楊曉潔

[摘? 要] 多元表征理論的內(nèi)涵實(shí)際是指的一種學(xué)習(xí)原則，它是指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，不應(yīng)該讓學(xué)生的認(rèn)知只停留于表面特征，而應(yīng)該是一種結(jié)合了動(dòng)作、聽(tīng)覺(jué)、視覺(jué)，進(jìn)入深度學(xué)習(xí)狀態(tài)的“思維運(yùn)動(dòng)”. 文章以高中數(shù)學(xué)“等差數(shù)列”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，深入解析多元化表征理論在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐.

[關(guān)鍵詞] 多元表征;高中數(shù)學(xué);等差數(shù)列;實(shí)踐

最早源于迪因斯所提出的“多元具體化原則”的數(shù)學(xué)多元表征，在經(jīng)過(guò)了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家以及教育家的實(shí)踐與驗(yàn)證后，仍舊沒(méi)有一個(gè)比較清晰且詳細(xì)的概念定義，但對(duì)于它的基本含義目前已經(jīng)達(dá)成共識(shí). 數(shù)學(xué)多元表征簡(jiǎn)言之，是指數(shù)學(xué)表現(xiàn)出的語(yǔ)言化、視覺(jué)化等多種不同本質(zhì)的表征，數(shù)學(xué)這些多元化表征是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)載體，也是一種方法. 如果將數(shù)學(xué)這些多元表征具象化和概括化，可以分為動(dòng)作、肖像和符號(hào). 動(dòng)作表征是指數(shù)學(xué)操作特征;肖像表征是指數(shù)學(xué)文字表面特征;符號(hào)表征是指數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵與本質(zhì). 目前存在于高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題是，教育者容易側(cè)重于某一表征的學(xué)習(xí)，有的重表面理論講解輕實(shí)踐;有的重操作卻不與數(shù)學(xué)本質(zhì)相聯(lián)系;有的忽視動(dòng)作表征與肖像表征的經(jīng)歷過(guò)程，而直接進(jìn)入相對(duì)較為抽象的數(shù)學(xué)核心......不同表征代表著不同程度的思維活動(dòng)，只有將三種表征融于一體實(shí)施教學(xué)，才能夠?qū)崿F(xiàn)多元表征的深度學(xué)習(xí). 本文以“等差數(shù)列”教學(xué)過(guò)程為例，對(duì)基于多元表征原則下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行深入研究.

多元表征下“等差數(shù)列”教學(xué)設(shè)計(jì)與過(guò)程

等差數(shù)列是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5的內(nèi)容，它是等比數(shù)列的基礎(chǔ)，也是高考重點(diǎn)內(nèi)容. 等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中被廣泛應(yīng)用，是培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的最佳素材. 等差數(shù)列是引導(dǎo)高中生開(kāi)始對(duì)特殊數(shù)列進(jìn)行探究的起始課，在學(xué)生對(duì)數(shù)列進(jìn)行后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)，在知識(shí)與方法上均有著促進(jìn)作用. 高中生在此階段，數(shù)學(xué)概括力與分析力均已具備，對(duì)于數(shù)列也并不完全陌生，并具備了一定的運(yùn)用數(shù)學(xué)公式的技能，思維開(kāi)始從經(jīng)驗(yàn)性向抽象性發(fā)展，但對(duì)于抽象邏輯關(guān)系的理解還需要借助必要的具象材料. 基于此，為了實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)多元表征的融合，本課通過(guò)情境創(chuàng)建（肖像表征）、多媒體輔助教學(xué)（動(dòng)作表征）和自主探究（符號(hào)表征）等多種教學(xué)方法和教學(xué)形式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維上的深層次參與. 具體教學(xué)過(guò)程如下：

1. 創(chuàng)建問(wèn)題情境

師：一起看視頻.

視頻1：2008年北京奧運(yùn)會(huì)女子舉重回放. 女子舉重按體重設(shè)置了七個(gè)級(jí)別，較輕的四個(gè)級(jí)別分別是48，53，58，63.

視頻2：為了保持水庫(kù)里的魚(yú)享有良好環(huán)境，管理員通過(guò)定期放水清理水庫(kù). 某水庫(kù)水位是18米，每天自然放水使水位下降2.5米，最低降到5米. 自放水第一天到能夠進(jìn)行清理的時(shí)間，每天水庫(kù)水位的數(shù)為18，15.5，13，10.5，8，5.5.

師：大家想一想這些數(shù)據(jù)說(shuō)明了什么問(wèn)題，每行數(shù)是否存在共同點(diǎn)？

繪制表格，并啟發(fā)：大家可不可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)表格中每行的數(shù)所具有的共同特征進(jìn)行描述？

（設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)視頻充分說(shuō)明數(shù)學(xué)與生活具有緊密的聯(lián)系，生活中有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活. 從生活中抽離出數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是從肖像表征向符號(hào)表征過(guò)渡，揭示該數(shù)學(xué)研究的本質(zhì)是數(shù)，因此拋開(kāi)情境背景，以表格的形式抽象出此數(shù)列的特征. ）

生：后一項(xiàng)和前一項(xiàng)差是常數(shù).

這時(shí)老師通過(guò)幾組反例加深學(xué)生對(duì)數(shù)列共同特征“同一常數(shù)，從第二項(xiàng)起”的深刻理解.

師：現(xiàn)在可不可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表述一下？

生：an-an+1=d.

師：是否等價(jià)？

生：應(yīng)該加上“d是常數(shù)”，n≥2，n∈N*.

師：非常好，那么在生活中有沒(méi)有其他具有此特征的數(shù)列的例子？

生：成年女性的鞋碼是21，21.5，22， 22.5，23，23.5，24，24.5，25.

......

師：的確，有很多具有這種特征的數(shù)列，我們可以給它起個(gè)什么樣的名字？

生：等差數(shù)列.

師：我們?cè)倩氐絼偛诺谋砀?，?jì)算一下它們的公差？有沒(méi)有好的辦法把數(shù)列中的數(shù)統(tǒng)一起來(lái)？

生：如果可以求出通項(xiàng)公式，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了.

2. 多媒體進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)

師：如果一個(gè)數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，那么的通項(xiàng)公式是什么？

生1：（通過(guò)計(jì)算得出了）an=a1+（n-1）d.

師：歸納是從第幾項(xiàng)開(kāi)始的？

生1：第2項(xiàng)，因此n≥2.

師：如果n等于1呢？

生1：同樣成立，所以等差數(shù)列通項(xiàng)公式是“an=a1+（n-1）d（n∈N*）”.

師：非常棒，那么是不是還存在別的推導(dǎo)方法？

生2用迭代法進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)演示，并得出結(jié)論.

老師將該學(xué)生推導(dǎo)過(guò)程通過(guò)多媒體進(jìn)行再現(xiàn)，并引導(dǎo)學(xué)生按此思路嘗試尋找到更多方法. 學(xué)生均感到有些困難，這時(shí)進(jìn)行啟發(fā)：看看第一個(gè)方法中第一個(gè)式子，是不是可以找到什么規(guī)律？

生3：還可以采用累加……

老師對(duì)通項(xiàng)公式推導(dǎo)方法進(jìn)行總結(jié)，并歸納它們的共同特點(diǎn)，加深學(xué)生印象.

3. 應(yīng)用探究

多媒體出示例題，讓學(xué)生選出代表進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)講解.

例題1：求等差數(shù)列“8，5，2，…”第20項(xiàng);“-401”是不是等差數(shù)列“-5，-9，-13，…”中的一項(xiàng)，如果是，它是第幾項(xiàng)？

例題2：假設(shè)數(shù)列通項(xiàng)公式是“an=pn+q”，且p和q為常數(shù)，p≠0，那么是否能判斷該數(shù)列為等差數(shù)列？如果是，公差和首項(xiàng)是什么？

師：大家剛才講解得很好，現(xiàn)在再仔細(xì)觀察數(shù)列通項(xiàng)公式，是否感覺(jué)它有些熟悉，與我們之前學(xué)過(guò)的一些內(nèi)容相似，大家想到了什么？

很自然地引出一次函數(shù).

師：通過(guò)一次函數(shù)圖像特點(diǎn)，是不是也可以將等差數(shù)列圖像作出來(lái)？

鼓勵(lì)學(xué)生用幾何畫(huà)板進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)繪制. 最后通過(guò)多媒體播放幻燈片：“一次函數(shù)‘y=px+q和等差數(shù)列‘a(chǎn)n=pn+q的比較”，讓學(xué)生進(jìn)行直觀觀察.

4. 總結(jié)和作業(yè)布置

師：嘗試用語(yǔ)言描述一下你今天的所學(xué).

不限制標(biāo)準(zhǔn)答案，主要調(diào)動(dòng)學(xué)生的參與性，有回答不完整的可以讓其他人幫助補(bǔ)充，從而鍛煉學(xué)生歸納、概括以及表達(dá)能力，同時(shí)用多媒體將學(xué)生的歸納用表格形式呈現(xiàn)出來(lái). 最后布置作業(yè)，作業(yè)分必答和選答，必答作業(yè)為閱讀和書(shū)面作業(yè)，選答作業(yè)是一道“彈性作業(yè)”：從等差數(shù)列定義中是否可以推導(dǎo)出“等和數(shù)列”，它會(huì)有怎樣的定義和性質(zhì)？

多元表征下高中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的實(shí)踐反思

在問(wèn)題情境的引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主開(kāi)展探究，給高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了多樣化選擇，這對(duì)于幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)表面特征走向深層次的本質(zhì)內(nèi)涵有著重要的促進(jìn)作用. 在問(wèn)題情境的“催發(fā)”下，學(xué)生的探究心理更加強(qiáng)烈，參與度也很高. 在探究過(guò)程中會(huì)積極地進(jìn)行觀察、猜想和推理，這使知識(shí)構(gòu)建與知識(shí)理解的過(guò)程更加主動(dòng).

數(shù)學(xué)教學(xué)中，最主要的是教會(huì)學(xué)生在遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)應(yīng)該采取怎樣的思維方式，以及如何找到有效的解決方法. 多元表征背景下的教學(xué)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)運(yùn)用猜想、歸納等數(shù)學(xué)思想方法去自主探究問(wèn)題解決的方法與途徑，是數(shù)學(xué)思想方法的一種自然滲透，也是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.

讓多媒體走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂，是將數(shù)學(xué)多元化表征最直觀地展現(xiàn)于學(xué)生面前的最佳方法，愉快而輕松的動(dòng)感演示，讓抽象的表征變得形象豐富，調(diào)動(dòng)學(xué)生聽(tīng)覺(jué)、視覺(jué)等多種感官獲取有用的信息，這對(duì)于突破教學(xué)重點(diǎn)，化解知識(shí)難點(diǎn)起到了關(guān)鍵作用. 最后作業(yè)的設(shè)計(jì)，完全是建立在尊重學(xué)生個(gè)性差異的基礎(chǔ)上，通過(guò)必答與選答讓學(xué)習(xí)更具選擇性，學(xué)生可以根據(jù)自己的“實(shí)力”去努力完成，這在某種程度上更會(huì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，而開(kāi)放性問(wèn)題的設(shè)計(jì)則凸顯了注重學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)踐的理念.

結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)的多元表征，是包括了數(shù)學(xué)文字、公式、概念、性質(zhì)的“數(shù)”，以及涵蓋了模型、圖形、圖像的“形”，所以在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，多元表征本質(zhì)上就是數(shù)形結(jié)合的多種形式. 雖然目前多元表征的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并沒(méi)有可循之法，但只要教育者能夠把握住這個(gè)內(nèi)涵，運(yùn)用多種形式與方法，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中進(jìn)行實(shí)踐再實(shí)踐，認(rèn)識(shí)再認(rèn)識(shí)，創(chuàng)造再創(chuàng)造，深度學(xué)習(xí)就會(huì)自然發(fā)生.