朱碧

摘 要： 微分中值定理作為微分學(xué)的核心概念之一，在高等數(shù)學(xué)中具有相當(dāng)重要的地位和作用，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)，對(duì)積分學(xué)的發(fā)展，具有承前啟后的重要作用.

關(guān)鍵詞： 微分中值定理 教材分析 教學(xué)策略 教學(xué)體會(huì)

引言

之前，我們引進(jìn)了導(dǎo)數(shù)的概念，詳細(xì)討論了計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法.這樣一來，類似于求已知曲線上點(diǎn)的切線問題已獲完美解決.但如果想用導(dǎo)數(shù)這一工具分析、解決復(fù)雜一些的問題，那么，只知道怎樣計(jì)算導(dǎo)數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，還要以此為基礎(chǔ)，發(fā)展更多的工具.另外，我們注意到：函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)是兩個(gè)不同的函數(shù)；導(dǎo)數(shù)只是反映函數(shù)在一點(diǎn)的局部特征；我們往往要了解函數(shù)在其定義域上的整體性態(tài)，需要在導(dǎo)數(shù)及函數(shù)間建立起聯(lián)系，搭起一座橋，這座“橋”就是微分中值定理.

1.教材分析

我講解的這門課程所使用的教材是由科學(xué)出版社出版的河南工業(yè)大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系所編寫的《高等數(shù)學(xué)》（輕工類）（第二版）的上冊(cè)，這本教材的內(nèi)容符合教學(xué)大綱的要求，體系結(jié)構(gòu)清晰，例題豐富，語言通俗易懂，講解透徹，難度適中.《微分中值定理》這一小節(jié)分“羅爾定理”，“拉格朗日中值定理”，“柯西中值定理”三個(gè)部分展開，詳細(xì)講解第一、第二中值定理，需要一個(gè)課時(shí)的時(shí)間.

1.1教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：微分中值定理的證明；微分中值定理的應(yīng)用.

難點(diǎn)：輔助函數(shù)的構(gòu)造；定理?xiàng)l件的驗(yàn)證.

1.2學(xué)情分析

學(xué)生已較好地掌握了函數(shù)極限和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相關(guān)知識(shí)，正迫切地想知道導(dǎo)數(shù)到底有什么用，這種求知欲正好是學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的前提.另外，本班學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好（分層教學(xué)A班），思維比較活躍，對(duì)數(shù)學(xué)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)有相當(dāng)大的興趣和積極性，這為本課的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).但是本節(jié)內(nèi)容理論性強(qiáng)，抽象度高，內(nèi)容思維量大，對(duì)類比歸納，抽象概括，聯(lián)系與轉(zhuǎn)化的思維能力有較高的要求，學(xué)生學(xué)習(xí)起來有一定難度.

1.3教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)上述教材分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：對(duì)羅爾微分中值定理的第三個(gè)條件去掉得到拉格朗日中值定理進(jìn)行推廣，啟發(fā)學(xué)生得出拉格朗日中值定理的結(jié)論，歸納構(gòu)造輔助函數(shù)的方法，發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力.

2.教學(xué)策略

2.1教法、學(xué)法

教學(xué)中遵循“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，知識(shí)為主線，發(fā)展思維為主旨”的“四主”原則.以恰當(dāng)?shù)膯栴}為紐帶，給學(xué)生創(chuàng)造自主探究、合作交流的空間，啟發(fā)學(xué)生證明中值定理的思路.引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生歸納總結(jié)得出微分中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.教學(xué)以板書為主，優(yōu)點(diǎn)在于，學(xué)生注意力集中，能有效進(jìn)行師生互動(dòng).

2.2教學(xué)流程及時(shí)間安排

2.2.1教學(xué)流程回顧羅爾中值定理→推廣到f（a）和f（b）沒有限制相等的一般情形→啟發(fā)拉格朗日中值定理的結(jié)論→構(gòu)造輔助函數(shù)，轉(zhuǎn)化利用羅爾中值定理證明→歸納構(gòu)造輔助函數(shù)的方法→體會(huì)拉格朗日中值定理的應(yīng)用.

2.2.2時(shí)間安排及具體授課步驟

1.回顧和導(dǎo)入新課（3分鐘）；2.羅爾定理及其證明（10分鐘）；3.拉格朗日中值定理及其證明（10分鐘）；4.輔助函數(shù)的構(gòu)造及其中值定理的應(yīng)用（10分鐘）；5.典型例題分析和解答（10分鐘）；6.總結(jié)和作業(yè)（2分鐘）.

我們先講羅爾定理，然后根據(jù)它推出拉格朗日中值定理.

羅爾定理：設(shè)函數(shù)f（x）滿足：（1）在[a，b]上連續(xù)；（2）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b），那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a<ξ

證明：∵f（x）在[a，b]上連續(xù)，∴f（x）在[a，b]上必定取得最大值M和最小值m.

（1）M=m，說明f（x）=M為常值函數(shù)，∴f′（x）=0，（？坌x∈（a，b）），此時(shí)任取ξ∈（a，b），就有f′（ξ）=0.

（2）M≠m，∵f（a）=f（b），∴M和m至少有一個(gè)在（a，b）內(nèi)取得，不妨假設(shè)M=f（ξ）（ξ∈（a，b）），由函數(shù)可導(dǎo)的條件和極限的保號(hào)性知：

注：①羅爾定理的條件是充分的，結(jié)論是定性的.②推廣：羅爾定理的第三個(gè)條件f（a）=f（b）一般很難保證，我們嘗試去掉這個(gè)條件，會(huì)有什么樣的結(jié)論產(chǎn)生呢？由此引出拉格朗日中值定理.

關(guān)于拉格朗日中值定理，我們采用的證明方法是找原函數(shù)：

3.教學(xué)體會(huì)

通過中值定理的教學(xué)，我深有體會(huì).首先，微分中值定理學(xué)生掌握有三個(gè)難點(diǎn)：（1）定理的選擇；（2）輔助函數(shù)的構(gòu)造；（3）條件的驗(yàn)證.其次，上課時(shí)應(yīng)該多采用歸納方法及讓學(xué)生理解解決問題所用的思考方法，以后學(xué)生才能做到舉一反三.最后，課堂上教師應(yīng)該適當(dāng)穿插人物的介紹，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.課后要求學(xué)生復(fù)習(xí)并布置適當(dāng)?shù)淖鳂I(yè)，目的是加深對(duì)基本概念的理解，提高計(jì)算能力，進(jìn)行邏輯推理的訓(xùn)練.

參考文獻(xiàn)：

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