摘 要：三年級(jí)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，根據(jù)教材的編排，用“率”的路徑進(jìn)行教學(xué)是一線教師的首選，但是從“率”到“量”，好似有一道難以跨越的鴻溝，學(xué)生很難接受，這就導(dǎo)致學(xué)生在后續(xù)分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)比較多的不解和困難。對(duì)此，從學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，基于新課標(biāo)提出的數(shù)的認(rèn)識(shí)的一致性視角，設(shè)計(jì)三年級(jí)兩次“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)：三年級(jí)上冊(cè)，從“量”入手，凸顯分?jǐn)?shù)是表示具體量的數(shù)；三年級(jí)下冊(cè)，由“量”引“率”，凸顯分?jǐn)?shù)還可以表示數(shù)量之間的關(guān)系。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)；一致性；量；率

分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)是學(xué)生在整數(shù)認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上“數(shù)認(rèn)識(shí)”的一次延伸，并對(duì)學(xué)生數(shù)概念的形成與發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。分?jǐn)?shù)的作用決定了它歷來(lái)都是小學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在三年級(jí)上冊(cè)、三年級(jí)下冊(cè)分別設(shè)置了“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”。“初步認(rèn)識(shí)”很大程度上是為學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)做鋪墊的，等小數(shù)的意義和運(yùn)算全部學(xué)完，才在五年級(jí)下冊(cè)開(kāi)始系統(tǒng)地學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的意義和運(yùn)算。整個(gè)分?jǐn)?shù)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)安排在小學(xué)的最后階段，可見(jiàn)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知困難遠(yuǎn)大于整數(shù)和小數(shù)，這就決定了教師的教學(xué)同樣存在一定的難度。筆者以為，可以基于一致性視角，整體地設(shè)計(jì)三年級(jí)兩次“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”的教學(xué)。

一、兩點(diǎn)思考

（一）存在問(wèn)題：教學(xué)突出了“率”，而忽視了“量”

通常情況下，認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)有兩條路徑——“量”和“率”，即分?jǐn)?shù)既可以表示一個(gè)數(shù)量的大?。浚€可以表示一個(gè)量與另一個(gè)量之間的關(guān)系（率）。兩者合一，就是分?jǐn)?shù)的意義。蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，三年級(jí)安排了認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的起始課，讓學(xué)生經(jīng)歷從平均分一個(gè)物體（上冊(cè)），到平均分幾個(gè)物體組成的整體（下冊(cè)），再到平均分一些度量單位（下冊(cè)）等，初步建立對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)。教材中，分?jǐn)?shù)表示“量”只出現(xiàn)了兩次，一次是在三年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)的引入中出現(xiàn)了“半個(gè)也就是二分之一個(gè)”，另一次是在三年級(jí)下冊(cè)的“練習(xí)”中出現(xiàn)了有關(guān)分?jǐn)?shù)的單位換算（如5分米等于幾分之幾米），其余都是用“每份是它的幾分之幾”“每個(gè)是這些的幾分之幾”等這樣的語(yǔ)言來(lái)描述，即突出分?jǐn)?shù)的“率”。教材這樣編排的意圖很明顯，就是用“率”這一路徑來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，注重基于“分”與“取”的動(dòng)作表征來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，從部分與整體的關(guān)系維度來(lái)理解分?jǐn)?shù)的意義。

然而，實(shí)際教學(xué)中仍會(huì)遇到不少問(wèn)題，主要表現(xiàn)為：“量”的缺失，使得學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)不完整。根據(jù)教材的編排意圖，教師在教學(xué)分?jǐn)?shù)時(shí)往往會(huì)抓住“率”。從“把1個(gè)蛋糕平均分成2份，每人分得半個(gè)”，快速地轉(zhuǎn)為“把1個(gè)蛋糕平均分成2份，每份是它的二分之一”。這樣的快速轉(zhuǎn)化，其實(shí)沒(méi)有尊重學(xué)生認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)的邏輯規(guī)律和認(rèn)知起點(diǎn)，直接跳過(guò)了“量”，致使學(xué)生被動(dòng)地接受分?jǐn)?shù)表示的是數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系，即“率”。后續(xù)的練習(xí)中，都是用分?jǐn)?shù)表示涂色部分，突出部分與整體的關(guān)系。分?jǐn)?shù)的大小比較、分?jǐn)?shù)的加減法，都通過(guò)直觀的圖形來(lái)教學(xué)。學(xué)生在這個(gè)過(guò)程中也是被動(dòng)地接受：對(duì)于大小，必須用同樣的圖形平均分，才能正確比較；對(duì)于加減法，也必須用同樣的圖形平均分，才能計(jì)算。整個(gè)教學(xué)，都是圍繞“率”，缺少“量”的認(rèn)識(shí)。

此外，由于“量”的缺失，自然也就導(dǎo)致“量”與“率”之間無(wú)有效銜接，也就造成學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)很難跨越認(rèn)知鴻溝。比如，學(xué)生第一次接觸到幾分之幾米、幾分之幾元時(shí)，非常排斥，他們認(rèn)為：分?jǐn)?shù)不能帶單位。到五年級(jí)學(xué)習(xí)假分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生也很難接受：分?jǐn)?shù)明明表示部分與整體的關(guān)系，現(xiàn)在超過(guò)了整體，為什么還能“取”？學(xué)生的這些表現(xiàn)，說(shuō)明教師對(duì)“率”的教學(xué)扎實(shí)到位，但忽略了分?jǐn)?shù)也是一個(gè)數(shù)，也可以表示具體量。

（二）教學(xué)建議：基于數(shù)認(rèn)識(shí)的一致性來(lái)組織

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，要讓學(xué)生“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性”［1］。從數(shù)組成的角度來(lái)說(shuō)，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)均是基于“計(jì)數(shù)單位”建構(gòu)的。教學(xué)中，教師要帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，建立知識(shí)之間的聯(lián)系，體會(huì)知識(shí)的本源性、一致性與整體性。

學(xué)生認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)，是從實(shí)物的具體量中抽象出數(shù)，然后進(jìn)行比較和運(yùn)算的。在比較兩個(gè)量的大小時(shí)，除了相差多少，還引出了“倍”。這說(shuō)明自然數(shù)除了表示物體的個(gè)數(shù)，還能表示兩個(gè)量比較的關(guān)系。分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)，同樣可以遵照自然數(shù)的認(rèn)識(shí)過(guò)程，先認(rèn)識(shí)“量”，再認(rèn)識(shí)“率”：先讓學(xué)生感知分?jǐn)?shù)是一種有大小的新數(shù)，用來(lái)度量小于1的量；再過(guò)渡到認(rèn)識(shí)部分與整體、部分與部分之間的關(guān)系也可以用分?jǐn)?shù)表示。

二、教學(xué)策略

（一）三年級(jí)上冊(cè)：從“量”入手，凸顯分?jǐn)?shù)是表示具體量的數(shù)

鄭毓信教授指出，面對(duì)“數(shù)”的擴(kuò)展，我們決不應(yīng)將所涉及的各種數(shù)，包括原來(lái)的自然數(shù)以及后來(lái)學(xué)習(xí)的小數(shù)及分?jǐn)?shù)等，看成互不相干的，而應(yīng)將它們納入同一個(gè)數(shù)系之中， 后者正是將所有這些都看成“一個(gè)真正的‘?dāng)?shù)’”的主要含義。［2］自然數(shù)“1”是從一個(gè)個(gè)具體形象的物體中抽象出來(lái)的，這些物體的數(shù)量都是1，用自然數(shù)“1”表示?；谝恢滦砸暯?，分?jǐn)?shù)也可以如此抽象出來(lái)：在分物或者度量的過(guò)程中不能得到整數(shù)個(gè)時(shí)，就產(chǎn)生了表示具體量的分?jǐn)?shù)，12個(gè)蛋糕、12塊巧克力、12個(gè)長(zhǎng)方形等。如此，像自然數(shù)一樣，從具體形象的物體中抽象出分?jǐn)?shù)12。數(shù)量不滿1時(shí)，可以用平均分的總份數(shù)和表示的份數(shù)兩個(gè)自然數(shù)合在一起，組成一個(gè)新的數(shù)來(lái)表示物體的數(shù)量。從這個(gè)角度來(lái)思考，三年級(jí)上冊(cè)都是學(xué)習(xí)一個(gè)物體的幾分之一和幾分之幾，那么這部分的內(nèi)容適合從“量”的路徑展開(kāi)教學(xué)。具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.從平均分中體會(huì)分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生

提問(wèn)：

（出示圖1）

兩個(gè)小朋友一起去郊游，帶了一些吃的，他們會(huì)怎么分呢？（預(yù)設(shè)：平均分。）

出示題目：4個(gè)蘋(píng)果，每人分得（ ）個(gè)；2瓶水，每人分得（ ）瓶。（預(yù)設(shè)：2；1。）

追問(wèn)：這1個(gè)蛋糕呢，怎么做到平均分成兩份呢？用蛋糕圖片代替來(lái)分一分。

學(xué)生示范操作平均分，并出示分好的圖形（如圖2）。

提問(wèn)：每人分得多少個(gè)？（預(yù)設(shè)：半個(gè)。）

引導(dǎo)：這半個(gè)，還能用1、2、3這樣的自然數(shù)來(lái)表示嗎？（預(yù)設(shè)：不能。）那用怎樣的數(shù)表示既簡(jiǎn)單又清楚呢？（預(yù)設(shè)：12。）非常好！想到了12這個(gè)數(shù)。是的，不滿一個(gè)，我們可以用一種新的數(shù)來(lái)表示。把自然數(shù)1和2組合在一起，形成一個(gè)新的數(shù)，這個(gè)數(shù)就可以表示半個(gè)蛋糕。2指的是——（預(yù)設(shè)：把蛋糕分成2份。）1指的是——（預(yù)設(shè)：其中的1份。）

揭題：你們知道12叫什么數(shù)嗎？（預(yù)設(shè)：分?jǐn)?shù)。）是的，今天我們就來(lái)認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)。

教師介紹12的寫(xiě)法和讀法。

本環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生初步體會(huì)，當(dāng)物體經(jīng)過(guò)平均分后不滿1時(shí)，需要產(chǎn)生新的數(shù)。而這個(gè)新的數(shù)就是用以前學(xué)過(guò)的自然數(shù)組合產(chǎn)生的，平均分的總份數(shù)和取的份數(shù)的兩個(gè)自然數(shù)就是“新數(shù)”的兩個(gè)重要組成。

2.從具體量中抽象出分?jǐn)?shù)

提問(wèn)：

（出示圖3）

這半個(gè)呢？也可以用哪個(gè)分?jǐn)?shù)表示？（預(yù)設(shè)：12。）

示錯(cuò)：

（出示圖4）

這兩小塊呢？能說(shuō)是12個(gè)蛋糕嗎？（預(yù)設(shè)：不能。）它們也不滿一個(gè)，而且也是兩份呀，怎么不能說(shuō)是12個(gè)呢？（預(yù)設(shè)：沒(méi)有平均分。）

強(qiáng)調(diào)：看來(lái)，要想得到12個(gè)蛋糕，先要做到平均分。

擴(kuò)充12的具體量：

（課件出示巧克力、酸奶、長(zhǎng)方形等）

你們能分一分，找一找12塊巧克力、12瓶酸奶、12個(gè)長(zhǎng)方形嗎？

學(xué)生操作。教師展示學(xué)生得到的12的具體量（配圖，注意給其中的一份涂色）。

引導(dǎo)抽象：這些物體形狀、大小、顏色等都不一樣，大家怎么都用了12這個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)表示呢？

小結(jié)：不管是哪種物體，只要是把它平均分成兩份，每份都可以用12來(lái)表示。2表示——（預(yù)設(shè)：平均分成2份。）1表示——（預(yù)設(shè)：其中的1份。）

本環(huán)節(jié)，主要引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)量中抽象出12，通過(guò)抽象觸及分?jǐn)?shù)的本質(zhì)：只要平均分成2份，其中1份的量就可以用12來(lái)表示。

3.從具體物體過(guò)渡到圖形

提問(wèn)：

（出示圖5）

剛才我們得到了12個(gè)長(zhǎng)方形，想一想，你還能得到幾分之一個(gè)長(zhǎng)方形呢？打算怎么得到？（預(yù)設(shè)：13個(gè)、14個(gè)、15個(gè)……）

追問(wèn)：可以嗎？怎么得到13個(gè)長(zhǎng)方形呢？（預(yù)設(shè)：平均分成3份，給其中的一份涂色）請(qǐng)?jiān)诩埳喜僮鳌?/p>

學(xué)生操作。教師巡視，并選取學(xué)生作品展示，如圖6—圖8。

引導(dǎo)：請(qǐng)仔細(xì)觀察，12個(gè)長(zhǎng)方形是多大？13個(gè)長(zhǎng)方形是多大？哪個(gè)大一些呢？自然數(shù)中，明明3比2大，怎么這里反而12大了呢？

本環(huán)節(jié)，既是對(duì)分?jǐn)?shù)意義的拓展，又能引導(dǎo)學(xué)生用直觀的方式比較分?jǐn)?shù)的大小。

（二）三年級(jí)下冊(cè)：由“量”引“率”，凸顯分?jǐn)?shù)還可以表示數(shù)量之間的關(guān)系

學(xué)生在認(rèn)識(shí)自然數(shù)后，慢慢開(kāi)始探究自然數(shù)之間的關(guān)系。認(rèn)識(shí)了加減法，探究數(shù)量間的大小關(guān)系；認(rèn)識(shí)了乘除法，探究數(shù)量間的“倍”的關(guān)系。分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)也可以遵循這樣的順序：當(dāng)單位“1”是一個(gè)物體時(shí)，學(xué)生理解“量”更容易；而當(dāng)單位“1”是一個(gè)整體、一個(gè)度量單位時(shí)，由“量”過(guò)渡到“率”則更合適。同時(shí)，還能溝通自然數(shù)中“倍”的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生對(duì)“量”與“率”的區(qū)別，更清晰、明朗。三年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

1.抓住分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，從一個(gè)物體向一個(gè)整體過(guò)渡

復(fù)習(xí)：一個(gè)桃，平均分給兩只小猴吃，每只小猴吃幾個(gè)？（預(yù)設(shè)：12。）

提問(wèn)：一盤(pán)桃，平均分給兩只小猴吃，每只小猴吃多少？（預(yù)設(shè)：12盤(pán)。）

追問(wèn)：吃了12盤(pán)？同意嗎？怎樣想的？

小結(jié)：是的，只要平均分成兩份，其中一份就是12盤(pán)。

2.根據(jù)桃子的具體量，引起“量”“率”的認(rèn)知沖突

連續(xù)提問(wèn)：看圖分一分，涂一涂。

（依次出示圖片）

如果這盤(pán)桃一共有4個(gè)，那小猴吃的12盤(pán)是幾個(gè)？（預(yù)設(shè)：2個(gè)。）如果這盤(pán)桃一共有6個(gè)，那小猴吃的12盤(pán)是幾個(gè)？（預(yù)設(shè)：3個(gè)。）如果這盤(pán)桃一共有10個(gè)，那小猴吃的12盤(pán)是幾個(gè)？（預(yù)設(shè)：5個(gè)。）如果這盤(pán)桃一共有12個(gè)，那小猴吃的12盤(pán)是幾個(gè)？（預(yù)設(shè)：6個(gè)。）

引發(fā)認(rèn)知沖突：都是吃了12盤(pán)，怎么一會(huì)兒吃2個(gè)，一會(huì)兒吃3個(gè)，一會(huì)兒又是5個(gè)、6個(gè)?。?/p>

小結(jié)：因?yàn)橐槐P(pán)桃的總個(gè)數(shù)產(chǎn)生了變化，所以12盤(pán)桃的個(gè)數(shù)也會(huì)發(fā)生變化。

質(zhì)疑：那明明盤(pán)里桃的個(gè)數(shù)都不一樣，怎么都說(shuō)是12盤(pán)呢？

小結(jié)：不管桃有多少個(gè)，只要平均分成兩份，一份都是12盤(pán)。

示錯(cuò)中引出“率”：

（指桃子總數(shù)為4個(gè)的圖片）

如果我說(shuō)這12盤(pán)是3個(gè)桃行嗎？怎么不行呢？看來(lái)，每盤(pán)桃的總數(shù)和12盤(pán)的個(gè)數(shù)還有著對(duì)應(yīng)的關(guān)系，不能隨意說(shuō)。

認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的“率”：

（指桃子總數(shù)為4個(gè)的圖片）

這個(gè)12盤(pán)是2個(gè)桃，還能說(shuō)2個(gè)桃是4個(gè)桃的12。

以上只是筆者對(duì)分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)的一些設(shè)想。通過(guò)分?jǐn)?shù)“量”與“率”的分別側(cè)重教學(xué)，筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)表示一個(gè)具體量不再排斥，遇到分?jǐn)?shù)的單位換算時(shí)也不覺(jué)得突兀了，反而還會(huì)用“率”解決單位換算的問(wèn)題。其實(shí)，分?jǐn)?shù)除了“量”與“率”，還有著豐富的意義，不同的專(zhuān)家、學(xué)者有著不同的解讀。比如，張奠宙教授在《小學(xué)數(shù)學(xué)研究》一書(shū)中指出，分?jǐn)?shù)一般有四種定義：份數(shù)定義、商定義、比定義和公理化定義。［3］章勤瓊教授等在《論小學(xué)數(shù)學(xué)中分?jǐn)?shù)的多層級(jí)理解及其教學(xué)》一文中補(bǔ)充了分?jǐn)?shù)的度量意義，即算子意義。［4］作為一線教師，我們要從更多元的角度思考，到底怎樣教才能讓學(xué)生學(xué)得懂、學(xué)得通、學(xué)得有效，逐步接近課標(biāo)的要求。

參考文獻(xiàn)：

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［3］ 張奠宙，孔凡哲，黃建弘，等.小學(xué)數(shù)學(xué)研究［M］.北京：高等教育出版社，2009：78.

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