深化“情景”，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力

李良軍

[摘 要] 本文認(rèn)真研究了農(nóng)村學(xué)校學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力上存在的問題和困難，就如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力作出研究，提出將易忽視的、規(guī)律性的數(shù)學(xué)問題“情景”化，通過情景賦予數(shù)學(xué)知識靈魂，從而為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 學(xué)習(xí)力；公理；文化；情景化

隨著新課程改革的不斷深入，新課程所倡導(dǎo)“自主、合作、探究”的基本理念已經(jīng)深入到教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，一方面旨在改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，另一方面在于轉(zhuǎn)變教師的教學(xué)觀念. 很多學(xué)校對如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力作出有效的探索，如昆銅中學(xué)的“先學(xué)后教，以學(xué)定教”小組合作模式，山東杜郎口中學(xué)踐行學(xué)生主體地位而摸索新創(chuàng)的“三三六”自主學(xué)習(xí)高效課堂模式等. 無論哪種教學(xué)模式，其實(shí)都是在踐行新課程改革中轉(zhuǎn)變教學(xué)方式的要求.

為進(jìn)一步深化教學(xué)改革，縣教研室提出了“轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式，提升學(xué)習(xí)能力”的課改方向. 筆者為了積極參與教研室的課堂教學(xué)改革，在教學(xué)上作了大膽的實(shí)踐探索.

為了了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的相關(guān)情況，特設(shè)計(jì)了以下幾個(gè)問題，對學(xué)生作了問卷調(diào)查.

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況調(diào)查卷

1. 你對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感興趣嗎？

A. 感興趣

B. 不感興趣，數(shù)學(xué)知識太枯燥

C. 不感興趣，數(shù)學(xué)方法技能太難掌握

D. 其他（如：_________________）

2. 你覺得當(dāng)前學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要困難在哪里？

A. 基礎(chǔ)太差，完全聽不懂

B. 老師上課太快，跟不上節(jié)奏

C. 上課能聽懂，但課后自己又做不來

D. 其他（如：_________________）

3. 為了學(xué)好數(shù)學(xué)，你打算怎么辦？

A. 上課認(rèn)真聽講，多做多練

B. 多向老師、同學(xué)請教

C. 平時(shí)多積累數(shù)學(xué)方法和技能

D. 其他（如：_________________）

4. 你覺得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對你最有幫助的是什么？

A. 沒有幫助

B. 鍛煉我的思維能力

C. 對日常生活有幫助

D. 對學(xué)習(xí)其他課有幫助

5. 你在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)遇到困難怎么辦？

A. 向老師請教

B. 向同學(xué)請教

C. 上網(wǎng)查資料

D. 放棄

通過問卷調(diào)查，經(jīng)整理后發(fā)現(xiàn)農(nóng)村中學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)有以下幾個(gè)方面的問題：

（1）學(xué)習(xí)力的第一要素是學(xué)習(xí)的動(dòng)力，而興趣是學(xué)習(xí)最好的老師. 通過對第一個(gè)問題的分析（圖1）發(fā)現(xiàn)，農(nóng)村中學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣普遍不大，其中不感興趣的主要原因是學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)知識枯燥、乏味，公式繁多、計(jì)算繁復(fù)、邏輯推演晦澀難懂，花的時(shí)間不少，但考試效果總是不佳.

（2）學(xué)習(xí)的能力是學(xué)習(xí)力的一大要素. 從學(xué)生對第二個(gè)問題的回答（圖2）可以發(fā)現(xiàn)，有55%的學(xué)生存在上課能聽懂，但自己做不了題的情況，這說明學(xué)生的學(xué)習(xí)能力有很大的欠缺，主要原因在于對基本概念、定理模糊不清，不能用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地表達(dá)概念、公式、定理，知識與問題之間聯(lián)系不起來，不知道如何運(yùn)用已有的知識去解決問題. 學(xué)習(xí)力還表現(xiàn)在學(xué)習(xí)方法上，從學(xué)生對第三個(gè)問題的回答（圖3）可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)方法上大多傾向于多做多練，有45%的學(xué)生認(rèn)為要多做多練，有33%的學(xué)生會向他人請教，而只有12%的學(xué)生覺得要從平時(shí)的學(xué)習(xí)中去積累數(shù)學(xué)方法和技能，學(xué)習(xí)方法上存在一定的盲目性.

（3）學(xué)習(xí)的毅力也直接影響著學(xué)習(xí)力. 從學(xué)生對第四個(gè)問題的回答（圖4）可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的性有著清醒的認(rèn)識，有90%左右的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能鍛煉自己的思維，且對學(xué)習(xí)其他學(xué)科有幫助. 初中階段的數(shù)學(xué)課程對學(xué)生抽象邏輯思維能力的要求有了明顯提高，處于由直觀形象思維為主向抽象邏輯思維為主過渡的關(guān)鍵期，沒有形成比較成熟的抽象邏輯思維方式，而且學(xué)生個(gè)體差異也比較大，有的抽象邏輯思維能力發(fā)展快一些，有的則慢一些，因此表現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)接受能力的差異. 從學(xué)生對第五個(gè)問題的回答（圖5）可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)中遇到問題，有80%左右的學(xué)生會向同學(xué)和老師請教，而只有10%左右的學(xué)生選擇自己思考，這對學(xué)生思維能力的提高不利. 從中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)缺少毅力，遇到困難不能積極主動(dòng)地去探求.

綜上可知，進(jìn)入初中以后，與小學(xué)階段的學(xué)習(xí)相比，初中數(shù)學(xué)難度加深，且教學(xué)方式的改變、邏輯性的加強(qiáng)使得很多學(xué)生害怕數(shù)學(xué)，明明很簡單的問題，就是不知從何下手. 在掌握數(shù)學(xué)知識的技能、技巧方面，新的技能、技巧形成都必須借助已有的技能技巧，而很多學(xué)生往往是因?yàn)橐延械慕?jīng)驗(yàn)和技能技巧與要學(xué)的新知識脫節(jié)，從而造成對新知識的不理解，所以，在平時(shí)的教育教學(xué)中，筆者經(jīng)常思考如何才能使學(xué)生對所要掌握的經(jīng)驗(yàn)和技能技巧加深理解與記憶.

教育學(xué)認(rèn)為親身經(jīng)歷的或感受到的知識，理解和記憶的效果是最佳的. 所謂“情景”，即感情與景色，情景交融，有景和情感的體驗(yàn)有利于學(xué)習(xí)力的加強(qiáng). 數(shù)學(xué)知識不可能每一項(xiàng)都去親身經(jīng)歷，很多數(shù)學(xué)問題有較強(qiáng)的邏輯性，需要一定的邏輯思維能力和空間想象能力，所以，筆者在想，能否給這些數(shù)學(xué)知識設(shè)定一定的“情景”，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 下面就如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，對數(shù)學(xué)知識賦予一定的“情景”，提升學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力談?wù)勛约旱淖龇?

給基本幾何公理賦予故事情景，加深對幾何公理的認(rèn)識和應(yīng)用

如“兩點(diǎn)之間，線段最短”是初中平面幾何的基本公理之一，可以給出圖6，并詢問圖中虛線所示的路是如何形成的？為什么人們要這樣走？學(xué)生根據(jù)平時(shí)的生活經(jīng)驗(yàn)，很容易達(dá)成共識：從點(diǎn)A到點(diǎn)B沿連接兩點(diǎn)的線段走，最近. 而我們將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即如圖7所示，在連接A，B兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短，簡稱為“兩點(diǎn)之間，線段最短”.endprint

這個(gè)公理很簡單，也很容易理解，但這個(gè)公理在后面的學(xué)習(xí)中有著巨大的應(yīng)用，如這個(gè)公理可以直接應(yīng)用在三角形三邊關(guān)系的證明中，即“在一個(gè)三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”. 如圖8所示，根據(jù)公理易得從點(diǎn)B到點(diǎn)C沿線段a走肯定比沿折線b+c走近，于是可得b+c>a，同理可得a+c>b，a+b>c，變形可得a-b

從“兩點(diǎn)之間，線段最短”到“三角形的三邊關(guān)系”，學(xué)生較易理解，但如果涉及具體的問題，學(xué)生就不易形成解題思路. 下面就如何應(yīng)用公理和定理來解決具體問題，如何為公理賦予情景，談?wù)勛约旱南敕?

案例1 （2009湖北鄂州中考）如圖9所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點(diǎn)P在BC上移動(dòng)，則當(dāng)PA+PD取得最小值時(shí)，△APD中邊AP上的高為多少？

分析 本例中關(guān)鍵的問題是當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)PA+PD最小，只有確定了點(diǎn)P的位置，才能求AP邊上的高. 如何確定點(diǎn)P的位置，思路很難形成，很多學(xué)生會感到無從下手，其實(shí)本例就是利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)公理來解決的. 為了解決這個(gè)問題，我們可以先將其中的PA+PD的長度從問題抽取出來，將BC看作一條直線，A，D看做是直線外同側(cè)的兩點(diǎn)，如圖10所示，即在直線BC上找一點(diǎn)P，使它到直線外同側(cè)兩點(diǎn)的距離之和最小.

要解決這個(gè)問題其實(shí)很簡單，方法如下（如圖11）：

（1）過點(diǎn)A作關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)A′；

（2）連接A′D，交直線BC于點(diǎn)P，則點(diǎn)P就是所求的點(diǎn).

理由：若所選的點(diǎn)不在上述作法的P點(diǎn)處，如圖12所示，若點(diǎn)在P′處，由對稱性得P′A=P′A′，PA=PA′，則P′A+P′D=P′A′+P′D>A′D=A′P+PD=PA+PD，即P′A+P′D>PA+PD，所以當(dāng)點(diǎn)在上述所作的點(diǎn)P處時(shí)，PA+PD最小.

案例1的原理是根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，但實(shí)際是運(yùn)用了“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)公理.

有了以上結(jié)論，要解決案例1就易如反掌了，即如圖13所示，只要找到點(diǎn)A關(guān)于直線BC對稱的點(diǎn)A′，并連接DA′交BC于點(diǎn)P，此時(shí)PA+PD取得最小值. 再根據(jù)已知條件易得BP是△A′AD的中位線，則可得BP等于AD的一半，即BP=1，BP的長確定后再利用面積即可得AP邊上的高.

有很多老師對這個(gè)最值問題做了研究，也有老師找了很多的方法，通過分析學(xué)生很容易理解，講了以后學(xué)生也能做，但將它融入其他元素后，受到圖形或其他條件的干擾，遇到類似的問題就又不知從何下手. 所以，為了讓學(xué)生理解和掌握這類問題，筆者在平時(shí)的教學(xué)過程中對利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”這個(gè)公理解決這一類問題賦予一個(gè)故事情景，稱之為“將軍騎馬飲水”問題：如圖14所示，很久以前，一位古希臘的將軍早上從營房A處出來，騎馬到河邊（把河看作直線l）讓馬飲水，然后到訓(xùn)練場B處訓(xùn)練，問在河邊的什么地方讓馬飲水才能使所走的路程最短？

將這個(gè)簡單的公理賦予一個(gè)故事化的情景，學(xué)生非常感興趣，也覺得我們的數(shù)學(xué)公理有了實(shí)際意義，這樣，學(xué)生下次遇到這類問題，首先會記起這個(gè)故事情景，從而回憶起解決問題的方法. 無論題目如何變化，只要把握問題的實(shí)質(zhì)（即在直線上找動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小），將這個(gè)基本圖形從問題中抽離出來，難題也就迎刃而解了. 下面兩個(gè)案例雖然融入其他元素，但有了這個(gè)情景，學(xué)生在看到題目時(shí)很容易將其從題中分離出來，從而找到解題方法.

分析 此題將問題套上了圓這個(gè)圖形的“殼”，學(xué)生在思考時(shí)總是在考慮用圓的知識來解決這個(gè)問題，這樣一來就容易走入“歧路”. 其實(shí)，將其中的主要元素剝離出來，直徑MN可看作直線，即在直線上找一點(diǎn)使其到圓上兩定點(diǎn)距離之和最小，看清這點(diǎn)后我們就可以用“將軍騎馬飲水”來解決. 如圖16所示，過點(diǎn)B作直徑MN的垂線，交⊙O于點(diǎn)B′，連接AB′交MN于點(diǎn)P，再利用圓的軸對稱性，可得點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)，則此時(shí)點(diǎn)P到A，B的距離之和最小，PA+PB=PA+PB′=AB′，連接OA，OB′，根據(jù)已知條件易得∠AOB=90°，再利用勾股定理就可求得AB′的值.

（1）求拋物線的解析式；

（2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點(diǎn)C，使△BOC的周長最小？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析 本例是2013年瀘州中考的壓軸題，涉及二次函數(shù)等知識，綜合性較強(qiáng)，其中第（2）問是在拋物線對稱軸上找一點(diǎn)C，使得△BOC的周長最小，通過分析可知，點(diǎn)O和點(diǎn)B為定點(diǎn)，即BO的長不變，當(dāng)OC+BC取得最小值時(shí)，△BOC的周長也取到最小值，于是題目轉(zhuǎn)化為“將軍騎馬飲水”問題，只要找到點(diǎn)O或點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)即可. 根據(jù)拋物線的對稱性發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)O關(guān)于拋物線對稱軸對稱的點(diǎn)為A，則連接AB與拋物線對稱軸的交點(diǎn)即為所求的C點(diǎn).

將數(shù)學(xué)知識賦予“文化”情景，以深厚的文化背景賦予數(shù)學(xué)知識以靈魂

中國文化源遠(yuǎn)流長，我們是文明古國，有著悠久的歷史和燦爛的文化，在數(shù)學(xué)上也有著杰出的成就. 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，若能多了解和應(yīng)用一些我國古代的數(shù)學(xué)成就，一方面能增強(qiáng)學(xué)生的自豪感，另一方面能激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí).

九年級上冊3.2節(jié)圓的軸對稱性（2）中，其中例3計(jì)算了趙州橋拱形所在圓的半徑，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在計(jì)算涉及半徑、矢高、弦長和弦心距問題時(shí)，比較盲目，所以筆者就以“趙州橋”為情景，首先介紹趙州橋的有關(guān)知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 趙州橋坐落在河北省趙縣洨河上，建于隋朝，由著名匠師李春設(shè)計(jì)和建造，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完善的古代敞肩石拱橋. 趙州橋的設(shè)計(jì)構(gòu)思和工藝的精巧，不僅在我國古橋首屈一指，據(jù)世界橋梁的考證，像這樣的敞肩拱橋，歐洲到19世紀(jì)中期才出現(xiàn)，比我國晚了一千二百多年.

其次，有了趙州橋這個(gè)文化情景作鋪墊，再尋找這類問題的解決途徑，筆者將“趙州橋”問題解決途徑概括成“一個(gè)中心，兩條道路”. 如圖18所示，為了說明方便，將涉及的四個(gè)量分別用字母表示，半徑為r，弦心距為d，弦長為l，矢高為h，易得四個(gè)量之間的關(guān)系：

（1）r=h+d（小于半圓的拱形）或r=h-d（大于半圓的拱形）；

利用以上兩個(gè)關(guān)系式，在這四個(gè)量中，只要已知其中任意兩個(gè)量，就可以求其他兩個(gè)量. 圓中有很多涉及這幾個(gè)量計(jì)算的問題，也即是垂徑定理在圓中計(jì)算的直接應(yīng)用.

解決“趙州橋”問題的一個(gè)中心，即必須牢牢把握以半徑、半弦和弦心距為邊所構(gòu)成的直角三角形為中心，最終的計(jì)算要在這個(gè)直角三角形中用勾股定理來解決.

解決“趙州橋”問題的兩條道路：第一條是“直接”道路，只要已知的兩個(gè)量不是矢高h(yuǎn)和弦長l，則根據(jù)四個(gè)量之間的關(guān)系就可以得到直角三角形中兩條邊的長度，可利用勾股定理直接計(jì)算出另外兩個(gè)量.

第二條是“間接”道路，走間接道路時(shí)已知量肯定是矢高h(yuǎn)和弦長l，如課本例3的問題，由于在直角三角形中，半徑r和弦心距d兩個(gè)都是未知量，所以需設(shè)其中一個(gè)為x，利用勾股定理列方程解決.

“趙州橋”問題只要明確了“一個(gè)中心，兩條道路”，遇到問題時(shí)就有了方向性，尋找解題途徑也就有了目的性，下面我們就利用這個(gè)情景來解決案例4.

案例4 （2011浙江衢州中考）如圖19所示，木工師傅可以用角尺測量并計(jì)算出圓的半徑r，用角尺的較短邊緊靠⊙O，并使較長邊與⊙O相切于點(diǎn)C，假設(shè)角尺的較長邊足夠長，角尺的頂點(diǎn)為B，較短邊AB=8 cm，若讀得BC的長為a cm，則用含a的代數(shù)式表示r為______.

分析 本題改編自浙教版九年級下冊“3.1 直線與圓的位置關(guān)系（3）”例4，本題中BC的長為a cm，即BC的長未知，則應(yīng)分兩種情況討論：

①當(dāng)0

將某些解題過程中常用的技能技巧賦予“情景”，提高解題能力

在數(shù)學(xué)解題過程中，很多實(shí)用而簡單的技能技巧有助于提高解題能力. 一個(gè)好的數(shù)學(xué)老師往往會非常重視這些技能技巧的傳授，如在列方程問題中，經(jīng)常會遇到如案例5的兩種情況，學(xué)生易將兩種情況弄混.

案例5 （1）（2011甘肅蘭州中考）某校九年級學(xué)生畢業(yè)時(shí)，每個(gè)同學(xué)都將自己的相片向全班其他同學(xué)各送一張留作紀(jì)念，全班共送了2070張相片，如果全班有x名學(xué)生，根據(jù)題意，列出方程為（ ）

A. x（x-1）=2070

B. x（x+1）=2070

C. 2x（x+1）=2070

（2）在一次同學(xué)聚會上，參加的每個(gè)人都與其他人握手一次，共握手190次，設(shè)參加這次同學(xué)聚會的有x人，可得方程（ ）

A. x（x-1）=190 B. x（x-1）=380

C. x（x-1）=95 D. （x-1）2=380

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)者要想完成對所學(xué)知識的意義建構(gòu)，即達(dá)到對該知識所反映事物的性質(zhì)、規(guī)律以及該事物與其他事物之間聯(lián)系的深刻理解，最好的辦法是讓學(xué)習(xí)者到現(xiàn)實(shí)世界的真實(shí)環(huán)境中去感受、去體驗(yàn). 而一個(gè)有意義的“情景”，有利于學(xué)生對知識的理解和掌握，有利于學(xué)生提高自身的學(xué)習(xí)力. 但筆者在實(shí)際教學(xué)中也發(fā)現(xiàn)，并非用得越多越好，還應(yīng)遵循一定的規(guī)律.

第一，“情景”的設(shè)定宜精不宜多，過多的“情景”設(shè)定，會使學(xué)生造成“情景”疲勞，從而降低 “情景”對學(xué)生的刺激. 我們應(yīng)針對平時(shí)易忽略的定理和公理，或經(jīng)常使用的技能技巧等規(guī)律性的問題去設(shè)定“情景”.

第二，對學(xué)生影響深刻的“情景”會對學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生思維定式. 學(xué)生遇到類似問題往往會按照習(xí)慣性思維去解決，不易發(fā)揮學(xué)生的靈活性. 如在案例2中，得到PA+PB的最小值即弦AB′時(shí)，若不是連接OA，OB，而是用“趙州橋”問題去構(gòu)造直角三角形來求弦長（如圖22），就有可能造成已知條件和要求的結(jié)果之間的一個(gè)脫節(jié). 所以，在利用“情景”來強(qiáng)化和規(guī)范學(xué)生的解題思路時(shí)，既要認(rèn)識到有利的一面，也要注意克服不利的一面，當(dāng)所呈現(xiàn)的條件不滿足或不適合“情景”時(shí)，不要生搬硬套，而應(yīng)跳出“情景”，另尋解題思路.

皮亞杰認(rèn)為，“主體所完成的一切建構(gòu)都以先前已有的內(nèi)部條件為前提”. 知識“情景化”能有效鞏固“先前已有的內(nèi)部條件”，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力；通過規(guī)范解決問題的思路，能有效降低思維難度，提高學(xué)習(xí)能力，獲得成功體驗(yàn)，從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)毅力. 學(xué)生反映，遇到類似的問題很容易回憶起情景，從而尋找解題途徑，但如何設(shè)置更加符合知識的有效“情景”，需要我們在今后的教育教學(xué)中不斷探索.