摘 要：小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的課程內(nèi)容主要集中在“圖形的認(rèn)識(shí)”主題下。根據(jù)課標(biāo)定位和要求，結(jié)合內(nèi)容特征以及小學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律，“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)可以遵循如下基本路徑：在生活經(jīng)驗(yàn)中尋找圖形的原型，在動(dòng)手操作中探究圖形的特征，通過(guò)變式比較理解圖形的本質(zhì)，從運(yùn)動(dòng)變化的角度研究圖形的形成，運(yùn)用圖形的性質(zhì)嘗試實(shí)物創(chuàng)造。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；圖形的認(rèn)識(shí)；《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》將小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域的課程內(nèi)容整合為“圖形的認(rèn)識(shí)與測(cè)量”“圖形的位置與運(yùn)動(dòng)”兩個(gè)主題。但實(shí)際上，小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域的課程內(nèi)容主要集中在“圖形的認(rèn)識(shí)”主題下：“測(cè)量”是小學(xué)階段研究圖形的基本方法，因與“圖形的認(rèn)識(shí)”聯(lián)系緊密，而被統(tǒng)整到“圖形的認(rèn)識(shí)”主題中，它體現(xiàn)了綜合幾何下實(shí)驗(yàn)幾何的研究視角；“圖形的運(yùn)動(dòng)”“圖形的位置”內(nèi)容相對(duì)較少，被合并在一起，它們分別體現(xiàn)了研究圖形的變換幾何視角和解析幾何視角。［1］“圖形的認(rèn)識(shí)主要是對(duì)圖形的抽象。學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際物體抽象出幾何圖形的過(guò)程，認(rèn)識(shí)圖形的特征，感悟點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系；積累觀察和思考的經(jīng)驗(yàn)，逐步形成空間觀念?！保?］根據(jù)上述課標(biāo)定位和要求，結(jié)合內(nèi)容特征以及小學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律，筆者經(jīng)過(guò)實(shí)踐探索，總結(jié)出“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)的基本路徑。下面以《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》一課為例具體說(shuō)明。

一、在生活經(jīng)驗(yàn)中尋找圖形的原型

小學(xué)生抽象邏輯思維不強(qiáng)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)特別依賴生活經(jīng)驗(yàn)。因此，“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，首先需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活經(jīng)驗(yàn)，尋找現(xiàn)實(shí)原型，從而獲取感性認(rèn)識(shí)，形成思維表象，為后續(xù)抽象出幾何圖形奠定基礎(chǔ)。同時(shí)，可以讓學(xué)生提出自己的問(wèn)題，以激發(fā)探究動(dòng)力，為后續(xù)探究圖形的特征與作用等做鋪墊。這一教學(xué)過(guò)程通常可以安排在課前完成。

《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》一課課前，筆者讓學(xué)生基于生活經(jīng)驗(yàn)分別找一個(gè)圓柱形和圓錐形的物品，觀察并描述；然后，針對(duì)圓柱和圓錐提出自己的問(wèn)題。學(xué)生完成后，筆者收回學(xué)習(xí)單，進(jìn)行整理分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生找到了很多整體或局部近似為圓柱或圓錐的物品，提出了關(guān)于圖形特征、聯(lián)系、畫(huà)法、測(cè)算和用途等方面的問(wèn)題。一些有代表性的學(xué)習(xí)單如圖1所示。這說(shuō)明，學(xué)生對(duì)圓柱和圓錐有較好的認(rèn)知基礎(chǔ)和較強(qiáng)的探究動(dòng)力。

二、在動(dòng)手操作中探究圖形的特征

小學(xué)生以直觀形象思維為主，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)需要更多的操作與觀察體驗(yàn)。相比于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的研究對(duì)象，幾何圖形具有更強(qiáng)的可操作與觀察特征。由此，小學(xué)幾何更多地表現(xiàn)出實(shí)驗(yàn)幾何而非論證幾何的特征，或者說(shuō)，更多地通過(guò)歸納推理而非演繹推理獲得結(jié)論。因而，“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，需要提供豐富的實(shí)物材料，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手操作，通過(guò)多感官參與的探究活動(dòng)，強(qiáng)化切身體驗(yàn)，充分發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證圖形的特征，將基于生活經(jīng)驗(yàn)的模糊認(rèn)識(shí)清晰化。

《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》一課，筆者引導(dǎo)學(xué)生借助多種操作手段，發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證圓柱和圓錐的特征——

師 課前，老師整理了同學(xué)們想要了解的有關(guān)問(wèn)題。

（PPT呈現(xiàn)學(xué)生的問(wèn)題）

我們來(lái)探究第一個(gè)問(wèn)題——圓柱的特征。之前，我們?cè)谘芯繄D形的特征時(shí)，會(huì)用到哪些方法？

生 觀察、操作、交流。

師 每位小組長(zhǎng)那里有兩個(gè)圓柱，組內(nèi)成員可以看一看、摸一摸、比一比、說(shuō)一說(shuō)，將你的發(fā)現(xiàn)記錄在學(xué)習(xí)單上。

生 我們觀察到，圓柱有上下兩個(gè)底面，摸起來(lái)平平的，都是圓形；還有一個(gè)側(cè)面。

生 我補(bǔ)充，它的側(cè)面摸起來(lái)很光滑，可以在桌上滾動(dòng)，所以是彎曲的。

生 我們還比較出，圓柱上下兩個(gè)底面的圓是一樣大的。

師 你是怎么比較出的？

生 用眼睛看。

生 看不一定準(zhǔn)確。可以用尺子量上下兩個(gè)圓的直徑。直徑相同，圓的大小就相同。

生 還可以把其中一個(gè)圓壓在紙上畫(huà)出來(lái)，再拿另一個(gè)圓去對(duì)比。如果重合，大小就相同。

生 老師給我們的學(xué)具是一樣大的。用兩個(gè)圓柱互相靠一靠底面，看是否都能重合就行了。

師 很好！通過(guò)多種操作——包括測(cè)量，發(fā)現(xiàn)并驗(yàn)證了圓柱上下兩個(gè)底面的圓一樣大。圓柱還有其他特征嗎？

生 我用面紙包住圓柱的側(cè)面，把多余的紙撕去，再將紙展開(kāi)，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)長(zhǎng)方形。這就說(shuō)明，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖應(yīng)該是一個(gè)長(zhǎng)方形。

師 同學(xué)們通過(guò)動(dòng)手操作，發(fā)現(xiàn)了圓柱的不少特征。還有一位同學(xué)巧妙地利用我們?nèi)粘Ｋ玫拿婕?，發(fā)現(xiàn)了圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形。接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)動(dòng)手操作，探究圓錐的特征。

……

三、通過(guò)變式比較理解圖形的本質(zhì)

變式與比較是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方法，特別是對(duì)于概念學(xué)習(xí)，有利于充分揭示概念的本質(zhì)，發(fā)展抽象邏輯思維?！皥D形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)也是數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。教師需要通過(guò)變式，提供概念的正例、反例、標(biāo)準(zhǔn)形式、非標(biāo)準(zhǔn)形式以及相關(guān)概念，引導(dǎo)學(xué)生比較相同與不同之處，認(rèn)識(shí)共性與個(gè)性特征，促使學(xué)生逐步明晰圖形特征，深入理解圖形本質(zhì)，同時(shí)充分建立圖形關(guān)聯(lián)，完善圖形知識(shí)結(jié)構(gòu)。

《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》一課，筆者通過(guò)正例與反例的比較，幫助學(xué)生進(jìn)一步明晰圓柱的特征，理解圓柱的本質(zhì)——

師 操作學(xué)具發(fā)現(xiàn)圓柱的這么多特征后，我們?cè)賮?lái)看一個(gè)實(shí)物。

（出示腰鼓）

它是圓柱形的嗎？

生

（齊）

不是。

師 為什么？

生 上下不是一樣粗的，和我們的學(xué)具長(zhǎng)得不同。

師 看來(lái)圓柱還有一個(gè)重要的特征，是什么？

生 上下一樣粗。

筆者又通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)形式與非標(biāo)準(zhǔn)形式的比較，幫助學(xué)生正確地認(rèn)識(shí)圓柱的高——

師

（出示圖2）

A和B都是圓柱形的嗎？

生 都是圓柱形的。

師 看起來(lái)不一樣，是哪里不同？

生 兩個(gè)圓柱的底面大小不同，高也不同。

師 能分別作出它們的高嗎？

（一位學(xué)生作高，得到圖3。另一位學(xué)生不同意，重新作高，得到圖4。更多學(xué)生贊同后一位學(xué)生的作法。）

師 什么是高？能用自己的話說(shuō)一說(shuō)嗎？

生 高不是從上底面圓心到地面的距離。

生 高是從上底面的圓心到下底面圓心的距離。

師 同學(xué)們從錯(cuò)例中獲得了經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)識(shí)了圓柱的高。數(shù)學(xué)上，我們把兩個(gè)底面之間的距離叫作圓柱的高。

此外，筆者還通過(guò)相關(guān)概念的比較，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的異同，進(jìn)一步理清它們的關(guān)系。

四、從運(yùn)動(dòng)變化的角度研究圖形的形成

從結(jié)果的角度看，圖形的特征通常表現(xiàn)為點(diǎn)、線、面、體之間的關(guān)系。而從過(guò)程的角度看，圖形的特征則蘊(yùn)含在點(diǎn)、線、面、體的運(yùn)動(dòng)變化中。所以，很多圖形既有靜態(tài)定義，也有動(dòng)態(tài)定義。由此，“圖形的認(rèn)識(shí)”教學(xué)，還需要引導(dǎo)學(xué)生化靜為動(dòng)，從運(yùn)動(dòng)變化的角度研究圖形的形成，從而更全面地認(rèn)識(shí)圖形。對(duì)此，可以讓學(xué)生進(jìn)行實(shí)物操作，可以利用信息技術(shù)（主要是動(dòng)態(tài)幾何軟件）進(jìn)行演示，還可以讓學(xué)生展開(kāi)空間想象。

《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》一課，筆者引導(dǎo)學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度探究圓柱和圓錐的形成，實(shí)現(xiàn)從平面圖形到立體圖形的跨越，溝通要素與圖形之間的關(guān)聯(lián)——

師 我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：圓柱的上下底面是大小相同的圓形，側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)長(zhǎng)方形?，F(xiàn)在，給你一張長(zhǎng)方形紙和一些圓形紙，你能做一個(gè)圓柱嗎？

（學(xué)生活動(dòng)。）

生 把長(zhǎng)方形紙卷一圈，上下用正好合適的圓片蓋住，就得到了一個(gè)圓柱。

生 用大小相同的圓形紙疊在一起，也可以得到一個(gè)圓柱。

生 我只用一張長(zhǎng)方形紙也行，瞧！

（該生以長(zhǎng)方形紙的一條邊為軸，將長(zhǎng)方形紙旋轉(zhuǎn)一圈。）

生 旋轉(zhuǎn)時(shí)，不僅可以固定長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)邊，而且可以固定短邊或中間的一條線段。

師

（課件演示各種方法的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程）

現(xiàn)在，請(qǐng)展開(kāi)想象的翅膀，在腦中讓紙片變成圓柱。

（學(xué)生想象。）

師 接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)想象一下，什么樣的紙片可以變成圓錐。

……

五、運(yùn)用圖形的性質(zhì)嘗試實(shí)物創(chuàng)造

幾何圖形的研究服務(wù)于實(shí)際物體的創(chuàng)造。性質(zhì)決定用途。抽象地認(rèn)識(shí)幾何圖形的性質(zhì)后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回歸生活，思考該幾何圖形可能有什么樣的用途（如三角形的穩(wěn)定性用于板凳、屋頂?shù)鹊脑O(shè)計(jì)，平行四邊形的不穩(wěn)定性用于移動(dòng)門、晾衣架等的設(shè)計(jì)，圓的“一中同長(zhǎng)”性質(zhì)用于滑輪、方向盤(pán)等的設(shè)計(jì)），嘗試創(chuàng)造（設(shè)計(jì)或制作）實(shí)用的物品，從而不僅鞏固、深化所學(xué)知識(shí)，而且體會(huì)學(xué)習(xí)價(jià)值，提升學(xué)習(xí)動(dòng)力。當(dāng)然，這需要學(xué)生能夠靈活地遷移運(yùn)用所學(xué)知識(shí)。為此，可以給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)臉永ㄉ钤停?，讓學(xué)生思考其設(shè)計(jì)制作的原理，從而激活學(xué)生的思維，啟迪學(xué)生找到運(yùn)用的一些關(guān)鍵點(diǎn)。這一教學(xué)過(guò)程通?？梢园才旁谡n后完成。

《認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐》一課課尾，筆者回到課始學(xué)生提出的用途問(wèn)題，出示火箭、挖掘機(jī)、可樂(lè)瓶、甜筒等物品的圖片，提出“火箭頭部為什么要設(shè)計(jì)成圓錐形？”“火箭身體部分為什么要設(shè)計(jì)成圓柱形？”“挖掘機(jī)挖鏟部位為什么要設(shè)計(jì)成圓柱形？”等問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生思考相應(yīng)物品的設(shè)計(jì)原理。然后，布置課后任務(wù)：設(shè)計(jì)一個(gè)形狀為圓柱形或圓錐形的物品，介紹設(shè)計(jì)用意。第二天，筆者收回學(xué)習(xí)單，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的創(chuàng)意五花八門、十分精彩。一些有代表性的學(xué)習(xí)單如圖5所示。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 呂世虎，顏飛.新課標(biāo)“圖形與幾何”內(nèi)容分析：從結(jié)構(gòu)到要求［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（10）：910.

［2］ 中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［S］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：27.

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“指向課堂核心關(guān)切的支點(diǎn)式學(xué)習(xí)研究”（編號(hào)：XCc/2020/08）的階段性研究成果。