孫向東

[摘? 要] 思維能力培養(yǎng)是核心素養(yǎng)的有機(jī)組成部分之一，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一. 文章通過一題多解、一題多變、多題一解的教學(xué)模式，開拓學(xué)生思維，培養(yǎng)其探求新知的創(chuàng)新精神.

[關(guān)鍵詞] 一題多解;一題多變;多題一解;發(fā)散性思維;創(chuàng)造性思維;收斂性思維

思維能力培養(yǎng)是核心素養(yǎng)的有機(jī)組成部分之一，高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，這也是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一. 在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)解決問題時(shí)，學(xué)生不斷地歷經(jīng)直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象概括、數(shù)據(jù)處理等思維過程. 這些過程體現(xiàn)了具體的數(shù)學(xué)思維能力，有助于學(xué)生對客觀事物中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和判斷. 那么，如何才能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率呢？

提倡一題多解，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力

一題多解可以使學(xué)生在條件和問題不變的情況下，多角度、多側(cè)面地分析思考，探求不同的解題途徑. 一題多解的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維. 它可以通過縱橫發(fā)散使知識串聯(lián)，達(dá)到舉一反三、融會貫通;也可以通過比較各種思維方法，獲得一種最簡潔、最科學(xué)的方案與結(jié)果.

一題多解可以鞏固學(xué)生知識，訓(xùn)練學(xué)生思維，開闊學(xué)生視野[1]. 一題多解教學(xué)模式點(diǎn)燃了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激勵(lì)學(xué)生深入鉆研. 具體的課堂表現(xiàn)是，我們總會在講完一道題目后，習(xí)慣性地問一句“哪位同學(xué)還有其他解法？”這樣就給學(xué)生創(chuàng)造了思考、探究、呈現(xiàn)自己思維的機(jī)會，往往有些學(xué)生針對一些題目會有奇思妙想，有利于讓他們通過展示自我形成一種積極思考的氛圍. 這樣一來，學(xué)生可以從多角度去思考問題，使知識點(diǎn)之間建立聯(lián)系，無形中形成知識的串聯(lián)與網(wǎng)絡(luò)，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，也加深學(xué)生對相關(guān)知識的理解，也就達(dá)到我們教學(xué)的最終目標(biāo).

記得剛工作時(shí)，聽過一位名師的數(shù)學(xué)課，那節(jié)課他采用了一題多解的教學(xué)模式，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，課堂氣氛非?；钴S，很多學(xué)生從不同的角度去思考問題，得到了一些非常新穎的解法，深受在場師生的贊同與好評. 那節(jié)課筆者記憶猶新，這么多年過去了還會時(shí)常浮現(xiàn)在眼前. 前段時(shí)間在高三模擬考中有一道題，筆者也嘗試了用一題多解的模式來講評，雖說一節(jié)課就講了一道題，但學(xué)生情緒高漲，思維活躍. 筆者自認(rèn)為這是一節(jié)非常成功的習(xí)題課. 此題及學(xué)生的解法歸納如下：

例：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2-y2=1，則2x-y的最小值為___________.

解法1：用幾何性質(zhì)求解.

評析：構(gòu)造雙曲線上的點(diǎn)到直線2x-y=0的距離的最小值問題. 在雙曲線某點(diǎn)處作切線，當(dāng)此切線與直線2x-y=0平行時(shí)，切點(diǎn)到直線2x-y=0的距離最小，便可求解. 此方法求解比較簡單，但構(gòu)造和求導(dǎo)對一般學(xué)生來說比較復(fù)雜.

解法2：用基本不等式求解.

評析：由x2-y2=1得（x+y）（x-y）=1，由它們的積是定值而想到使用基本不等式，從而通過換元構(gòu)造基本不等式的條件便可求解. 此方法比較難想到，一旦想到用平方差公式將左式化成兩個(gè)數(shù)的積是定值，計(jì)算過程將會很簡單.

解法3：用三角代換法求解.

解法4：用方程的思想方法求解.

評析：令2x-y=z后，將此函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程有解問題，根據(jù)一元二次方程有解所滿足的條件為Δ≥0便可得解. 此方法充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想方法的妙處，思路清晰簡潔，更便于學(xué)生理解和掌握.

解法5：利用線性規(guī)劃求最優(yōu)解的方法求解.

評析：此題可抽象出二元一次方程組，運(yùn)用線性規(guī)劃知識求最優(yōu)解來加以解決. 此法雖然相對麻煩，但體現(xiàn)了函數(shù)與方程、不等式組與線性規(guī)劃求最優(yōu)解的思想.

解法6：利用函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得最值的方法求解.

評析：x2-y2=1雖然不能進(jìn)行統(tǒng)一的研究，但可以通過對研究對象進(jìn)行分類討論而求解，把2x-y轉(zhuǎn)化成關(guān)于y的函數(shù)問題，借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值. 此方法也較麻煩，但它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)當(dāng)中函數(shù)求導(dǎo)來求最值的基本方法.

學(xué)生還提出了一些與以上某些方法類似但不完全相同的方法，限于篇幅，筆者選擇了以上六種解法與各位同行們一起分享，解題過程從略. 這道題體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性和多樣性. 用到的數(shù)學(xué)思想方法有：轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程. 這四種常用的數(shù)學(xué)思想方法通過一道小小的填空題完全體現(xiàn)出來. 當(dāng)然，并不是每一道題都要用這么多的方法求解，而我們也應(yīng)在這眾多的方法中挑選最適合自己的一兩種方法來求解. 此題筆者認(rèn)為解法4最簡潔明了.

再例如， 已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題

解法1：運(yùn)用向量加減法的幾何意義，即平行四邊形法則或三角形法則，再根據(jù)余弦定理便可求出θ的取值范圍.

解法3：用向量的幾何意義，但最重要的是根據(jù)三角形當(dāng)中大邊對大角的性質(zhì)求解，過程非常簡單，思路清楚，計(jì)算量較小，是一種較優(yōu)的求解方法.

總之，一題多解，給教師和學(xué)生提供了一個(gè)很好的相互交流的平臺. 教學(xué)中，適宜地進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練，不僅可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極性，提高學(xué)生綜合運(yùn)用已學(xué)知識解答數(shù)學(xué)問題的技能和技巧;而且利于鍛煉學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)學(xué)生知識與智慧的增長.

加強(qiáng)一題多變，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力

一題多變，就是改變題目中的某些條件或把題目中的結(jié)論與題設(shè)交換，或再加上一些條件等，進(jìn)行新的求解. 一題多變，可深化對數(shù)學(xué)概念、公式、定理、公理的理解與應(yīng)用，有效地提高思維的敏捷性、應(yīng)變性、發(fā)散性、創(chuàng)造性等. 一題多變的教學(xué)可以使一題多用，多題組合，給人以新鮮感，喚起學(xué)生的好奇心和求知欲. 所以教師在教學(xué)過程中不應(yīng)只滿足于例題的演示，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生去探求“變異”的結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

牛頓說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn). ”中學(xué)生的想象力豐富，因此，可以通過例（習(xí)）題所提供的結(jié)構(gòu)特征，鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生大膽猜想，以培學(xué)生的創(chuàng)造性思維. 對一道題進(jìn)行變式訓(xùn)練，不僅可以克服思維定式，培養(yǎng)創(chuàng)造性的思維能力，而且有利于掌握某一類問題的解法，鍛煉舉一反三的能力，從而提高學(xué)習(xí)效率.

數(shù)學(xué)中的一題多變能夠體現(xiàn)知識的一定規(guī)律和一定關(guān)聯(lián)，便于學(xué)生思考問題時(shí)思路的發(fā)展. 題目的相同、相近、相似可以培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，了解數(shù)學(xué)從簡單到復(fù)雜，從一般到特殊的探索規(guī)律. 再用不同的思路去分析，不僅使得學(xué)生對問題的思考由淺入深，而且極大地鍛煉學(xué)生類推能力和歸納能力. 例如在浙江省某市高三復(fù)習(xí)交流會中，有位老師就采取了一題多變的教學(xué)模式. 題目設(shè)計(jì)如下：

以上題目都是由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，設(shè)計(jì)由淺入深，一般到特殊，符合學(xué)生的認(rèn)知能力和思維能力. 歸納總結(jié)可為以下幾種方法：

課堂效果非常好，堪稱一堂不錯(cuò)的交流課.

總之，通過一題多變啟發(fā)式教學(xué)，體現(xiàn)了新的課程標(biāo)準(zhǔn)所強(qiáng)調(diào)的，“教師要讓學(xué)生感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程;啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為再創(chuàng)造、再發(fā)現(xiàn)的過程. ”教會學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題的方法，為提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力提供了有效的途徑.

注重多題一解，培養(yǎng)學(xué)生收斂性思維能力

多題一解，指的是在習(xí)題處理時(shí)，幫助和引導(dǎo)學(xué)生對所做的習(xí)題進(jìn)行歸納總結(jié)，分類比較，發(fā)現(xiàn)題目的通性，進(jìn)而形成解決問題的通法. 學(xué)生自己做題時(shí)，往往做不到自主地去總結(jié)歸納，就知道做題，結(jié)果是相同題目或者相近題目反復(fù)做，效率低下，做了好多無效學(xué)習(xí)的事情. 所以作為教師，在平時(shí)的練習(xí)中要有意識地幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的總結(jié)歸納的習(xí)慣，比如做題時(shí)讓學(xué)生分析題目所考查的知識點(diǎn)，用的是什么方法解決的，做過的典型題目中哪些也用到了這種方法，并讓他們試著找出相同類型的題目，比較一下這些題目之間的區(qū)別和聯(lián)系，以及題目解法的相同點(diǎn)是什么等等，逐步培養(yǎng)他們學(xué)會自己去提煉數(shù)學(xué)思想和方法的能力.

多題一解是培養(yǎng)學(xué)生收斂性思維的一種綜合歸納的思維方式[2]. 它可使學(xué)生對所學(xué)的內(nèi)容更加感興趣，感到一切新問題都是可以通過轉(zhuǎn)化成已經(jīng)解決的問題來達(dá)到目的的. 例如在高三復(fù)習(xí)過程中所發(fā)現(xiàn)的多題一解如下：

例1：在平面幾何中有命題“正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊距離之和是一個(gè)定值”，那么在正四面體中類似的命題是什么？

答：正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和是一個(gè)定值. （可用等體積法加以證明，此定值即為正四面體的高.）

例2：正四面體ABCD的棱長為1，E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)E到邊AB，BC，CA的距離之和為x，點(diǎn)E到平面DAB，DBC，DCA的距離之和為y，則x2-y2等于_____.

例3：已知正三棱錐S-ABC，若點(diǎn)P是底面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且P到三棱錐S-ABC的側(cè)面SAB、側(cè)面SBC、側(cè)面SAC的距離依次成等差數(shù)列，則點(diǎn)P的軌跡是（? ）

A. 一條直線的一部分

B. 橢圓的一部分

C. 圓的一部分

D. 拋物線的一部分

第一題是類比推理，第二題是求代數(shù)式值，第三題是求點(diǎn)的軌跡問題. 這三題表面上看起來風(fēng)馬牛不相及，但實(shí)質(zhì)上考的是同一個(gè)知識點(diǎn)，都是第一題的結(jié)論. 但對學(xué)生來說，沒有扎實(shí)的基本功和發(fā)散的思維能力很難把他們回歸為一類問題. 后兩題均為某年浙江省名校聯(lián)考試卷中的壓軸題，一題為填空題的最后一題，一題為選擇題的最后一題. 從這兩次的考試結(jié)果來看這兩題的得分率都很低，大部分學(xué)生都不知道從何入手，不知此題考查哪個(gè)知識點(diǎn). 類似多題一解的例子很多，舉不勝舉.

總而言之，多題一解是一種培養(yǎng)學(xué)生收斂性思維的綜合歸納的思維方式. 學(xué)生在做了同一知識點(diǎn)的許多習(xí)題后，可以加以梳理、歸納、提煉、異中求同，從而揭開不同習(xí)題的表面現(xiàn)象，挖掘它們的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，以達(dá)到數(shù)學(xué)知識的變通性、規(guī)律性和發(fā)展性，從而使學(xué)生脫離題海戰(zhàn)，獲得事半功倍的效果.

當(dāng)今，數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)是核心素養(yǎng)的有機(jī)組成部分之一，學(xué)生的創(chuàng)造精神和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)是中學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革的重要趨勢之一，也是新時(shí)期現(xiàn)代化建設(shè)的需要. 因此，我們在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)根據(jù)教材的內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)一些培養(yǎng)發(fā)散性思維、創(chuàng)造性思維、收斂性思維的習(xí)題. 通過一題多解、一題多變、多題一解對學(xué)生進(jìn)行思維能力的訓(xùn)練，使其在靈活掌握各知識點(diǎn)的同時(shí)，也達(dá)到知識遷移和巧解巧算之目的，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的高效性.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 呂增峰. “一題多解”是“亮點(diǎn)”還是“敗筆”[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（10）.

[2]? 倪春雷. 一題多解與多題一解[J]. 新課程（中學(xué)），2011（10）.