王應(yīng)標(biāo)

摘要：許多學(xué)生把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸結(jié)為死記硬背結(jié)論與陷在沒完沒了的計算中。這種對數(shù)學(xué)的偏見影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與自信心?？茖W(xué)史表明，數(shù)學(xué)美在科學(xué)探究中有“以美啟真”“以美審真”“以美悅心”“以美輔理”的作用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中彰顯數(shù)學(xué)美，可以增強(qiáng)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動機(jī)，讓學(xué)生更本質(zhì)更快樂地學(xué)好數(shù)學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中挖掘數(shù)學(xué)美，教師要有一顆易感之心，學(xué)生要有一只跳躍思維之膽，師生共同擁有一個美學(xué)之念。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)美；科學(xué)探究；啟示

中圖分類號：G623.2 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2017）05A-0072-04

一、問題的提出

學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與學(xué)習(xí)興趣，直接或間接影響著學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力，從而也影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。在當(dāng)前的應(yīng)試大環(huán)境下，諸多因素導(dǎo)致學(xué)生普遍對數(shù)學(xué)沒有太好印象?！皵?shù)學(xué)是法則與公式的集合，解數(shù)學(xué)題只是從一大堆他們學(xué)過的公式中，利用各種提示，找出適當(dāng)?shù)姆▌t代入數(shù)字加以應(yīng)用，最后得出答案?！盵1]“數(shù)學(xué)是數(shù)字與圖形的組合，以計算為主……是枯燥乏味、不得不學(xué)的深奧、神秘、高深的學(xué)問……”[2]這種把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歸結(jié)為只是死記硬背結(jié)論，總是陷在枯燥乏味計算中的偏見，極大地影響了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性與自信心。

事實上，從萌芽狀態(tài)的原始數(shù)學(xué)，到當(dāng)今五彩繽紛的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)美作為數(shù)學(xué)的重要內(nèi)涵，一直得到所有數(shù)學(xué)家的公認(rèn)。數(shù)學(xué)中存在美，對此沒有人持有異議。但在數(shù)學(xué)中哪些地方存在美，如何去感知數(shù)學(xué)美，不少學(xué)生依然朦朧和模糊。因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中彰顯數(shù)學(xué)美，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)美在科學(xué)探究中的重要作用，可以增強(qiáng)學(xué)生的內(nèi)部學(xué)習(xí)動機(jī)，消除數(shù)學(xué)給人帶來的枯燥乏味的壞印象以及高深莫測的神秘感。

然而，正如馬克思所說：“對于不懂音樂的耳朵，最美的音樂也沒有意義?！辈⒎侨巳硕加行蕾p數(shù)學(xué)美的能力。因為數(shù)學(xué)與音樂所表現(xiàn)的，都是一種脫離了具體的實物場景的高度抽象的對象，是“人類性靈最富于創(chuàng)造的產(chǎn)物”[3]。高度抽象的結(jié)果是大量的“下里巴人”總難領(lǐng)略其神韻，只有具備較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與數(shù)學(xué)領(lǐng)悟力的人，在數(shù)學(xué)研究中才可能有深入心竅的愉悅體驗。才能在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時于枯燥中感新奇，于平凡中見奇崛，才能時時被數(shù)學(xué)美所吸引而神與物游。

二、數(shù)學(xué)美在科學(xué)探究中的作用

（一）以美啟真

許多物理學(xué)家都把“符合數(shù)學(xué)美”作為他們研究物理規(guī)律、建立物理學(xué)理論的重要準(zhǔn)則，對數(shù)學(xué)美宗教般狂熱推崇，并在科學(xué)研究中以數(shù)學(xué)美導(dǎo)航，最終得以寫出劃時代的巨著。諾貝爾獎得主狄拉克在哈佛大學(xué)演講時說：“學(xué)物理的人用不著對物理方程的意義操心，只要關(guān)心物理方程的美就夠了?！盵4]這正是這位物理學(xué)巨匠科學(xué)研究中一貫遵循的信條，因為狄拉克恰恰就是在完全不考慮任何物理模型的情況下，直接從理論和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的制高點出發(fā)，得出了一個大大出乎他意料之外的狄拉克方程。同樣，科學(xué)巨匠牛頓一再聲稱自己是畢達(dá)哥拉斯的忠實信徒。因為畢氏學(xué)派以數(shù)字7為美，所以牛頓在做三棱鏡的色散實驗時，雖然開始只注意到5種顏色，他還是在沒有任何實驗證實情況下主觀加上了橙和青兩種顏色，為的是將顏色的總數(shù)湊足7種。[5]這是牛頓忠實于畢氏數(shù)學(xué)美觀念，“以美啟真”的又一個例證。

對平行線公理數(shù)學(xué)美的苛求，是非歐幾何創(chuàng)立的直接動因。我們知道，平行線公理的表述比起其它公理顯得冗長難懂，數(shù)學(xué)家認(rèn)為它不美。因此他們懷疑它不應(yīng)成為公理而應(yīng)是定理。但看似簡單的一個證明卻令“無數(shù)英雄競折腰”。2000多年來，數(shù)學(xué)家前赴后繼地努力但都無功而返。直到19世紀(jì)初葉經(jīng)高斯、波約、羅巴切夫斯基、黎曼等人的努力，問題才得以完滿解決，并由此創(chuàng)立了劃時代的偉大數(shù)學(xué)分支——非歐幾何。

科學(xué)史上的事例一再向我們昭示：從追求數(shù)學(xué)形式美、結(jié)構(gòu)美出發(fā)，卻常?？梢詫?dǎo)出科學(xué)理論真的結(jié)果。隨著科學(xué)數(shù)學(xué)化的加劇，數(shù)學(xué)美愈加成為科學(xué)探究中“以美啟真”的方法論準(zhǔn)則。

（二）以美審真

實踐是檢驗真理的標(biāo)準(zhǔn)，這無疑是馬克思主義的基本觀點，也是大多數(shù)科學(xué)家的信條。但科學(xué)的數(shù)學(xué)化，已使得許多理論像現(xiàn)代數(shù)學(xué)那樣朝著越來越抽象化的方向發(fā)展，其研究對象和結(jié)果在現(xiàn)實中往往找不到它的對應(yīng)物，無法回到實踐中去檢驗。故在科學(xué)認(rèn)識系統(tǒng)中，把實踐作為選擇、評價、檢驗科學(xué)理論及其真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)是不可能的，也是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。狄拉克認(rèn)為，有時候數(shù)學(xué)形式美要比理論與實驗相符合更重要，因為數(shù)學(xué)美與普遍的自然規(guī)律有關(guān)，而理論與實驗的符合則常常與一些具體的細(xì)節(jié)有關(guān)。[6]例如在愛因斯坦的廣義相對論中，大概沒有比時空彎曲更能挑戰(zhàn)公眾的想象力了，但不管他的理論多么讓人難以置信，愛因斯坦卻認(rèn)為肯定可以由日食時觀測證實。有人問：“如果觀測與您的理論不相符合，怎么辦？”愛因斯坦回答：“那我為上帝感到遺憾?！逼溲酝庵馐?，上帝怎能如此愚蠢，居然違背具有如此對稱美的理論來設(shè)計宇宙？[7]愛因斯坦僅僅憑借數(shù)學(xué)對稱美，就敢于大膽預(yù)測物理結(jié)果真。在這里我們看到了愛因斯坦“以美審真”的研究風(fēng)格及數(shù)學(xué)美給予愛因斯坦的超強(qiáng)霸氣?？茖W(xué)發(fā)展史表明，“以美審真”是科學(xué)家們共享的一條科學(xué)研究原則。

（三）以美悅心

匈牙利數(shù)學(xué)家雷尼說：“如果我感到憂傷，我會做數(shù)學(xué)變得快樂。如果我正快樂，我會做數(shù)學(xué)保持這種快樂。”[8]陳省身曾為少年兒童題詞“數(shù)學(xué)好玩”。的確，許多數(shù)學(xué)家終身癡迷于數(shù)學(xué)，與其說是功利心的驅(qū)使，毋寧說是因為數(shù)學(xué)美對他們的深深吸引力。彭加勒曾指出，科學(xué)家研究自然，并不是囿于有用性的動因，而是為比較深奧的理性美引起的樂悅所驅(qū)使，科學(xué)家之所以投身于長期而艱巨的勞動，也許為此緣故甚于為人類未來的福利。[9]

同時，許多數(shù)學(xué)理論往往要超越當(dāng)前現(xiàn)實數(shù)百年，才能在其它學(xué)科或數(shù)學(xué)學(xué)科中派上用場。例如古希臘人公元前4世紀(jì)就開始研究橢圓的性質(zhì)，他們不可能預(yù)感到2000年后會在開普勒的行星運行及牛頓的萬有引力中起作用。埃列·嘉當(dāng)1912年考慮了一個分析與幾何變換群，當(dāng)時除了它的非凡美感外，根本沒有想到它會在15年以后，用來解釋關(guān)于電子的若干現(xiàn)象。事實表明，純粹是思維的樂趣與美的召喚，才是支撐眾多數(shù)學(xué)家持之以恒鉆研數(shù)學(xué)的最深層動因。

另外，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與高度抽象性，日積月累在看不到成功前景的黑暗中摸索，朝夕面對缺乏生命原色的材料，長期繁重的腦力負(fù)擔(dān)使得數(shù)學(xué)家常與正常生活產(chǎn)生疏離，這一切容易導(dǎo)致數(shù)學(xué)家精神生活的單調(diào)與貧乏，甚至造成心理痼疾。[10] 而數(shù)學(xué)美則可以豐富他們的精神生活，緩解邏緝思維所致的情緒緊張，審美愉悅會使數(shù)學(xué)家產(chǎn)生一種類似游戲的體驗，使其身心趨向于一種更悠閑的境界。故數(shù)學(xué)美對他們可起到“以美悅心”的作用。

（四）以美輔理

科學(xué)發(fā)展史上徹底突破舊觀念的新思想，通常不是沿襲傳統(tǒng)的邏輯模式，對經(jīng)驗材料進(jìn)行概括、演繹與推理而得。彭加勒對此深有體會：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明?！盵11]例如，盧瑟福通過直覺想象力把原子世界看成巨大太空世界的摹制品，建立了原子的行星模型說；威爾遜受到大自然美景的觸發(fā)，直覺地構(gòu)建了威爾遜云室，這些理論的創(chuàng)立都得益于想象而非邏輯。再如非歐幾何的創(chuàng)立，在漫長的2000年時光中，無數(shù)數(shù)學(xué)家試圖用邏輯推理的方法去證明第五公設(shè)，結(jié)果都是徒勞。直到19世紀(jì)，一批思想敏銳的數(shù)學(xué)家意識到需要換一種思路。羅巴切夫斯基擺脫了邏輯思維的束縛，憑借自己的超凡想象力，構(gòu)建了一種全新的幾何體系——非歐幾何，它的創(chuàng)立不僅是數(shù)學(xué)史上的一座豐碑，而且引起了人類時空觀的一次重大變革。綜上可見，直覺力、想象力等形象思維在科學(xué)發(fā)明發(fā)現(xiàn)中占有重要地位，而數(shù)學(xué)美恰恰能在促進(jìn)人的形象思維方面發(fā)揮重大作用，邏輯則常常只是事后的補(bǔ)充完善。

三、數(shù)學(xué)美對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示意義

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅中，學(xué)生若能時常有美的感受與體驗，數(shù)學(xué)美在學(xué)生的學(xué)習(xí)中就同樣可起到“以美啟真”的作用，有效開發(fā)解題智慧；起到“以美審真”的作用，準(zhǔn)確篩選出思維路徑；起到“以美輔理”的作用，化抽象為直觀形象；起到“以美悅心”的作用，消除學(xué)生的焦慮與疲乏，快樂有趣地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。教學(xué)中教師要大力挖掘數(shù)學(xué)美，滲透數(shù)學(xué)美，培養(yǎng)學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)美，鑒賞數(shù)學(xué)美的能力。為此，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)需從如下幾方面努力。

（一）教師要有一顆易感之心

教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)美，首先要求教師有一顆易感之心。要能感受教材中無處不在的數(shù)學(xué)美，比如實數(shù)與數(shù)軸，復(fù)數(shù)與平面，平面上的點與有序?qū)崝?shù)對等，形與數(shù)的對稱美，三角誘導(dǎo)公式推導(dǎo)中的對稱美，奇偶函數(shù)圖像與性質(zhì)的對稱美，大量數(shù)學(xué)符號與其深刻寓意體現(xiàn)出的簡潔美，橢圓、雙曲線、拋物線用第二定義及用極坐標(biāo)公式表現(xiàn)出來的統(tǒng)一美等。其次要有文、史、哲等方面的初步修養(yǎng)，對教材內(nèi)容除能用演繹方式闡述外，還能從文學(xué)與藝術(shù)的視角來幫助學(xué)生展開詩人般的想象，因為只有教師自己對數(shù)學(xué)的形式美、結(jié)構(gòu)美、思維美深有感觸，才能將這種感發(fā)的力量傳遞給學(xué)生。再比如，教師恰當(dāng)?shù)剡\用詩歌，可將數(shù)學(xué)的抽象語言化為鮮明生動的形象化語言，讓學(xué)生的思維文理合流，培養(yǎng)其形象思維力。例如在得出正弦函數(shù)y=sinx的圖象后，來一句感嘆：這可真是“風(fēng)乍起，吹皺一池春水”啊！講完y=sinx 的圖象，引用杜甫的“天地一沙鷗”抒發(fā)其圖象之美……通過數(shù)學(xué)與文學(xué)的交相輝映，數(shù)學(xué)課不再是枯燥乏味的演算與記憶，而將散發(fā)出詩歌形象美與數(shù)學(xué)內(nèi)涵美的獨特魅力，達(dá)到“以美悅心”的教學(xué)效果。再如，對一些司空見慣的教學(xué)內(nèi)容，要能用數(shù)學(xué)美的眼光予以揭示。

例如，推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時，教師可以提出下列問題串。

（1）不去根號是不是橢圓方程？（2）為什么要去根號？（3）為什么要把一個根號移到等號另一邊？（4）為什么要令a2-c2=b2。

這些問題，其實無它，都是源于簡潔美與對稱美的追求。再比如對已知條件的刪繁就簡，對例題解法的不斷改進(jìn)（追求思維與過程的簡潔美），對形異質(zhì)同題目的歸納與本質(zhì)揭示（追求抽象與統(tǒng)一美）等。當(dāng)教師習(xí)慣于對教材上的諸多細(xì)節(jié)向?qū)W生刨根問底，學(xué)生就能發(fā)現(xiàn)“以美啟真”“以美審真”在數(shù)學(xué)研究中的普適有效，就會悟出先前諸多莫名其妙的規(guī)定，原來都是源于對數(shù)學(xué)美的追求。就會感嘆原來數(shù)學(xué)并非深奧、神秘，而是講推理更講道理的。

（二）學(xué)生要有一只跳躍思維之膽

形象思維與創(chuàng)新思維關(guān)系密切，故不僅要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，也要讓學(xué)生經(jīng)歷先猜后證的數(shù)學(xué)，類比的、歸納的數(shù)學(xué)。例如對于楊輝三角形的直觀觀察，可以推出許多組合恒等式。教師教學(xué)時可以多留出時間，讓學(xué)生獨立分析與思考，學(xué)生就會琢磨出先觀察（a+b）n在n=2，3，4，5展開式的每一項特征，再歸納概括，猜想出若干恒等式，然后讓學(xué)生先猜后證。

再如，設(shè)xyz∈R+且 試求xy+2yz+3zx的值[12]

若按常規(guī)方法計算xy+2yz+3zx的值，繁瑣單調(diào)。讓學(xué)生觀察三個式子充分發(fā)揮想象，由②式不難聯(lián)想到勾股定理，由①，③聯(lián)想到余弦定理，我們就可巧妙地構(gòu)造△ABC，其中一點P滿足∠APC=120°，∠BPC=150°，∠APB=90°，且PC=x，PA=z，PB=，由條件易得AB=3，AC=4，BC=5，從而S△ABC=S△APB+S△APC+S△BPC=（xy+2yz+3zx）=6，故xy+2yz+3yz=24

心中沒有對數(shù)學(xué)美的執(zhí)念，本題便只能按部就班地陷入繁瑣計算中，是“以美啟真”與“以美審真”的觀念誘發(fā)了我們的解題靈感，從而促使我們尋覓到這一漂亮解法。

（三）師生要共同擁有一個美學(xué)之念

一方面數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，另一方面數(shù)學(xué)也是一門藝術(shù)。這門“高尚的藝術(shù)”表現(xiàn)為一種“至高無上”“冷而嚴(yán)肅”的美，是“潛藏在感性美之后的理性美”。它的花朵只開放在抽象思維領(lǐng)域，它的形式是由邏輯的彩帶編織而成。數(shù)學(xué)給人的感覺是一種冰冷的美麗。要把數(shù)學(xué)冰冷的美麗化為師生火熱的思考，教師需在長期的教學(xué)中，持之以恒、堅持不懈地挖掘強(qiáng)化數(shù)學(xué)美。通過追問、反思等行為，揭示數(shù)學(xué)美是一些技能行為背后的真正動因。同時學(xué)生在學(xué)習(xí)中，尤其在思維的岔路口要用“以美啟真”“以美審真”支配自己的思維活動，養(yǎng)成在問題解決過程中用數(shù)學(xué)美的眼光作一番定奪取舍的習(xí)慣。日積月累下來，解題能力、思維水平的提升就會不求而至、不為而成。數(shù)學(xué)美在科學(xué)探究中的作用已充分說明了這一點。

數(shù)學(xué)教育如果沒有美育，只剩下技巧、分?jǐn)?shù)，學(xué)生就只有題海之苦，沒有探秘尋幽之樂，這樣的學(xué)生就只能是做題的機(jī)器，永遠(yuǎn)不能成為大師。

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責(zé)任編輯：石萍