俞平

摘要：：讓學(xué)生通過觀察具體圖形和動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出合理的猜想，即“操作——猜想”，對(duì)加深學(xué)生認(rèn)知與促進(jìn)學(xué)生的直覺思維是相當(dāng)有益處的，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的歸納思想與能力所起的作用更是妙不可言。提倡“操作——猜想”有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生真正自主地、快樂地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

關(guān)鍵詞：操作;猜想;體驗(yàn);思維;歸納;驗(yàn)證

中圖分類號(hào)：G633.6 ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? 文章編號(hào)：1992-7711（2019）03-0041

如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力，是擺在我們每一位教學(xué)工作者面前的重要問題。傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)往往只是填鴨式的教學(xué)，教師在課堂前的演繹、推理往往就讓學(xué)生“程序輸入”式地呆板接收，其效果如何呢？不言而喻，學(xué)生在自己解決問題時(shí)往往受到阻礙，解決不了困難。因?yàn)榻處熤皇恰笆谥贼~”而并未“授之以漁”。筆者在自己的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：數(shù)學(xué)教學(xué)中，可借助于通過“操作——猜想”來培養(yǎng)學(xué)生自己解決問題的能力，提倡“操作——猜想”有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高學(xué)生的自主性學(xué)習(xí)能力，心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為“思維是從動(dòng)作開始的，切斷了動(dòng)作思維之間的聯(lián)系，思維就得不到發(fā)展”。依據(jù)初中學(xué)生現(xiàn)有的重建新知識(shí)體系的能力而言，他們是很難將重要的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)化為自己的知識(shí)體系的，因此需要將猜想與動(dòng)手操作有機(jī)結(jié)合起來。依據(jù)“操作——猜想”與體驗(yàn)教學(xué)的相通性，我們不得不承認(rèn)“操作——猜想”是數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施體驗(yàn)教學(xué)的好方法。

一、“操作——猜想”促進(jìn)直覺思維

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”;課程改革的核心理念是“以學(xué)生發(fā)展為本”，強(qiáng)調(diào)探索性教學(xué)。探索性教學(xué)首先要讓學(xué)生切身地有所體驗(yàn)。所謂體驗(yàn)就是指在教學(xué)中，讓學(xué)生通過切身實(shí)踐來掌握所要傳授的知識(shí)或技能，或是通過喚起學(xué)生以往的記憶表象來實(shí)施教學(xué)的方法。一切知識(shí)緣于實(shí)踐。體驗(yàn)的過程就是實(shí)踐的過程，利用體驗(yàn)的過程可以培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力。體驗(yàn)可以形成豐富的記憶表象，體驗(yàn)教學(xué)的最終目的就是利用體驗(yàn)所積累的現(xiàn)實(shí)經(jīng)驗(yàn)與豐富的表象儲(chǔ)備來發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力與創(chuàng)造性思維。然后，以體驗(yàn)積累起來的感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)展開猜想。猜想是對(duì)研究的對(duì)象或問題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料知識(shí)作出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方法?，F(xiàn)代認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是主體主動(dòng)的意義建構(gòu)活動(dòng)，是主體頭腦里建立和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是數(shù)學(xué)活動(dòng)及其經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化的過程，而猜想是對(duì)抽象化的、形式化的數(shù)學(xué)進(jìn)行思辨過程。

初中數(shù)學(xué)中的許多概念、性質(zhì)、判定等知識(shí)，對(duì)于正處于由感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化的初中生而言是比較抽象的。讓它們通過觀察具體圖形或?qū)嵨锬Ｐ秃蛣?dòng)手實(shí)驗(yàn)，根據(jù)自己的觀察實(shí)驗(yàn)，在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出合理的猜想，對(duì)加深學(xué)生認(rèn)知與促進(jìn)學(xué)生的直覺思維是相當(dāng)有益處的。

例如，教師在講授“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”時(shí)，教師可先讓學(xué)生拿出已準(zhǔn)備好的等腰三角形紙片，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察并對(duì)兩個(gè)底角的關(guān)系進(jìn)行猜想。學(xué)生通過自己的感官反應(yīng)馬上得出“等腰三角形的兩個(gè)底角相等”，在教師的肯定與贊揚(yáng)聲中，學(xué)生躍躍欲試，開始動(dòng)手操作：有的拿出了量角器來進(jìn)行測(cè)量，有的通過對(duì)折來看這兩個(gè)角能否重合……很快他們就找到了驗(yàn)證自己猜想的方法，并自然而又深刻地掌握了這一性質(zhì)。又如新授“三角形中位線”定理時(shí)，學(xué)生在了解了“連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段是三角形的中位線”之后，通過“畫一畫”“量一量”“看一看”的操作來猜想三角形中位線的性質(zhì)，通過學(xué)生自己的觀察與測(cè)量得到了“三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半”，并饒有興趣地進(jìn)一步推理論證該定理。在講授新知識(shí)的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)著知識(shí)本身的魅力與內(nèi)心的喜怒哀樂，同時(shí)又培養(yǎng)了他們的直覺思維能力。

二、“操作——猜想”促進(jìn)數(shù)學(xué)歸納

與整個(gè)數(shù)學(xué)體系所包羅的知識(shí)相比，初中數(shù)學(xué)所包含的知識(shí)只是這汪洋大海中小小的浪花。借助于這些知識(shí)載體，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟其數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才是我們真正要做的。而“歸納”是數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)能力中很重要的一塊，“操作——猜想”這一形式對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的歸納思想與能力所起的作用更是妙不可言。

例如，觀察下列圖形，并閱讀理解圖形下的有關(guān)文字：

那么n條直線相交，最多有_______個(gè)交點(diǎn)。

剛看到題目的時(shí)候，學(xué)生有些丈二和尚摸不著頭腦，于是教師可啟發(fā)學(xué)生：碰到這樣的難題，不妨可采用數(shù)學(xué)家華羅庚“先退后進(jìn)”的思想，通過特例來研究考察事物的本質(zhì)，從而歸納問題的規(guī)律和性質(zhì)。于是引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手畫一畫，用心數(shù)一數(shù)，學(xué)生在畫的過程中發(fā)現(xiàn)：當(dāng)畫第二條直線時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)已有直線一條，因此最多可有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)畫第三條直線時(shí)，最多可與原有的兩條直線相交并有兩個(gè)交點(diǎn)，因此一共有三個(gè)交點(diǎn);……漸漸地發(fā)現(xiàn)，直線的條數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是兩組很有規(guī)律的數(shù)據(jù)：

2 ? ? 3 ? ? ? 4 ? ? ? ? ?5 ? ? ? ? ? ? ? ?6 …… ? ? ? ? ? ? ? ? n

1 ? 1+2 ?1+2+3 ?1+2+3+4 ? ?1+2+3+4+5…… ? ?1+2+3+……n-1

于是根據(jù)高斯定理，就可得：n條直線相交，最多可有n（n-1）/2個(gè)交點(diǎn)。在整個(gè)解決問題的過程中，學(xué)生從沒有頭緒到豁然開朗，正是操作起到了決定性的作用。

九年級(jí)應(yīng)用題這一章節(jié)中，有一類“送禮物”“打電話”問題的應(yīng)用題。學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，很難把握其規(guī)律。教師在新課引入時(shí)，可創(chuàng)設(shè)游戲情境：圣誕節(jié)即將來臨，希望每一位同學(xué)為其他同學(xué)準(zhǔn)備一份禮物，請(qǐng)大家回去準(zhǔn)備一下吧！一下子學(xué)生七嘴八舌地討論開了……這是學(xué)生生活中經(jīng)常碰到的問題，他們對(duì)此很感興趣。于是教師又抽取了四位學(xué)生進(jìn)行演示：四位同學(xué)要完成送禮物任務(wù)，大家看“每一位同學(xué)要準(zhǔn)備幾份禮物，最后所有的同學(xué)將共送出幾份禮物？”很快地，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：每位同學(xué)要準(zhǔn)備的禮物數(shù)比人數(shù)少1，因此如果有n個(gè)學(xué)生的話，禮物的總數(shù)可歸納為n（n-1 ）。通過學(xué)生親身演示與體驗(yàn)，把一個(gè)比較抽象的問題具體化、可操作化，這樣便于學(xué)生理解掌握。

歸納思想是初中階段重要的思想方法之一，通過“操作——猜想”，讓學(xué)生在動(dòng)手過程中迸出智慧的火花，建立起猜想，從而激發(fā)進(jìn)一步歸納的欲望，讓自己從特殊到一般，逐步歸納出更完美的結(jié)論。

三、“操作——猜想”促成類比思維

看到“鐵鍬鏟地”產(chǎn)生聯(lián)想類比，從而改進(jìn)了建筑工地上的抓斗機(jī)。通過“操作——猜想”進(jìn)行類比，根據(jù)兩個(gè)事物之間類似或是相同的特點(diǎn)，猜想出它的類似或相同的規(guī)律或性質(zhì)。

教師新授等腰梯形的性質(zhì)“同一底上兩個(gè)底角相等”時(shí)，完全可以啟發(fā)學(xué)生回憶學(xué)習(xí)等腰三角形性質(zhì)時(shí)的方法：先讓學(xué)生觀察等腰梯形的兩個(gè)底角，后聯(lián)想學(xué)習(xí)等腰三角形的情形，用量角器測(cè)量、對(duì)折重合等方法，從而通過“類比——猜想”來得到等腰梯形“兩個(gè)底角相等”的性質(zhì)。

教學(xué)中讓學(xué)生在“手腦并用”中體會(huì)“觀察——聯(lián)想——類比——猜想”的思想方法，無疑是一種行之有效的方法。

四、“操作——猜想”啟發(fā)驗(yàn)證方法

很多時(shí)候，猜想是“跟著感覺走”的，不一定符合事實(shí)，故猜想的結(jié)果也就不一定可靠，因此不論你的猜想多么美妙，都需經(jīng)過嚴(yán)格的驗(yàn)證，才能肯定自己的猜想是否正確。

例如九年級(jí)復(fù)習(xí)課上，教師向?qū)W生出示了這樣一道習(xí)題：設(shè) A、 B、 C、D 是四個(gè)居民小區(qū)，現(xiàn)要在四邊形ABCD 內(nèi)部建一個(gè)購物中心，試問應(yīng)把購物中心建在

何處，能使四個(gè)居民小區(qū)到購物中心的距離總和最??？

因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)有無數(shù)的點(diǎn)，學(xué)生很難找到確切的解決途徑。學(xué)生沒有通過動(dòng)手操作，是很難想到從特殊的點(diǎn)出發(fā)，再進(jìn)行猜想，然后再加以論證的。而當(dāng)學(xué)生拿出筆和尺來，隨意地在四邊形內(nèi)畫一畫時(shí)，還是能夠找到“對(duì)角線的交點(diǎn)P”這一比較特殊的點(diǎn)的。隨后，教師繼續(xù)提問：為什么這一交點(diǎn)肯定是到 A、B、C、D這四點(diǎn)距離之和最小的呢？然后進(jìn)一步讓學(xué)生通過動(dòng)手畫圖，在圈圈點(diǎn)點(diǎn)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：在四邊形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)可以分為兩類。一類是在線段AC與BD上的;一類是在四個(gè)小三角形內(nèi)的。逐漸的，在一次又一次的畫圖中，進(jìn)一步證實(shí)了只有P點(diǎn)才是符合要求的點(diǎn)。同時(shí)在測(cè)量中也已經(jīng)發(fā)現(xiàn)可以利用“三角形兩邊之和大于第三邊”來進(jìn)行嚴(yán)密地論證。

偉大的科學(xué)家牛頓曾說：“沒有大膽的猜想，就不會(huì)有偉大的發(fā)現(xiàn)?！闭怯辛擞赂叶鴤ゴ蟮牟孪耄覀兊纳a(chǎn)水平、生活水平有了突飛猛進(jìn)的提高。而我們的猜想也不是直觀而蒼白無力的主觀判斷，而是經(jīng)過了觀察、動(dòng)手操作、測(cè)量，運(yùn)用了測(cè)量歸納、類比驗(yàn)證等數(shù)學(xué)思想方法，我們的猜想是可靠而有價(jià)值的。在教學(xué)過程中，注重創(chuàng)設(shè)操作猜想情境，讓初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以動(dòng)手操作為基礎(chǔ)，以體驗(yàn)樂趣為動(dòng)力，以猜想為翅膀，飛向更廣闊的藍(lán)天。鼓勵(lì)學(xué)生參與學(xué)習(xí)、體驗(yàn)學(xué)習(xí)，從而獲得成功之后的滿足與愉悅，讓學(xué)生真正自主地、快樂地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 林志成.初中數(shù)學(xué)教學(xué)問題的設(shè)計(jì)[J].中學(xué)教研（數(shù)學(xué)），2005（5）.

[2] 劉 兼，孫曉天.數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2002.

（作者單位：浙江省諸暨市濱江初級(jí)中學(xué) 311800）