［摘 要］“單元整體教學”和“起始課”是深度學習最好的抓手，是核心素養(yǎng)落地的保障。文章以浙教版教材九年級上冊“圖形的相似”單元起始課為例，介紹改進前、后的教學設計，分析教學設計的意圖，闡述單元整體教學視角下對起始課的認識，探討起始課教學的策略，并對如何引導學生建立知識結構和感悟知識研究的過程進行探討。

［關鍵詞］單元整體教學；起始課；圖形的相似

［中圖分類號］" " G633.6" " " " ［文獻標識碼］" " A" " " " ［文章編號］" " 1674-6058（2024）17-0017-05

隨著新課程改革的深入推進，“單元整體教學”和“起始課教學”走進了教師的日常教學。單元整體教學視角下的起始課教學，一方面通過一節(jié)課的教學厘清全章知識的整體結構和邏輯，讓學生對將要學習的知識心中有數(shù)；另一方面解決“為何學”“學什么”“如何學”的困惑?？v觀現(xiàn)實課堂，一些教師在教學時只重視知識的傳授和技能的訓練，對起始課教學挖掘不深，造成學生學習目的不明確，“只見樹木，不見森林”；對章前引言的思想方法滲透、情感態(tài)度與價值觀培養(yǎng)等育人功能的認識不夠深刻。沒有學生主動參與和親身體驗的課堂很難實現(xiàn)育人功能。本文以“圖形的相似”單元起始課為例，具體闡述如何在理解數(shù)學的基礎上，基于深度學習的理念整體設計教學活動。

一、課例簡述

環(huán)節(jié)一 ：情境引入

師：觀察圖1，請指出這些直角三角形的形狀和大小有什么特點？

環(huán)節(jié)二 ：新知探索

合作探究：量一量圖2中兩個三角形各個內角的度數(shù)，再算一算各條邊的長。

想一想：（1）△A'B'C'與[△ABC]對應角之間有什么關系？（2）△A'B'C'與△ABC對應邊之間有什么關系？

師生活動：學生動手測量，共同發(fā)現(xiàn)三角形對應角和對應邊之間的關系；教師給出相似三角形的定義和由定義得到的性質，并介紹相似比的概念。

環(huán)節(jié)三： 例題教學

［例1］如圖3，在[△ABC]中，已知[D]、[E]分別是[AB]、[AC]邊的中點。求證：[△ADE] ∽[△ABC]。

［例2］如圖4，[D]、[E]分別是[△ABC]的[AB]、[AC]邊上的點，[△ADE] ∽[△ABC]。已知[AD]∶[DB]=1∶2，[BC=9] cm，求[DE]的長。

［變式］如圖5，CD、BE相交于點A，連接DE、BC，[△ADE] ∽[△ABC]。

（1）若[∠D=35°]，[∠DAE=100°]，求∠C的度數(shù)。

（2）若[AB=6]，[AE=2]，[AC=4]，求AD的長。

環(huán)節(jié)四 ：課堂小結

師：這節(jié)課主要學習了什么內容？要注意什么？這些內容是如何得到的？可以在后續(xù)解決什么問題？

二、課例思考

（一）課例特點

特點1：重視基礎知識和基本技能的教學。從學生練習的情況看，大多數(shù)學生知道了相似三角形的定義和由定義得到的判定和性質，能解決簡單的問題。特點2：讓學生通過量一量直觀感知相似三角形的定義。特點3：通過習題訓練幫助學生實現(xiàn)相似三角形定義和性質的文字語言、符號語言和圖形語言的轉化，建立有效聯(lián)系。

（二）存在問題

1.對研究思路和學習內容心中沒有數(shù)

本節(jié)課作為“圖形的相似”單元的起始課，有三個學習任務：（1）從實物出發(fā)，明確研究對象是形狀相同的圖形，了解相似三角形的定義；（2）類比全等圖形的學習，體會“從特殊到一般”的思想，在相似三角形定義的學習中體會用定量方式刻畫定義的必要性，體會初中幾何研究的一般思路；（3）對本單元的研究思路和學習內容心中有數(shù)。

課例中雖然用幾個形狀相同的直角三角形引入，但現(xiàn)實事物太少，更沒有指出相似圖形和全等圖形的關系，整個教學沒有體現(xiàn)“類比”的研究方法，學生在學完本節(jié)課后也不清楚本單元的研究內容和思路。

2.存在“另起爐灶”的現(xiàn)象

“圖形相似”是“圖形變化”的主要內容之一，研究的主題是圖形形狀之間的關系。全等和相似是初中重點研究的兩大圖形關系。全等是一種特殊的相似。本章類比全等圖形的基本研究思路對相似圖形進行研究。而課例的教學脫離學生已有的經驗，“另起爐灶”，不利于學生對知識的整體理解，更不利于學生自主學習能力的培養(yǎng)。

3.存在“偽探究”的現(xiàn)象

在課例中設計合作學習，讓學生量一量兩個三角形的邊和角，從而導出相似三角形的定義，但學生會存在這樣的疑問：為什么要量？怎么想到量邊和角？課例設計的探究活動，學生體會不到其意義，很難有效開展探究。

三、進一步思考

（一）教材學習

查看北師大版教材和人教版教材關于本單元的教學，發(fā)現(xiàn)它們與浙教版教材有以下幾個區(qū)別：

1.編排順序的區(qū)別。北師大版教材和人教版教材是按照從一般到特殊的順序呈現(xiàn)研究對象的，即“相似圖形的現(xiàn)實模型→相似圖形→相似多邊形→相似三角形→位似圖形”。而浙教版教材則是按照從特殊到一般的順序呈現(xiàn)研究對象，即“相似三角形→相似多邊形→位似圖形”。

北師大版教材和人教版教材這樣處理的優(yōu)勢有：（1）“相似圖形的現(xiàn)實模型→相似圖形”這個研究過程和已經學習的全等型過程“全等圖形的現(xiàn)實模型→全等圖形”是一致的。（2）研究相似圖形后研究相似多邊形，目的是揭示從邊和角兩個方面去刻畫定義的合理性。先研究相似多邊形的定義能很好地揭示“形狀相同”為什么需要從角和邊兩個方面去闡述。我們知道如果僅滿足其中一個條件（對應角相等或對應邊成比例）的兩個多邊形的形狀不一定相同，而三角形卻不能很好地說明。但“相似圖形→相似多邊形”這個研究過程和“全等圖形→全等三角形”的研究過程是不一樣的，學生不易想到。經綜合分析，我們采取“相似圖形的現(xiàn)實模型→相似圖形→相似三角形”這一研究思路，沿用全等型的研究路線，并設計教學活動解決“為什么想到用邊和角刻畫定義”的困惑。

2.細節(jié)處理的不同。在人教版教材中加入了相似圖形與縮放之間的關系，從圖形變化的角度認識相似圖形，圖形放大或縮小是相似圖形的直觀刻畫。一個圖形經放大或縮小后所得到的新圖形，與它是相似的；反過來，兩個圖形相似，其中一個圖形可以看作是由另一個圖形放大或縮小得到。這讓學生體會到兩個相似圖形存在一定的比例關系，進而對相似圖形有直觀體驗，為理解相似三角形的定義和相似比的概念做好鋪墊。綜上可知，厘清縮小放大和相似圖形的關系還是有必要的。

（二）內容解析

本章是在研究全等圖形這一特殊圖形的基礎上，進一步一般化，研究圖形形狀之間的關系，得到相似圖形。全等和相似是初中重點研究的兩大圖形關系，本節(jié)課給出了相似三角形的概念，為進一步研究三角形相似的判定和性質打下基礎。

全等圖形是一種特殊的相似圖形，通過類比全等圖形的研究思路，得到相似圖形的研究思路：從現(xiàn)實生活中抽象出相似圖形，以最簡單、最典型的封閉圖形——三角形作為載體，研究相似圖形的定義、性質、判定和應用。這體現(xiàn)了從特殊到一般的研究思想。相似圖形的研究再次呈現(xiàn)了圖形關系研究的典范，為進一步研究相似多邊形打下基礎。

初中階段對相似圖形的定義是“形狀相同的圖形叫作相似圖形（從形的角度）”，而對相似三角形的定義是“對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形，叫作相似三角形（從數(shù)的角度）”。 兩個圖形相似是對“形狀相同”的數(shù)學刻畫，其落腳點在圖形組成要素的相互關系上，而且是用一個“數(shù)”來表示的，這體現(xiàn)了從定性分析到定量分析的研究思想（如圖6）。

（三）問題診斷

類比全等三角形的定義方式，學生容易對相似三角形的定義進行第一次抽象，概括得到兩個形狀相同的三角形是相似三角形的直觀定義，但區(qū)別在于相似三角形的定義需經歷第二次抽象，即從定性分析到定量分析，用數(shù)量關系“對應角相等，對應邊成比例”來刻畫，這個過程學生有一定的困難。并且對比全等三角形，相似三角形對應邊的尋找也更為復雜。

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點：（1）用定量分析的方式刻畫相似三角形的定義；（2）在具體圖形中找出相似三角形的對應邊，并寫出比例式。

四、教學改進

環(huán)節(jié)一： 先行組織，發(fā)現(xiàn)問題

先行組織：圖形與圖形之間的關系，主要是指兩個圖形之間的形狀、大小關系和位置關系。

問題1：觀察以下幾組圖片（如圖7）， 說說每一組圖片中兩個圖形的形狀、大小有什么關系？

追問1： 相似圖形對圖形大小有要求嗎？

追問2： 全等圖形和相似圖形有什么關系？

設計意圖：通過先行組織，讓學生明確兩個圖形之間的關系主要指形狀、大小關系和位置關系。按照形狀、大小分類，圖形之間的關系可以分為四類，聚焦本章節(jié)研究的內容——形狀相同的圖形，即相似圖形。使學生認識到全等圖形是一種特殊的相似圖形，為接下來用類比的方法研究相似圖形做好鋪墊。

問題2： 我們知道一個圖形通過平移、旋轉、軸對稱所得的新圖形與它全等，那么怎樣得到一個圖形的相似圖形呢？

設計意圖：從圖形變化的角度認識相似圖形。

環(huán)節(jié)二：類比探究，精確定義

1.第一次類比——構建研究思路，明確研究對象

問題3：請大家回憶一下，我們是按照怎樣的路徑展開全等圖形的學習的？

追問：類比全等圖形的研究路徑，你會如何來研究相似圖形？

教師活動：引導學生回憶全等圖形的研究路徑，并通過類比，提出研究對象——相似三角形，在此基礎上提出相似三角形的研究思路：定義→性質→判定→應用。

設計意圖：引導學生經歷第一次類比，通過類比全等圖形的研究路徑和方法，得出相似三角形的研究路徑和方法。

2.第二次類比——引發(fā)認知沖突，尋求新的角度

問題4：類比全等三角形的定義方法，你能給出相似三角形的定義嗎？

預設：根據相似圖形的學習經驗，有的學生可能會說“形狀相同的三角形相似”，有的學生可能會說“一個三角形通過放大或縮小可以得到另一個三角形，兩個三角形相似”。

追問：如圖8，△ABC和△A'B'C'相似嗎？

師生活動：大多數(shù)學生通過觀察發(fā)現(xiàn)這兩個三角形的形狀相同，因此認為這兩個三角形相似。教師用課件動態(tài)演示進行驗證，即把△ABC按一定比例縮小后，移到△A'B'C'上，發(fā)現(xiàn)其不能與△A'B'C'完全重合，從而得出兩個三角形不相似的結論。

設計意圖：首先引導學生經歷第二次類比，使學生獲得相似三角形的直觀定義；其次利用看似相似但實際不相似的視覺反差，引發(fā)學生的思考，引導學生從其他角度判定兩個三角形相似，體現(xiàn)從定性分析到定量分析的研究方法。

3.第三次類比——從定性到定量，得到精確定義

問題5：全等三角形定義中的“完全重合”，我們可以用怎樣的數(shù)量關系來刻畫？

追問1：類比全等三角形，你會從什么角度來刻畫“形狀相同的兩個三角形”的特征？

追問2：量一量、算一算，如圖9所示的兩個三角形的組成元素之間有哪些數(shù)量關系？

師生活動：學生通過對全等三角形定義進行挖掘，了解“完全重合”指的是“對應角相等，對應邊相等”，明確是通過邊、角之間的數(shù)量關系來刻畫的。學生類比思考相似三角形的代數(shù)定義，通過實驗的方法歸納出形狀相同的兩個三角形的特征是“對應角相同，對應邊成比例”。教師用幾何畫板進行動態(tài)演示及驗證。

設計意圖：引導學生經歷第三次類比，通過對全等三角形定義的回憶，明確精確的定義是用代數(shù)方法刻畫的；讓學生明白“形狀相同”的落腳點仍然是在圖形組成要素的相關關系上，同時經歷從定性分析到定量分析的過程，從而突破本節(jié)課的第一個教學難點。

問題6： 你能用自己的語言歸納相似三角形的定義嗎？

追問1：你能將相似三角形的定義轉化為符號語言嗎？

追問2：兩個全等三角形是不是相似三角形？如果是，那么它們的相似比是多少？

追問3： 根據相似三角形的定義，怎樣判定兩個三角形相似？

問題7：若兩個三角形相似，根據相似三角形的定義，你能得出哪些性質？

追問：你能將文字語言轉化為符號語言嗎？

設計意圖：通過問題6和問題7明確相似三角形的定義能給我們判定兩個三角形相似提供依據，同時給出相似三角形的性質；通過兩個追問讓學生將文字語言轉化為符號語言，增強學生的符號意識和培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。

環(huán)節(jié)三：變式訓練，鞏固內化

［例1］如圖10，在[△ABC]中，已知D、E分別是AB、AC邊的中點。求證：[△ADE] ∽[△ABC]。

練習（1）：指出例1中[△ADE]與[△ABC]的對應角以及對應邊成比例的比例式。

練習（2）：改變DE的位置，如圖11，[△ADE]與[△ABC]相似，寫出[△ADE]與[△ABC]的對應角以及對應邊成比例的比例式。

［例2］如圖12，[△ABC ]∽[△ACD]，點[D]在[AB]上。

（1）若[∠ADC=65°]，[∠B=37°]，求∠[ACB]和∠[ACD]的度數(shù)；

（2）若[AC=3 cm]，[AD=2 cm]，求[AB]的長。

學生講解題目，互相補充，共同完成題目解答。

設計意圖：通過改變線段[DE]的位置（[DE]為中位線；旋轉[DE]；[E]和[C]重合）給出相應練習題，讓學生在解題過程中理解相似三角形的定義和性質，感悟對應頂點的改變會引起對應邊和對應角的改變，從而突破本節(jié)課的第二個教學難點。

環(huán)節(jié)四： 歸納交流，形成體系

問題8：總結一下我們研究相似圖形的思路。

追問1： 我們是怎么想到要研究相似三角形的呢？

追問2：相似三角形的定義指的是什么？相似三角形的定義是如何得到的？

問題9： 根據課堂上給出的全等圖形的研究思路，你能說說接下來我們要研究相似三角形的哪些內容嗎？如何研究呢？

設計意圖：以問題串的形式引導學生進行歸納總結，為后續(xù)學習提供路徑和方法。

五、教學啟示

（一）創(chuàng)設情境，注重發(fā)現(xiàn)問題的過程，解決“為何學”的問題

一個好的情境，能激發(fā)學生的學習興趣，但教師不能為了吸引學生的注意力而創(chuàng)設情境。教師應創(chuàng)設與學習任務有密切關系的情境，能夠從中概括出學習內容的本質。教師創(chuàng)設的情境可以從學生真實生活中產生，也可以從數(shù)學知識的內在邏輯、解決問題的需要中產生，從而解決“為何學”的問題。本節(jié)課從數(shù)學內容的邏輯結構和現(xiàn)實生活兩個角度創(chuàng)設情境，闡明了研究相似圖形的必要性。

（二）整體理解，建構知識結構，解決“學什么”的問題

數(shù)學是一個整體，數(shù)學的整體性體現(xiàn)在代數(shù)、幾何、三角等各部分內容之間的聯(lián)系上，同時也體現(xiàn)在同一部分內容中知識的前后邏輯關系（縱向聯(lián)系、橫向聯(lián)系）上，特別是體現(xiàn)在數(shù)學核心概念所反映的數(shù)學思想方法的前后一致上。教師應注重數(shù)學的整體性教學，引導學生建構知識結構，解決“學什么”的問題。

在圖形關系的研究過程中，我們主要考察兩個圖形之間的形狀、大小關系和位置關系。學生之前已經從圖形形狀和大小關系的角度研究了兩個圖形的全等關系，本章節(jié)從圖形形狀的角度研究兩個圖形的另一類關系——相似，相似關系是全等關系的一般化，所以其研究思路、研究方法是一致的。本節(jié)課引導學生利用類比的方法進行研究，明確相似圖形的研究路徑（如圖13）。

（三）注重系統(tǒng)思維培養(yǎng)，強化“一般方法”的指導，解決“怎么學”的問題

系統(tǒng)思維是指把認識對象作為系統(tǒng)，通過系統(tǒng)和要素、要素和要素、系統(tǒng)和環(huán)境的相互聯(lián)系及相互作用綜合考察認識對象的一種思維方法。數(shù)學是一個系統(tǒng)，理解和掌握數(shù)學知識需要系統(tǒng)思維。在教學中，教師應注重學生系統(tǒng)思維的培養(yǎng)，強化“一般方法”的指導，引導學生掌握“研究套路”，從而解決“怎么學”的問題。

本節(jié)課中，學生在學習相似三角形的定義的過程中提出了“兩個形狀相同的三角形是相似三角形”的直觀定義，教師通過幾何畫板演示，讓學生認識到這樣的定義不夠精確，然后引導學生從要素之間的關系獲得“一般地，對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形是相似三角形”的代數(shù)定義，讓學生經歷從定性分析到定量分析的過程。這是學生系統(tǒng)思維培養(yǎng)的重要過程。

（四）設計活動，充分展示定義的發(fā)生、發(fā)展過程，實現(xiàn)“有效學”

好的活動是深度學習的重要支撐，也是培養(yǎng)學生高階思維的保證。本節(jié)課中主要設計了“先行組織，發(fā)現(xiàn)問題”“類比探究，精確定義”“變式訓練，鞏固內化”“歸納交流，形成體系”四大環(huán)節(jié)。其中，環(huán)節(jié)二設計了3個子環(huán)節(jié)，教師帶領學生經歷一次沖突、三次類比，展現(xiàn)了從獲得研究思路到直觀刻畫再到代數(shù)刻畫的過程，這一研究過程符合學生的認知規(guī)律和數(shù)學發(fā)展的規(guī)律，充分展示了相似三角形定義的發(fā)生、發(fā)展過程，為學生自主探究相似三角形的判定和性質打下基礎，使學生實現(xiàn)“有效學”。

［" "參" "考" "文" "獻" "］

［1］" 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準：2022年版［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］" 劉乃志.章起始課：內涵、教學價值與教學建議[J].數(shù)學通報，2023（4）：45-48.

［3］" 章建躍.整體性、系統(tǒng)思維與核心素養(yǎng)[J].中小學數(shù)學（高中版），2016（10）：66.

（責任編輯" " 黃春香）