淺談數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)美

彭世界

摘 要：數(shù)學(xué)本質(zhì)上說，是客觀世界的真實(shí)反映，只不過是高度濃縮的、極度概括的抽象反映而已，它具有美感，表現(xiàn)為“統(tǒng)一美，對(duì)稱美，簡單美，辨證美”等。

關(guān)鍵詞：淺談；數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)，無論是簡單的代數(shù)幾何，還是深?yuàn)W的解析幾何、線性代數(shù)、微積分以及用于微觀研究的復(fù)雜數(shù)學(xué)，好像遠(yuǎn)離現(xiàn)實(shí)世界，極度抽象，與人們生活遠(yuǎn)之又遠(yuǎn)。其實(shí)不然，所有的數(shù)學(xué)都有現(xiàn)實(shí)世界的模型作為基底，而不只是數(shù)學(xué)天才憑空奇想出來的符號(hào)、公式、圖形的演繹。數(shù)學(xué)是透過抽象化和邏輯推理的使用，在計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理，數(shù)學(xué)具有美感，我們稱之為數(shù)學(xué)美！

數(shù)學(xué)美主要表現(xiàn)為：主要有：統(tǒng)一美，對(duì)稱美，簡單美，辨證美等。

一.統(tǒng)一美

統(tǒng)一美，反映的是審美對(duì)象在形式或內(nèi)容上的某種共同性、關(guān)聯(lián)性或一致性，它能給人一種整體和諧的美感。數(shù)學(xué)對(duì)象的統(tǒng)一性通常表現(xiàn)為數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一，數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。

1.數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的歷史過程中，一直存在著分化和整體化兩種趨勢。數(shù)學(xué)理論的統(tǒng)一性主要表現(xiàn)在它的整體性趨勢。布爾基學(xué)派的《數(shù)學(xué)原本》，用結(jié)構(gòu)的思想和語言來重新整理各個(gè)數(shù)學(xué)分支，在本質(zhì)上揭示數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系，使之成為一個(gè)有機(jī)整體，在數(shù)學(xué)的高度統(tǒng)一性上給人一美的啟迪。

2.數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、方法的統(tǒng)一。一切客觀事物都是相互聯(lián)系的，因而，作為反映客觀事物的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)法則也是互相聯(lián)系的，在一定條件下可處于一個(gè)統(tǒng)一體之中。例如，運(yùn)算、變換、函數(shù)分別是代數(shù)、幾何、分析這三個(gè)數(shù)學(xué)分支中的重要概念，在集合論中，便可統(tǒng)一于映射的概念。又如代數(shù)中的算術(shù)平均——幾何平均定理、加權(quán)平均定理、冪平均定理、加權(quán)冪平均定理等著名不等式，都可以統(tǒng)一于一元凹、凸函數(shù)的琴森不等式。

3.數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)和其它科學(xué)的相互滲透，導(dǎo)致了科學(xué)數(shù)學(xué)化。力學(xué)的數(shù)學(xué)化使牛頓建立了經(jīng)典力學(xué)體系?？茖W(xué)的數(shù)學(xué)化使物理學(xué)與數(shù)學(xué)趨于統(tǒng)一。建立在相對(duì)論和量子論兩大基礎(chǔ)理論上的物理學(xué)，其各個(gè)分支都離不開數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用，它們的理論表述也采用了數(shù)學(xué)的形式?；瘜W(xué)的數(shù)學(xué)化加速了化學(xué)這門實(shí)驗(yàn)性很強(qiáng)的學(xué)科向理論科學(xué)和精確科學(xué)過渡。生物數(shù)學(xué)化使生物學(xué)日益擺脫對(duì)生命過程進(jìn)行現(xiàn)象描述的階段，從定性研究轉(zhuǎn)向定量研究，這個(gè)數(shù)學(xué)化的方向，必將同物理學(xué)、化學(xué)的數(shù)學(xué)化方向一樣，把人類對(duì)生命世界的認(rèn)識(shí)提高到一個(gè)嶄新的水平。不僅自然科學(xué)普遍數(shù)學(xué)化了，而且數(shù)學(xué)方法也進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué)、法學(xué)、人口學(xué)、人種學(xué)、史學(xué)、考古學(xué)、語言學(xué)等社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域，日益顯示出它的效用。

二.簡單美

簡單、明快才能給人以和諧之感，繁雜晦澀就談不上和諧一 致。因此，簡單性既是和諧性的一種表現(xiàn)，又是和諧性的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)美的簡單性，并非指數(shù)學(xué)對(duì)象本身簡單、淺顯，而是指數(shù)學(xué)對(duì)象由盡可能少的要素通過盡可能簡捷、經(jīng)濟(jì)的方式組成，并且蘊(yùn)含著豐富和深刻的內(nèi)容。數(shù)學(xué)的簡單美，主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)方法和表達(dá)形式的簡單性。

1.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的簡單美。簡單性是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的基本內(nèi)容。就數(shù)學(xué)理論的邏輯結(jié)構(gòu)而論，它的簡單性一般包括兩個(gè)方面的內(nèi)容：一是理論前提的簡單性，獨(dú)立的概念簡單明確，以最少的公理來建立理論；二是理論表述的簡單性，以最簡單的方式抓住現(xiàn)象的本質(zhì)，定理和公式簡單明晰。著名的皮亞諾算術(shù)公理系統(tǒng)，就是邏輯結(jié)構(gòu)簡單美的一個(gè)典范。

2.數(shù)學(xué)方法的簡單美。簡單性是數(shù)學(xué)方法美的重要標(biāo)志。一個(gè)美的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)證明，一般都包含著簡單性的涵義。如希爾伯特解決果爾丹問題的存在性證明方法就是數(shù)學(xué)方法簡單美的一個(gè)范例。正是由于希爾伯特的方法簡單而深刻，才使它能進(jìn)一步應(yīng)用到抽象代數(shù)中去，并把群、環(huán)、域的抽象理論提高到顯著的地位。

3.數(shù)學(xué)形式的簡單美。簡單性也是數(shù)學(xué)形態(tài)美的主要特征。數(shù)學(xué)形態(tài)美，是數(shù)學(xué)美的外部表現(xiàn)形態(tài)，是數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)公式（或表達(dá)式）的外在結(jié)構(gòu)中呈現(xiàn)出來的美。形態(tài)美的主要特征，在于它的簡單性。例如，牛頓用F=ma概括了力、質(zhì)量、加速度之間的定量關(guān)系；中國著名數(shù)學(xué)家張景中院士認(rèn)為，“周氏猜測”以非常簡潔、優(yōu)美的形式揭示了數(shù)學(xué)之美。

三.對(duì)稱美

對(duì)稱美，反映的是審美對(duì)象形態(tài)或結(jié)構(gòu)的均衡性、勻稱性或變化的周期性、節(jié)律性。數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，實(shí)質(zhì)上是自然物的和諧性在量和量的關(guān)系上最直觀的表現(xiàn)。

從數(shù)學(xué)美來講，對(duì)稱包括狹義對(duì)稱、常義對(duì)稱與泛對(duì)稱等，內(nèi)容十分豐富。狹義對(duì)稱可分為代數(shù)對(duì)稱（共軛根式、共軛復(fù)數(shù)、對(duì)稱多項(xiàng)式、輪換對(duì)稱多項(xiàng)式、線性方程組的克萊姆法則、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣、厄米特矩陣、反厄米特矩陣等）與幾何對(duì)稱（軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、平面對(duì)稱等），常義對(duì)稱包括同構(gòu)、同態(tài)、映射、反演、互補(bǔ)、互逆、相似、全等等，泛對(duì)稱包括數(shù)學(xué)對(duì)象的系統(tǒng)性、守恒性、不變性、周期性、對(duì)偶性、等價(jià)性和勻稱等。

四.辨證美

數(shù)學(xué)充滿著相對(duì)數(shù)量、概念和性質(zhì)，是辯證的對(duì)立統(tǒng)一，是真正的辯證法。如果說各門科學(xué)都包含著豐富的辯證思想，那么，數(shù)學(xué)則有自己特殊的表現(xiàn)方式，即用數(shù)學(xué)的符號(hào)語言以及簡明的數(shù)學(xué)公式能明確地表達(dá)出各種辯證的關(guān)系和轉(zhuǎn)化。例如：初等數(shù)學(xué)中：點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)；曲線與方程之間的關(guān)系；概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)所揭示出的事物的必然性與偶然性的內(nèi)在聯(lián)系等。

總之，數(shù)學(xué)中的美是千姿百態(tài)、豐富多彩的，如美的形式符號(hào)、美的公式、美的曲線、美的曲面、美的證明、美的方法、美的理論等。從內(nèi)容來說，數(shù)學(xué)美可分為結(jié)構(gòu)美、語言美與方法美；就形式而論，數(shù)學(xué)美可分為外在的形態(tài)美和內(nèi)在的理性美。把內(nèi)容和形式結(jié)合起來考察，數(shù)學(xué)美就具有和諧美，和諧是數(shù)學(xué)美的最基本、最普遍的一個(gè)特征。數(shù)學(xué)美也是藝術(shù)美和人們審美的重要依據(jù)和尺度。

參考文獻(xiàn)

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[4] 《數(shù)學(xué)之美》，吳軍，人民郵電出版社，2014-11-01.