yán)格推敲，體現(xiàn)“一核四層四翼”的良好素材，是中學(xué)教與學(xué)的指南針，深化對高考考查方式、命題特點的理解，在教中練，在練中悟，在悟中學(xué)，在學(xué)中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是我們教學(xué)的出發(fā)點和著力點.這里以運算素養(yǎng)的主要表現(xiàn)形式為抓手，通過具體試題的剖析，給出教學(xué)建議，促使大家在欣賞高考試題的同時，強化培養(yǎng)運算素養(yǎng)的意識.3.1? 理解運算對象，保證運算的根正苗紅

例3? ?（理科第3題，文科第3題）如圖4，網(wǎng)格紙上繪制的一個零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該零件的表面積為（? ）.A.24??? ?B.26? C.28? ???D.30

解析? 如圖5所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，點H，I，J，K為所在棱上靠近點B1，C1，D1，A1的三等分點，O，L，M，N為所在棱的中點，

則三視圖所對應(yīng)的幾何體為長方體ABCD-A1B1C1D1去掉長方體ONIC1-LMHB1之后所得的幾何體.

解法1? 直接法.該幾何體的表面積為正方體ABCD-KHIJ的表面積與長方體KMNJ-A1LOD1的側(cè)面積之和：（2×2）×6+（2×2+1×2）×1=30.

解法2? 間接法.該幾何體的表面積和原來的長方體的表面積相比少2個邊長為1的正方形，其表面積為：（2×2）×2+（2×4）×3－（1×1）×2=30. 故選D.

評析與建議? 求空間幾何體的表面積，關(guān)鍵是要弄清幾何體的類型及其結(jié)構(gòu)特征，并正確寫出面積表達(dá)式.本題由三視圖還原空間幾何體，在求其表面積時易忽視面MNOL錯選C，忽視底面錯選B，或空間上的對象模糊混亂，如用ABCD-A1B1C1D1的表面減去MHIN-LB1C1O的表面或側(cè)面或底面而錯選B、C、A等等.由于學(xué)生的基礎(chǔ)和理解能力不盡相同，教學(xué)中對寫錯算式不能簡單用“粗心馬虎”武斷了之，而應(yīng)放慢速度，長期地從題目閱讀、疑點釋疑、難點化解、重點突破、關(guān)系梳理及數(shù)學(xué)表達(dá)等方面探索交流，以落實學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目的，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，形成扎實的運算基礎(chǔ).3.2? 掌握運算法則，儲備運算的科學(xué)武器

例4? （理科第1題）設(shè)z=2+i1+i2+i5，則=（? ）.

A.1－2i??? B. 1+2iC. 2－i??? ???D. 2+i

解析? 由題意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1－1+i=i（2+i）i2=2i－1－1=1－2i，則

=1+2i. 故選B.

評析與建議? 掌握復(fù)數(shù)四則運算及乘方運算法則是計算復(fù)數(shù)z的關(guān)鍵，且本題仍存在i5計算或四則運算不仔細(xì)，忽視目標(biāo)是求共軛復(fù)數(shù)等因素出錯.中學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)定義、定理、公式、運算法則，系統(tǒng)地觀察并不多，如數(shù)式的六種初等運算（加、減、乘、除、乘方和開方），集合、指對數(shù)、三角、向量、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)運算法則，但由于其非?；?，使用頻率高，運用的綜合性強，因而對這些法則必須深度理解、系統(tǒng)地準(zhǔn)確記憶并能靈活應(yīng)用.

3.3? 探究運算思路，把準(zhǔn)運算的正確方向例5? （理科第12題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點A，直線PB與⊙O交于B，C兩點，D為BC的中點，若PO=2，則PA·PD的最大值為（? ）.

A.1+22??? B. 1+222C. 1+2? D. 2+2

解析? 解法1? 三角法.由OA=1，OP=2及題意，得PA=1，∠APO=π4.

當(dāng)點A，D位于直線PO異側(cè)時，設(shè)∠OPC=α，0≤α≤π4，則PA·PD

=|PA|·|PD|cosα+π4=12－22sin2α－π4.

由0≤α≤π4，得－π4≤2α－π4≤π4，所以，當(dāng)2α－π4=－π4時，PA·PD有最大值1.

當(dāng)點A，D位于直線PO同側(cè)時，設(shè)∠OPC=α，0≤α≤π4，則PA·PD

=PA·PDcosπ4－α=12+22sin2α+π4.

0≤α≤π4，則π4≤2α+π4≤3π4，所以，當(dāng)2α+π4=π2時，PA·PD有最大值1+22.

綜上可得，PA·PD的最大值為1+22.故選A.

解法2? 向量投影法. 如圖6所示，OA=1，OP=2，則由題意可知PA=1，∠APO=π4.由于D為BC的中點，所以PB⊥OD，所以點D在以PO為直徑的圓上，設(shè)PO的中點為Q，垂直PA的直線切圓Q于點D0，交PA于點E0，則∠D0QO=π4，所以AE0=QD0－12PA=22－12，PE0=PA+AE0=22+12，PE是PD在PA上的投影，于是PA·PD=PA×PE≤PE0=2+12.解法3? 估算法. 注意到四個選項相差較大，

PA·PD=PA×PE=PE，借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)PE∈（0，PE0］，而PE0∈（1，2），B，C，D三個選項都大于2，故選A.

評析與建議? 解法1的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，反映了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.然而完整作答需分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義得到PA·PD=12－22sin2α－π4，或PA·PD=12+22sin2α+π4，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定

PA·PD的最大值，大小有近二十步的計算量，耗時費力.解法2充分利用數(shù)量積的幾何意義，借助直觀圖形，結(jié)合向量投影的幾何屬性，輔以適量的運算求解，事半功倍；解法3結(jié)合題設(shè)條件的幾何特征與選擇支差異，通過較強的直觀想象和數(shù)感能力分析得解，達(dá)到“上兵伐謀”之功效.無疑，解法3的境界是我們的追求，但冰凍三尺非一日之寒，高中數(shù)學(xué)運算技巧很多，除了基本的公式法則的正用、逆用、變用外，還包括換元、配方、待定系數(shù)、化整為零、化零為整、恒等變換、數(shù)形轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求、放縮變換等等，要達(dá)到靈活運用技巧解題，須在平時善于提煉數(shù)學(xué)思想方法，善于挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，善于一題多解并能舉一反三，善于訓(xùn)練積累和鉆研.3.4? 設(shè)計運算程序，鋪平運算的康莊大道例6? （理科第21題）已知函數(shù)f（x）=1x+aln（1+x）.

（1）當(dāng)a=－1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；

（2）是否存在a，b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.（3）若f（x）在（0，+∞）存在極值，求a的取值范圍.

解析? 數(shù)學(xué)運算既服務(wù)于解題，又引導(dǎo)解題方向，合理的運算程序蘊于解題程序之中，本題解題流程圖（圖7）的每一模塊實質(zhì)上包含一個或多個運算步驟.請讀者不妨依程序框圖試著寫出題目詳解.

評析與建議? ?（1）求切線方程的核心是利用f′（x）的幾何意義求切線的斜率f′（1），一般求f′（x）要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導(dǎo)，對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時要進(jìn)行換元.接著求切點坐標(biāo)到切線方程的化簡整理，運算貫穿始終，可以說運算過程就是解題過程.

（2）遵循定義域優(yōu)先原則，結(jié)合對稱的必要條件，通過函數(shù)的定義域即可確定實數(shù)b=－12，進(jìn)一步由函數(shù)的對稱中普遍與特殊的關(guān)系，利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)a的方程，解方程可得實數(shù)a=12，最后檢驗所得的a，b是否正確，完成充分性論證，體現(xiàn)運算在解決問題中的工具性和邏輯價值.

（3）f（x）在（0，+∞）存在極值等價于f′（x）有變號的零點，等價于f′（x）=0有變號根，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)h（x）=ax2+x－（x+1）ln（x+1），求h′（x）=2ax－ln（x+1），分三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，可求得實數(shù)a的取值范圍是0，12.即：

①當(dāng)a≤0時，h′（x）<0，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，此時h（x）<h（0）=0，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點，不合題意;

②當(dāng)a≥12時，由于h″（x）=2a－1x+1>0，所以h′（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）>h′（0）=0，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）>h（0）=0，所以h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點，不合題意；

③當(dāng)0<a<12時，由h″（x）=2a－1x+1=0可得x=12a－1.

當(dāng)x∈0，12a－1時，h″（x）<0，h′（x）單調(diào)遞減，h′（x）<h′（0）=0；

當(dāng)x∈12a－1，+∞時，h″（x）>0，h′（x）單調(diào)遞增，利用lnx<x－1x（x>1）（*）得h′（x）=2ax－ln（x+1）>2ax－x+1－1x+1=（2ax+1－1）xx+1.

令2ax+1－1=0，得x0=14a2－1，于是h′（x0）>0，

根據(jù)零點存在性定理可知：h′（x）在區(qū)間12a－1，x0，即（0，+∞）上存在唯一零點x1.

當(dāng)x∈（0，x1）時，h′（x）<0，h（x）單調(diào)減，h（x1）<h（0）=0；

當(dāng)x∈（x1，+∞）時，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增，利用不等式（*），有

h（x）=ax2+x－（x+1）ln（x+1）>ax2+x－（x+1）x+1－1x+1=（ax+1－x+1）x.

令ax+1－x+1=0，得x2=1－2aa2，所以h（x2）>0，

所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（x1，x2），即（0，+∞）上存在變號零點，符合題意.

前面四次等價轉(zhuǎn)化需要對問題有較強洞察和模式識別能力，之后的h（x）零點研究，特別是在0<a<12時“找點”利用定理驗證零點存在性的環(huán)節(jié)，沒有合理解題思路指引，沒有厚積的知識儲備和扎實的運算素養(yǎng)，是不可能實現(xiàn)解題愿望的.

運算的程序設(shè)計是數(shù)學(xué)運算最重要的內(nèi)容，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的保證，它不僅對數(shù)學(xué)中許多問題的解決有重要作用，而且廣泛應(yīng)用于其它科學(xué)技術(shù)之中.運算的程序設(shè)計能力也是一種數(shù)學(xué)理性思維能力的具體體現(xiàn)，教師要不失時機地通過問題與交流、探究與歸納、模仿與表達(dá)、實踐與反思等手段重點培養(yǎng).

4? 結(jié)束語

1963年編制的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》首次明確提出“培養(yǎng)學(xué)生正確而且迅速的計算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”的要求.1991年原國家教育委員會發(fā)布《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)科說明》提出“數(shù)學(xué)科考試旨在測試基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識和方法，分析和解決問題的能力”，即所謂“三基四能” ［2］.2017年版（2020年修訂）的《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了包含數(shù)學(xué)運算的六個既有獨立性又互相交融的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時在高考從能力立意到核心素養(yǎng)立意的實踐中，數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)肩負(fù)著異乎尋常的責(zé)任. 從“三大能力”中的“計算”，到“四大能力”中的“運算”，再到“五大能力”中的“運算求解，數(shù)據(jù)處理”，再到《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)”，統(tǒng)統(tǒng)說明數(shù)學(xué)始終離不開數(shù)學(xué)運算.運算素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)未來社會的一個最基本素養(yǎng)，它是甄別個人思維能力、展現(xiàn)思維過程的載體，是促進(jìn)個人智力發(fā)展的催化劑，是學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度、意志品質(zhì)的反映，是數(shù)學(xué)落實立德樹人的指路明燈，更是決定數(shù)學(xué)高考成敗的關(guān)鍵！

參考文獻(xiàn)

［1］? 李子瞻，胡典順.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新舊高考比較分析——以2021年新高考Ⅰ卷與2020年全國Ⅰ卷為例＼[J＼].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2022（03）：26-30.

［2］? 任子朝，陳昂，趙軒.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評價研究＼[J＼].課程·教材·教法，2018（05）：116-121.

作者簡介? 劉正章（1968—），正高級教師， 特級教師，陜西名師，省級教科研先進(jìn)個人；主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)學(xué)文化;撰寫數(shù)學(xué)書籍30多部，發(fā)表文章130余篇，主持省市級課題10多個．