吳耀軍

摘要：在數(shù)學解題教學中，教師常用“題眼”這個術(shù)語，考其源頭卻不見哪一本專業(yè)詞典有規(guī)范的解釋。但筆者認為所謂“題眼”就是題目的要害，是命題者設(shè)置的主要障礙點。它常常以知識點、隱含條件、聯(lián)結(jié)詞、臨界點等形式出現(xiàn)。一些數(shù)學題之所以難，不僅因為數(shù)學知識的應(yīng)用復(fù)雜多變，還由于潛在條件隱蔽難尋，使人產(chǎn)生條件不足之感而陷入困境，這正是考查考生思維的深刻程度。如何迅速尋找突破口，找出數(shù)學考題中的“題眼”，高效簡潔地完成解題，集中體現(xiàn)了學生的綜合分析能力。本文舉例說明識“題眼”的幾種常見方法。

關(guān)鍵詞：數(shù)學教學；識“題眼”；常見方法

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2013）09-0111

經(jīng)常有一些學生問筆者：“為什么在答題過程中常出現(xiàn)誤解、卡殼、毫無思路等情況？”其實，造成這種現(xiàn)象的原因有很多，但其中一個最重要的原因往往是因不善于識“題眼”而造成的。識“題眼”是審題和做答的關(guān)鍵。

在數(shù)學解題教學中，教師常用“題眼”這個術(shù)語，考其源頭卻不見哪一本專業(yè)詞典有規(guī)范的解釋。但筆者認為所謂“題眼”就是題目的要害，是命題者設(shè)置的主要障礙點。它常常以知識點、隱含條件、聯(lián)結(jié)詞、臨界點等形式出現(xiàn)。一些數(shù)學題之所以難，不僅因為數(shù)學知識的應(yīng)用復(fù)雜多變，還由于潛在條件隱蔽難尋，使人產(chǎn)生條件不足之感而陷入困境，這正是考查考生思維的深刻程度。如何迅速尋找突破口，找出數(shù)學考題中的“題眼”，高效簡潔地完成解題，集中體現(xiàn)了學生的綜合分析能力。下面，筆者舉例說明一下識“題眼”的幾種常見方法。

一、從已知條件中直接尋找“題眼”

題設(shè)的條件中必然體現(xiàn)一些數(shù)學關(guān)系，利用數(shù)學的定義、性質(zhì)、結(jié)論、公理、定理等深刻領(lǐng)會數(shù)學關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系是尋找“題眼”的關(guān)鍵。比如用哪個章節(jié)的知識解題，在運用這些知識點時需注意什么問題等。

例1. （2012年高考（湖南理））在△ABC中，AB=2，AC=3，■·■=1，則BC=（ ）

A. ■ B. ■ C. 2■ D. ■

【解析】

由■·■=■■cos（π-B）=2×■×（-cosB）=1.

∴cosB=■ 又由余弦定理知cosB=■，解得BC=■.

本題考查平面向量的數(shù)量積運算、余弦定理等知識，考查運算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學思想方法。但需要注意■，■的夾角為∠B的補角。

本題需要尋找的“題眼”有：

（1）“■·■=1”中對向量夾角定義的理解；

（2）已知三角形的兩邊及一角，如何利用正、余弦定理解三角形。

二、挖掘題中的隱含條件尋找“題眼”

數(shù)學題中的隱含條件是數(shù)學問題背后的東西，它使數(shù)學知識的應(yīng)用更靈活、更深刻，能夠順利挖掘題中的隱含條件，把握“題眼”，找到解題的突破口，是一個學生數(shù)學素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。

隱含條件特點是“含而不露”，它事實上已包含于題中的文字敘述、等式關(guān)系、不等關(guān)系、圖形符號等形式當中，但又沒有明確的在題干中呈現(xiàn)，具有很強的隱蔽性，極易被解題者忽視。一直以來這種類型的題都是高錯誤率，但在高中數(shù)學各種考試中卻屢見不鮮。

使“隱含”變“明朗”， 實現(xiàn)解題突破，就是這類題型解題的題眼所在。

例2.若A、B均為銳角，且tanA=■，sinB=■，求A+2B的值。

【解析】∵sinB=■且B為銳角，∴cosB=■，

∴ tanB=■

∴ tan2B=■=■

∴tan（A+2B）=■=1

∵A、B均為銳角

∴A+2B∈（0，■）

又∵sinB=■<■=sin30°，

∴0°

∴0°

三角函數(shù)的求值與化解問題是高中數(shù)學題中隱含條件出現(xiàn)密度最高的章節(jié)。解題時，角的范圍往往被忽略，或者不能發(fā)現(xiàn)其中所隱含的角的大小關(guān)系而出現(xiàn)增根不能排除，造成出錯。

本題需要尋找的“題眼”有：（1）求角應(yīng)先求相應(yīng)的三角函數(shù)值，合理選擇三角函數(shù)名稱，能使問題更順利解決；（2）三角函數(shù)的求值與化解問題中，通過“縮角”而排除增根是一種重要技巧。當題目有一個以上結(jié)果時，應(yīng)警惕產(chǎn)生增根的可能，通過進一步推敲題目條件使隱含條件明朗化，實現(xiàn)突破。

三、“轉(zhuǎn)化”找“題眼”

許多學生對數(shù)學總是處于一種“無力感”的心理狀態(tài)，特別是遇到較難題時，思路卡殼，無從下手。要緩解這種狀況，一是要牢固掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能及其蘊含的數(shù)學思想方法，尤其要注意每個數(shù)學概念、數(shù)學方法等成立的前提條件；二是要善于積累、運用和拓展解題模式，通過類比、對比，把其轉(zhuǎn)化為與平時訓(xùn)練相似的題型，找到“題眼”，促進解題正遷移。

例3. （溫州市2012屆高三第一學期期末八校聯(lián)考）已知C為線段AB上一點，P為直線AB外一點，滿足■-■=2，■- ■=2■，■=■，I為PC（下轉(zhuǎn)第128頁）（上接第111頁）上一點，且■=■+λ（■+■）（λ>0），則■的值為 。

解析：由■=■

知■=■，

從而轉(zhuǎn)化為cos∠CPA=cos∠CPB，得到PC為∠BPA的平分線。

由■=■+λ（■+■）（λ>0）

知■=λ（■+■）（λ>0）

而■+■表示■方向上的單位向量與■方向上的單位向量的單位向量的和向量轉(zhuǎn)化為AI是角∠BAP的平分線，從而得出I為△ABC的內(nèi)心

由圓的切線長性質(zhì)可知■-■=AD-BE=AC-CB=2

■- ■=2■轉(zhuǎn)化為■=2■，即AC+CB=2■

∴AC=■+1，BC=■-1

而■的幾何意義為■在■方向上的投影，即為BC=■-1。

由于向量集數(shù)、形于一體，也就是它既有代數(shù)的運算性質(zhì)，又有幾何的圖形特征，因而向量是高中數(shù)學解題中的重要工具。以向量為背景，一些傳統(tǒng)的中學數(shù)學內(nèi)容和問題就有了新的內(nèi)涵和表現(xiàn)形式。本題中由于題目條件多而雜，學生很難理清其中的關(guān)系，從而找不到突破口，出現(xiàn)無思路或思路卡殼的情況。

任何難題的解決都是有跡可尋的，本題中的關(guān)鍵問題即“題眼”所在就是將條件進行合理轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為我們能夠理解的、較為熟悉的問題，本題也就得到了解決。

本題需要尋找的“題眼”有：

（1）■=■轉(zhuǎn)化為cos∠CPA=cos∠CPB，得到PC為∠BPA的平分線；

（2）■=■+λ（■+■）轉(zhuǎn)化為AI是∠BAP的角平分線，看出I為三角形的內(nèi)心；

（3）■轉(zhuǎn)化為幾何意義：■在■方向上的投影，從而利用內(nèi)心的性質(zhì)使難題突破。

由于數(shù)學題中“題眼”的形式多種多樣，且在一道題中也會存在多個“題眼”或多種表現(xiàn)形式。但如果能仔細審題、廣泛聯(lián)系、善于轉(zhuǎn)化，多方向、多角度去尋找“題眼”，理清思路脈絡(luò)，便會達到“豁然開朗”的理想境界。

（作者單位：浙江省龍游縣第二高級中學 324400）