計(jì)算教學(xué)中算理和算法的有效結(jié)合

羅梅莉

【摘要】在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，計(jì)算教學(xué)直接關(guān)系到學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)性目標(biāo)的掌握。為了能有效提高學(xué)生的計(jì)算能力，本文結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)踐提出：改進(jìn)教師的教學(xué)，主要有結(jié)合情境，感悟算理，探索算法；重比感悟，理解算理，優(yōu)化算法；靈活運(yùn)用，明晰算理，內(nèi)化算法。學(xué)生在學(xué)習(xí)計(jì)算的過(guò)程中明確了算理和算法，就便于靈活、簡(jiǎn)便地展開進(jìn)行計(jì)算。

【關(guān)鍵詞】計(jì)算教學(xué) 算理 算法 有效結(jié)合

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2017）01A-0070-03

培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一項(xiàng)重要任務(wù)。教師在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，不能僅僅關(guān)注于學(xué)生運(yùn)算技能的掌握，更要注重學(xué)生理解算理、掌握算法的學(xué)習(xí)過(guò)程，也就是在教學(xué)中要注重將算理與算法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，從而發(fā)展學(xué)生的運(yùn)算能力。

處理好算理與算法的關(guān)系對(duì)于計(jì)算教學(xué)很重要。在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)于算理和算法的學(xué)習(xí)，主要體現(xiàn)在整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的口算和筆算以及新增的估算內(nèi)容中。計(jì)算課教學(xué)要改變傳統(tǒng)教學(xué)中通過(guò)熟記法則來(lái)學(xué)習(xí)計(jì)算的方式，而應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷計(jì)算的全過(guò)程，發(fā)現(xiàn)算理、掌握算法，能探究出相應(yīng)的計(jì)算方法，形成新的技能與教學(xué)應(yīng)用，避免學(xué)與應(yīng)用脫節(jié)。新課標(biāo)理念下的計(jì)算教學(xué)倡導(dǎo)在教學(xué)過(guò)程中通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手操作、合作探究等形式，讓學(xué)生結(jié)合情境理解算理，自主掌握計(jì)算方法，形成技能，并能綜合應(yīng)用。下面筆者就結(jié)合平時(shí)的計(jì)算教學(xué)，談?wù)勗谟?jì)算教學(xué)中如何處理算理與算法的關(guān)系的幾點(diǎn)策略。

一、結(jié)合情境，感悟算理，探索算法

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)不同學(xué)段的學(xué)生計(jì)算的要求是不同的。作為教師，我們要根據(jù)各學(xué)段學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的認(rèn)知水平和思維特點(diǎn)，以及課標(biāo)和教材的特點(diǎn)來(lái)因材施教。對(duì)比新舊版本的人教版教材，我們不難發(fā)現(xiàn)：舊教材在計(jì)算教學(xué)中多半是直接出示算式并給出相應(yīng)的計(jì)算法則和規(guī)律；新教材則是出示一組相關(guān)的情境，讓學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，在解決問(wèn)題的過(guò)程中感受學(xué)習(xí)計(jì)算的必要性，經(jīng)歷自主探索，感悟算理，并能在此基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法。

例如，在一年級(jí)結(jié)合情境可用數(shù)數(shù)、擺學(xué)具等直觀操作的方法幫助學(xué)生“感悟”算理；在二、三年級(jí)可結(jié)合情境借助由直觀操作過(guò)渡到直觀演示（畫圖）等方式，讓學(xué)生理解算理，但“直觀”的成分已慢慢減弱，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生逐步擺脫對(duì)具體形象的依賴。在經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過(guò)程中，不斷提高思維的水平，學(xué)會(huì)抽象地思考問(wèn)題。隨著學(xué)生的年齡增長(zhǎng)及心理成長(zhǎng)，教師應(yīng)結(jié)合情境順應(yīng)學(xué)生的思維發(fā)展，憑借“遷移—類推—轉(zhuǎn)化”思想，引導(dǎo)學(xué)生在已有生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)多角度地思考問(wèn)題，不斷發(fā)展推理能力和思維能力。

案例一：結(jié)合情境，借助直觀，感悟算理，探索算法

筆者在使用舊版教材教學(xué)“9加幾”時(shí)，教材中有擺小棒，還有算式，筆者按教材呈現(xiàn)的內(nèi)容告之學(xué)生計(jì)算“9+幾”就是要把第二個(gè)加數(shù)拆1個(gè)1，加上9就湊成10了，接著算10加幾就行了，有的學(xué)生在學(xué)習(xí)“8加幾”等知識(shí)時(shí)會(huì)用此法來(lái)計(jì)算，但更多學(xué)生遇到了困惑：“8加幾”要把第2個(gè)加數(shù)拆1個(gè)1，還是拆多少呢？教后筆者反思：學(xué)生沒(méi)真正弄懂“9+幾”的算理是要通過(guò)湊十法將“9+幾”轉(zhuǎn)化成已學(xué)過(guò)的“10+幾”來(lái)計(jì)算，同時(shí)因?yàn)樯嫌?jì)算課時(shí)教師直接告訴學(xué)生此題就是這樣算，學(xué)生上課興趣也不高，計(jì)算的正確率也不高，并且課后采用多練的方法提高計(jì)算正確率，效果甚微。

新課改以來(lái)，筆者結(jié)合課標(biāo)、教材和學(xué)生的年齡特點(diǎn)，創(chuàng)造性地使用教材，把教學(xué)“9加幾”定位在利用生活的情境開展“看、聽、想、做、說(shuō)、算”等活動(dòng)，學(xué)生在經(jīng)歷了理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法，真正達(dá)到“知其然，知其所以然”的效果。

第一層次，創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考。

（觀看運(yùn)動(dòng)會(huì)中學(xué)生們分組運(yùn)動(dòng)及分飲料的場(chǎng)景）要求一共有多少瓶飲料，應(yīng)怎樣計(jì)算呢？結(jié)合學(xué)生熟悉的生活情境展開教學(xué)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生挑戰(zhàn)解決自己提出問(wèn)題的動(dòng)力，這比過(guò)去單純的計(jì)算教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

第二層次，自主探索，合作交流。

有了強(qiáng)烈的求知欲，學(xué)生在交流過(guò)程中，更愿意提出不同的方法計(jì)算，這樣的交流體現(xiàn)算法多樣化，使每個(gè)學(xué)生都能收獲成功的體驗(yàn)。在這過(guò)程中，由于給了學(xué)生足夠的探索空間，對(duì)于“9+4=？”怎樣算，學(xué)生的方法是多種多樣的：數(shù)數(shù)、擺小棒、珠心算、畫圖等，教師將學(xué)生的多種方法進(jìn)行有序地整理，和學(xué)生們一起數(shù)數(shù)。在數(shù)數(shù)的過(guò)程中，學(xué)生們看到情境中一箱飲料空缺1瓶，馬上就會(huì)想到補(bǔ)上一瓶湊成10瓶，數(shù)數(shù)時(shí)也不再是1、2、3……一個(gè)一個(gè)地往下數(shù)，而是看到盒子有9瓶后，接著往下數(shù)10、11……這樣數(shù)形結(jié)合很巧妙，便于學(xué)生的理解。有了數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，再用小棒幫助理解就更加輕而易舉了，在擺小棒的時(shí)候，學(xué)生從4根小棒中拿出1根湊成10根，10加3等于13，在操作時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生理解“為什么都從4根中拿出1根，不拿2根給9根呢？”這樣在擺的過(guò)程中使學(xué)生的操作沒(méi)有停留在表面，而是深入思考，真正理解9只能和1湊成10，“10加幾”就是以前學(xué)過(guò)的知識(shí)。在此過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行相應(yīng)的簡(jiǎn)便運(yùn)算，而不是一種麻木的亂分，為后面“8加幾”等知識(shí)的教學(xué)打下基礎(chǔ)。這種教學(xué)方式應(yīng)是一種重理解、重能力培養(yǎng)的方式，目的是讓學(xué)生獲得繼續(xù)自主學(xué)習(xí)的方法，同時(shí)也使學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是那么簡(jiǎn)單，為今后在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中利用舊知遷移轉(zhuǎn)化為新知做好思維發(fā)展的鋪墊。

第三層次，屬性轉(zhuǎn)換，形成技能。

經(jīng)歷數(shù)數(shù)、擺小棒等活動(dòng)后，再把擺小棒的過(guò)程遷移到算式，學(xué)生很快就知道了計(jì)算“9+4=？”要把此題的9先加1，再變成學(xué)過(guò)的10加幾得十幾計(jì)算出結(jié)果。通過(guò)這樣的引導(dǎo)，讓學(xué)生真正理解“9加幾”的算理，從而掌握了計(jì)算“9+幾”的方法。

上述案例中，教師依據(jù)對(duì)新課標(biāo)的理解，既加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生個(gè)性化算法的尊重和重視，也加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生親身經(jīng)歷算法多樣化過(guò)程的組織和實(shí)施，幫助學(xué)生理解算理；同時(shí)又讓課堂上呈現(xiàn)的算法多樣化，讓多數(shù)學(xué)生理解它、掌握它，體驗(yàn)多種算法，唯有如此才能讓更多的學(xué)生理解算理。

案例二：結(jié)合情境，借助“轉(zhuǎn)化”，感悟算理，探索算法

在教學(xué)三年級(jí)下冊(cè)《除數(shù)是一位數(shù)的除法》時(shí)（被除數(shù)是三位數(shù)），筆者根據(jù)教材設(shè)計(jì)了以環(huán)保為主題的情境——植樹節(jié)開展植樹活動(dòng)。情境的創(chuàng)設(shè)一下子就將枯燥繁瑣的計(jì)算課注入了活力，激發(fā)了學(xué)生的興趣，增強(qiáng)了學(xué)生的環(huán)保意識(shí)。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生在情境中發(fā)現(xiàn)并提出了問(wèn)題，且能列式“238÷6=？”可是學(xué)生在獨(dú)立試做時(shí)遇到了以下三個(gè)難題：1.做除法時(shí)，應(yīng)從哪一位除起？2.商應(yīng)寫在什么位置？3.當(dāng)除不盡時(shí)怎么辦？在學(xué)生遇到困難時(shí)筆者沒(méi)急于教學(xué)生應(yīng)怎樣計(jì)算此題，而是圍繞學(xué)生提出的三個(gè)問(wèn)題來(lái)調(diào)整教學(xué)流程，筆者出示“36÷6”與“36÷3”讓學(xué)生對(duì)比：這兩道題有什么相同與不同的地方？學(xué)生通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：被除數(shù)相同，除數(shù)不同，商也會(huì)不同。當(dāng)學(xué)生有了發(fā)現(xiàn)后，筆者乘勝追擊引導(dǎo)學(xué)生觀察：“你在算這兩題時(shí)是先從哪一位除起的？”學(xué)生很快有了答案，此時(shí)再讓學(xué)生思考“238÷6=？”應(yīng)從哪一位除起呢？學(xué)生遇到的困難就在舊知的比較中迎刃而解了。這樣的教學(xué)比讓學(xué)生背誦除法豎式的計(jì)算法則更有效。有了成功的開始，在讓學(xué)生解答第二個(gè)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生很自然地想到了用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)幫助理解，有擺小棒的，有對(duì)比豎式的。例如有學(xué)生擺了兩個(gè)大捆，三個(gè)小捆，8根單根的小棒，在擺的過(guò)程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：整百一捆的小棒要想平均分六份，每份整百一捆是不可能的，那怎么辦呢？學(xué)生提出將整百一大捆拆開（注：這個(gè)“拆”學(xué)生是在學(xué)習(xí)最簡(jiǎn)單的36÷6豎式書寫時(shí)發(fā)現(xiàn)的，雖然有除法口訣幫忙不需要擺小棒，但筆者還是讓學(xué)生擺了一擺，有了擺的經(jīng)歷后學(xué)生也就有了發(fā)展、遷移、轉(zhuǎn)化的能力）成了10個(gè)小捆，這樣就變成了23個(gè)小捆（也就是23個(gè)十），就可以分了，此時(shí)問(wèn)題就得到了解決，即豎式中遇到的2個(gè)百除以6，商不夠1個(gè)百，應(yīng)與十位的數(shù)合起來(lái)變成23個(gè)十再除，因此商也就應(yīng)寫在十位上。這本是三年級(jí)學(xué)生較難掌握的知識(shí)，但是本課讓學(xué)生經(jīng)歷了憑借在已有生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用“遷移”規(guī)律或“轉(zhuǎn)化”思想來(lái)學(xué)習(xí)新知，從而讓學(xué)生在直觀形象中理解算理、發(fā)展思維。

二、重比感悟，理解算理，優(yōu)化算法

算法優(yōu)化的過(guò)程是一個(gè)促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)反思、自我完善的過(guò)程。但要在教學(xué)中把握好度，不能為算法多樣化而多樣化，而應(yīng)讓學(xué)生在經(jīng)歷算法多樣化的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)知識(shí)內(nèi)涵的本質(zhì)，從而促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。教師要為學(xué)生提供足夠的時(shí)間和充分交流的機(jī)會(huì)，讓其深入討論，進(jìn)而去發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的算法，使之知其然更知其所以然，從而“悟出”屬于自己的最佳方法。

以教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)《多位數(shù)乘一位數(shù)》一課為例，筆者將教學(xué)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)為三層：利用表內(nèi)乘法口訣解決問(wèn)題—利用知識(shí)遷移掌握整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的方法—優(yōu)化類推出整百、整千數(shù)乘一位數(shù)的方法。教學(xué)時(shí)，筆者先讓學(xué)生計(jì)算2×9，再計(jì)算2×10，由于有了表內(nèi)乘法2×9=18，表示9個(gè)2是18，那么2×10=20，則表示10個(gè)2，也就是9個(gè)2加1個(gè)2就是18加2等于20。在經(jīng)歷從表內(nèi)乘法口訣幫助計(jì)算遷移掌握整十?dāng)?shù)乘一位數(shù)的方法，并理解了其算理后，筆者讓學(xué)生在用盡可能多的方法來(lái)獨(dú)立計(jì)算結(jié)果時(shí)，學(xué)生給出了很多種方法：10×2就把它看成10個(gè)2相加即2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=20；10×2就把它看成2個(gè)10相加即10+10=20；因?yàn)?×2=2，所以1個(gè)十×2個(gè)十，只要在2的后面加一個(gè)0就可以了，即答案為20。學(xué)生在這樣的主動(dòng)參與中思維得到了更好的發(fā)展，能力得到了更大的提高。此時(shí)，筆者引導(dǎo)學(xué)生將這些方法進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生選擇出自己最喜歡的計(jì)算方法并說(shuō)明理由。由于每種方法都是學(xué)生自己想出來(lái)的，所以大家都認(rèn)為自己的方法最好。這時(shí)，筆者沒(méi)有急于肯定或否定哪種計(jì)算方法，而是耐心等待。當(dāng)?shù)诙翁剿?0×3的計(jì)算方法時(shí)，由于有了上一題的成功體驗(yàn)，學(xué)生們都選擇自己認(rèn)為最好的方法計(jì)算，然而計(jì)算的正確率卻不盡如人意。隨著學(xué)生對(duì)算理的深入理解以及學(xué)習(xí)的層層深入，筆者適時(shí)結(jié)合實(shí)例，讓學(xué)生再次展開對(duì)比討論：怎樣計(jì)算既對(duì)又快？你喜歡哪種方法，為什么？讓學(xué)生感悟出每種口算方法都有各自的特點(diǎn)，但他們?cè)诓煌挠?jì)算中作用也不一樣，讓學(xué)生感受到計(jì)算方法多樣化的同時(shí)，又悟出了計(jì)算策略優(yōu)化的必然性，進(jìn)一步提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的含量。在多次這樣的計(jì)算教學(xué)后，筆者常常思考：學(xué)生的“算法多樣化”是老師“逼”出來(lái)的嗎？一定要出現(xiàn)多種算法才是一節(jié)成功的計(jì)算課嗎？其實(shí)不然，因?yàn)槔蠋熣{(diào)整了自己的教學(xué)模式，放手讓學(xué)生主動(dòng)探索算法的時(shí)候，往往會(huì)出現(xiàn)多種不同的算法，這是基于學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平和知識(shí)結(jié)構(gòu)等個(gè)性因素的結(jié)果。所以教師既不要畏懼課堂上出現(xiàn)的算法多樣化，也不要過(guò)度提倡算法多樣化，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)眾多算法進(jìn)行深入地探索并逐漸優(yōu)化。算法多樣化不是教學(xué)目的，關(guān)鍵是通過(guò)算法多樣化達(dá)到“追本溯源，存異求同”的目的。這一探索交流的過(guò)程，極大地豐富和發(fā)展了學(xué)生的各種思維表象，起到了積極地激發(fā)學(xué)生主動(dòng)優(yōu)化算法、感悟算理的目的。

三、靈活運(yùn)用，明晰算理，內(nèi)化算法

當(dāng)學(xué)生解決教材中的問(wèn)題后，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)。算法是學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上對(duì)適合自己的計(jì)算方法進(jìn)行總結(jié)，然后過(guò)渡到應(yīng)用環(huán)節(jié)。在教學(xué)實(shí)踐中算理與算法的有效結(jié)合，更應(yīng)注重計(jì)算法則的靈活應(yīng)用及內(nèi)化，即當(dāng)學(xué)生有了算理作基礎(chǔ)后，探究算法多樣化，還需要學(xué)生在眾多算法中選擇自己適用的方法或者常規(guī)的計(jì)算法則進(jìn)行再熟悉，以達(dá)到內(nèi)化的目的。

案例一：以三年級(jí)下冊(cè)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》一課教學(xué)為例，在本節(jié)課中，在學(xué)生學(xué)會(huì)了23×12的豎式計(jì)算后，對(duì)于第二步23×10=230，筆者并沒(méi)有讓學(xué)生直接寫成23，而是結(jié)合算理，讓學(xué)生想一想，23×10=230是23乘第2個(gè)乘數(shù)上的什么數(shù)，所以23×10可以理解成23×1個(gè)十=23個(gè)十，有了這樣的算理學(xué)習(xí)的幫助，學(xué)生可以進(jìn)一步理解這個(gè)初始的豎式，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的內(nèi)化吸收后，再讓學(xué)生運(yùn)用簡(jiǎn)化的豎式計(jì)算。有了前面的多重分析、對(duì)比、總結(jié)，學(xué)生在后續(xù)的練習(xí)中對(duì)兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式書寫有了更深刻的了解，在明晰算理中，內(nèi)化了算法。

案例二：以四年級(jí)上冊(cè)《四則運(yùn)算》為例，因?qū)W生之前有了萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的加減法計(jì)算的基礎(chǔ)，并在這節(jié)課中依托情境感受到了四則運(yùn)算的運(yùn)算順序的合理性，導(dǎo)致在練習(xí)中出現(xiàn)這樣一道題（364-36-164=？）時(shí)，讓學(xué)生在三種算法（見下面算式）中選擇一種算法時(shí)，學(xué)生都不約而同地選了最后一種算法，這正是學(xué)生對(duì)退位減法和進(jìn)位加法的算理和算法及四則運(yùn)算的運(yùn)算順序融會(huì)貫通后，對(duì)所學(xué)知識(shí)內(nèi)化后有了更合理、靈活的應(yīng)用。這正是新課標(biāo)提出的：在數(shù)的運(yùn)算教學(xué)中，不能僅僅關(guān)注于學(xué)生運(yùn)算技能的掌握，更要注重學(xué)生理解算理、掌握算法的學(xué)習(xí)過(guò)程，算理和算法的有效結(jié)合，促進(jìn)了小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)從會(huì)計(jì)算、能算得快轉(zhuǎn)變?yōu)椴皇菫橛?jì)算而計(jì)算學(xué)習(xí)，而是要將計(jì)算教學(xué)作為學(xué)生學(xué)習(xí)的介質(zhì)，通過(guò)學(xué)習(xí)，將知識(shí)內(nèi)化，最終達(dá)到：變“要我學(xué)”為“我要學(xué)”，由被動(dòng)到主動(dòng)；促教學(xué)方式的發(fā)展，由講授式變合作式，學(xué)生擁有自主的空間；促學(xué)習(xí)的目的發(fā)展，變單純的學(xué)習(xí)技能為學(xué)技能、促思維的發(fā)展。

364-36-64 364-36-64

=328-64 =364-64-36

=264 =300-36

=264

364-36-64

=364-（36+64）

=364-100

=264

“教無(wú)定法，貴在得法”。算理和算法是計(jì)算教學(xué)中一個(gè)有機(jī)整體，形式上可以分，實(shí)質(zhì)上是不可以分的，但在實(shí)際的教學(xué)中難免會(huì)顧此失彼。教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)依托新課標(biāo)，借助教材，在課堂教學(xué)中處理好算理和算法的關(guān)系，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常ぐl(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并引導(dǎo)學(xué)生感悟算理，活用算法，實(shí)現(xiàn)算理與算法的融會(huì)貫通，以促進(jìn)學(xué)生各方面能力的發(fā)展。

（責(zé)編 林 劍）