王運(yùn)行

【摘要】在中學(xué)數(shù)學(xué)中，構(gòu)造法在技巧與方法中占據(jù)著非常重要的地位，它可以起到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的作用，將中學(xué)數(shù)學(xué)中的技巧性展示的淋漓盡致。下面筆者將從一些常見的數(shù)學(xué)問題中來(lái)闡述構(gòu)造法的具體應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造；轉(zhuǎn)化；中學(xué)數(shù)學(xué)解題應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）15-0277-02

所謂構(gòu)造法就是當(dāng)解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)按照定向思維思考難以解決問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征、性質(zhì)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)符合滿足條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，從而使原問題中隱含的關(guān)系和性質(zhì)在新構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象中清晰地展現(xiàn)出來(lái)，并借助該數(shù)學(xué)對(duì)象方便快捷地解決數(shù)學(xué)問題的方法。它在數(shù)學(xué)中可以起到“柳暗花明又一村”的作用，體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)造型思維，也可以反映出學(xué)生對(duì)于條件的理解和發(fā)掘。構(gòu)造法在數(shù)學(xué)中有著非常廣泛的應(yīng)用，無(wú)論是代數(shù)還是幾何，都可以構(gòu)造出合適的數(shù)學(xué)對(duì)象以達(dá)到解決問題的目的，所以熟練運(yùn)用構(gòu)造法解決問題非常重要。下面筆者將從一些常見的數(shù)學(xué)問題中來(lái)闡述構(gòu)造法的具體應(yīng)用。

一、構(gòu)造空間圖形求三棱錐的外接球半徑

題目1 在半徑為R的球面上由不共面的四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，且AB=CD=x，BC=DA=y，CA=BD=z，x2+y2+z2=8，求R.

解析：由條件可知該三棱錐的四個(gè)面的三角形全等，可在長(zhǎng)方體中構(gòu)造出該三棱錐（圖1），則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線為三棱錐的外接球的直徑，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為a，b，c，則有：

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造幾何模型是求三棱錐外接球的常見方法，在該題中，因?yàn)樗膫€(gè)面全等，若三邊分別為x，y，z，則可直接計(jì)算出外接球的半徑為：

二、構(gòu)造基底向量求夾角問題

題目8 已知S-ABC為正四面體，棱長(zhǎng)為a，D為SB的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，求異面直線AD與SE所成角的余弦值。

解析：將作為空間基底向量，則：

故異面直線所成角的余弦值為：

點(diǎn)評(píng)：在求異面直線的夾角問題中，常見方法是將異面直線轉(zhuǎn)化為共面直線求夾角，在該題中巧妙的利用基底向量減避免轉(zhuǎn)化為共面向量繁瑣的平移過(guò)程。

三、構(gòu)造線性規(guī)劃求幾何概型

題目9 某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30到7：50之間到校，且每人在該時(shí)間段的任何時(shí)刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為？

解析：設(shè)小張與小王到校的時(shí)刻與7：30的差值分別為x，y分鐘，則：，則有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）的所有可能的點(diǎn)為圖3所示邊長(zhǎng)為20的正方形，因小張比小王至少早5分鐘，則：如圖3所示陰影部分，則小張比小王早五分鐘的概率為：

點(diǎn)評(píng)：該題屬于幾何概型中的經(jīng)典題型，將概率問題通過(guò)不等式轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，將抽象問題具體化。

四、構(gòu)造基本不等式求最值問題

題目4 已知a>b>c，求使得：恒成立的實(shí)數(shù)k的最大值；

解析：

（當(dāng)且僅當(dāng)a+c=2b時(shí)“=”成立）

恒成立。

點(diǎn)評(píng)：在該題目中所采用的構(gòu)造法為“1的妙用”，屬于解決基本不等式問題的長(zhǎng)江方法。

五、構(gòu)造抽象函數(shù)解不等式

題目5 設(shè)函數(shù)在R上的導(dǎo)函數(shù)為，對(duì)有，在上，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是？

解析：通過(guò)變式可得到

構(gòu)造函數(shù)，故為奇函數(shù)當(dāng)x>0時(shí)，

故是定義在R上的增函數(shù)。

由函數(shù)的單調(diào)性可知：

點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造抽象函數(shù)這一考點(diǎn)在高考中常以選擇題壓軸題的形式出現(xiàn)，考法較為固定，常見的形式有：

六、構(gòu)造三角函數(shù)求最值

題目6 求的最大值。

解析：令

最大值為，當(dāng)時(shí)取得，此時(shí)

點(diǎn)評(píng)：在該題將一求最值問題通過(guò)構(gòu)造，變?yōu)榱饲笕呛瘮?shù)的最值問題，將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

七、構(gòu)造函數(shù)比較不等式的大小

題目7 已知函數(shù)在（1，+∞）上是增函數(shù)，且a>0。

若b>0，試證明

證明：若要證明該不等式可分為兩部分：

先證明：，再證明：

在這里第二部分的解法用到了構(gòu)造法，具體解法如下：

將該不等式化簡(jiǎn)后即證：

令，即證：即證：

設(shè)恒成立

故

點(diǎn)評(píng)：在該題中通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式證明了不等式，難點(diǎn)在于首先利用換元法構(gòu)造出了新函數(shù)的自變量，將證明問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題是此類問題的常見解法。

八、構(gòu)造方程求最值問題

題目8 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最大值。

解析：令，則y=mx，帶入已知等式并整理得：

解得的最大值為.

點(diǎn)評(píng)：在該題目中，通過(guò)構(gòu)造法，將求最值問題轉(zhuǎn)化為了二次方程的存根問題，利用存根公式，快速的求出了原式的最值

九、構(gòu)造幾何模型求代數(shù)問題

題目9 函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

解析：，則

點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線上，于是由雙曲線的定義可知，即-1

點(diǎn)評(píng)：代數(shù)式以及函數(shù)的幾何意義是現(xiàn)在高考中的?？键c(diǎn)，常見的考點(diǎn)還有例如在線性規(guī)劃問題中求的取值范圍。

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