培養(yǎng)數(shù)學(xué)符號意識 落實數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

顧彩梅

【摘要】發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要通過學(xué)科的教學(xué)活動來實現(xiàn)，課堂教學(xué)是最重要的教學(xué)活動，因此，教師的教學(xué)設(shè)計顯得至關(guān)重要.“用字母表示數(shù)”是培養(yǎng)學(xué)生符號意識的章起始課，筆者從“數(shù)學(xué)語言的符號意識”“數(shù)學(xué)工具的符號意識”和“數(shù)學(xué)方法的符號意識”三個方面展開教學(xué)設(shè)計，層層遞進，以此來培養(yǎng)學(xué)生的符號意識，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】符號意識;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);設(shè)而不求

一、背景與學(xué)情分析

已發(fā)布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》的一個重點是突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)，必須通過學(xué)科的教學(xué)活動來實現(xiàn)，教師在課堂教學(xué)中對素養(yǎng)的滲透顯得十分重要.數(shù)感、符號意識、推理能力、模型思想、幾何直觀、空間想象、運算能力和數(shù)據(jù)分析觀念是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的八個核心詞[1].“用字母表示數(shù)”這部分內(nèi)容是培養(yǎng)學(xué)生符號意識的章起始課，是學(xué)生從小學(xué)“算術(shù)”到中學(xué)“代數(shù)”的重要過渡，同時也是后續(xù)學(xué)習(xí)代數(shù)式、方程、應(yīng)用題、函數(shù)等內(nèi)容的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生其他素養(yǎng)的前提，因此，本節(jié)內(nèi)容在教材中占據(jù)十分重要的地位.筆者嘗試進行了基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)方法三個方面的符號意識的教學(xué)設(shè)計，請讀者批評指正.

二、教學(xué)設(shè)計

（一）數(shù)學(xué)語言的符號意識

1.用字母表示數(shù)的意義

問題1 一只青蛙一張嘴，二只眼睛四條腿，撲通一聲跳下水;二只青蛙二張嘴，四只眼睛八條腿，撲通撲通兩聲跳下水;……根據(jù)上面的兒歌回答：

（1）如果青蛙有10只、100只、500只，那么這首兒歌怎么唱？

（2）如果有很多只青蛙，那么有多少張嘴，多少只眼睛，多少條腿？

設(shè)計意圖 用“數(shù)青蛙”的游戲并借助表格的形式引出課題，目的是落實用字母表示數(shù)的意義：符號作為一種數(shù)學(xué)語言能夠簡明地表達各種數(shù)量關(guān)系.從具體數(shù)據(jù)入手，讓學(xué)生反復(fù)體會青蛙的只數(shù)與嘴巴、眼睛及腿之間的數(shù)量關(guān)系，為下文做鋪墊，體現(xiàn)特殊到一般的思想.再結(jié)合對n只青蛙數(shù)量關(guān)系的梳理，進一步讓學(xué)生體會利用字母表示數(shù)在表示具有某種普遍意義的數(shù)量關(guān)系時的重要作用.

2.規(guī)范表示數(shù)量關(guān)系

問題2 某校七年級學(xué)生去農(nóng)場參加了綜合實踐活動，請用字母表示以下數(shù)和數(shù)量關(guān)系.

（1）如果他們挖了20千克番薯，單價b元/千克，可得元;

（2）如果他們挖了a千克番薯，單價134元/千克，可得元;

（3）如果他們挖了a千克番薯，單價b元/千克，可得元;

（4）農(nóng)場賣了挖的a千克番薯共得100元，則番薯每千克元;

（5）番薯的單價是a元/千克，絲瓜的單價b元/千克，挖了19.8千克番薯，摘了5.6千克絲瓜，一共能賣元.

問題3 野炊是綜合實踐活動中的重頭戲，飯后學(xué)生們利用撿拾來的柴火玩起了“跳房子”的游戲.如圖1所示，假設(shè)每一個圖形都是由相同長度的柴火組成，如何用帶有n的式子表示最后一個圖形的柴火根數(shù)呢？

圖1

設(shè)計意圖 問題2教給學(xué)生，在用字母表示數(shù)量關(guān)系的過程中，首先要搞清楚題目中的字母和數(shù)分別表示什么，要表示的結(jié)果與已知的字母和數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系，然后確定用哪些運算符號去連接它們.同時強調(diào)書寫規(guī)范，這是教材教學(xué)目標(biāo)的落實，也是后面運用符號演算和推理的前提，教師可以從以下四個角度去總結(jié)：省略乘號數(shù)在前，如上面的20b，ab;化帶為假有必要，如134a應(yīng)寫成74a;加減式子添括號，避免歧義，如一共賣了（19.8a+5.6b）元;除號改為分?jǐn)?shù)線，如100a.通過這四句口訣，幫助學(xué)生正確地書寫各種數(shù)量關(guān)系.問題3的設(shè)計是讓學(xué)生從不同的視角去分析和表示問題中的數(shù)學(xué)規(guī)律，同時提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.學(xué)生可以從“7，12，17，…”代數(shù)的角度考慮，也可以從“橫、縱、U字形”等幾何形狀的角度考慮，初步體會數(shù)形結(jié)合的思想.

（二）數(shù)學(xué)工具的符號意識

1.明確數(shù)量關(guān)系中字母的含義

問題4 下列表述中字母各表示什么？

（1）正方形的周長為4a.

（2）小明買了5千克蘋果，共花了5x元.

（3）操場上有（20+x）名學(xué)生，其中男生有20人.

（4）底面積為50平方厘米的長方體體積為100l立方厘米.

問題5 說一說可以用ab表示結(jié)果的實際問題.

設(shè)計意圖 此問題是用字母表示數(shù)的逆向問題，目的是提升學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的閱讀能力，從而為運用數(shù)學(xué)符號進行推理、演算做好準(zhǔn)備.問題5中的代數(shù)式“ab”可以聯(lián)系銷售單價與數(shù)量、時間與速度、工作效率與工作時間等諸多實際問題，既體現(xiàn)了不同背景問題下的數(shù)學(xué)模型的一致性，又說明了符號表達更能體現(xiàn)運算的一般規(guī)律，感受數(shù)學(xué)問題是生活實際的抽象.這里有數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的自覺滲透.

2.利用符號工具解決問題

問題6 （1）完成下面表格.（2）合作學(xué)習(xí)：兩人一組，一名學(xué)生給出一個用文字語言（或者符號語言）表述的數(shù)學(xué)規(guī)律、法則等，另一名學(xué)生用符號語言（或者文字語言）表述，即進行文字與符號的互譯.

文字語言符號語言

（2）已知|a|=4，|b|=3且|a+b|≠a+b，則a-b=.

設(shè)計意圖 通過對符號和文字兩大語言切換的有效訓(xùn)練，體會數(shù)學(xué)符號表達的簡約美.課程標(biāo)準(zhǔn)指出：由于運算和推理是數(shù)學(xué)活動最重要的基本形式，所以希望在各個學(xué)段學(xué)習(xí)中都加強學(xué)生在邏輯法則下使用符號進行運算、推理的訓(xùn)練.問題7的設(shè)計既是課程標(biāo)準(zhǔn)的落實，也是數(shù)學(xué)符號工具職能的落實.

（三）數(shù)學(xué)方法的符號意識

問題8 用長度相等的兩條細繩圍城一個圓和一個正方形，哪個幾何圖形的面積大？請你猜一猜，并用學(xué)過的知識和數(shù)學(xué)方法驗證你的猜想.

問題9 如圖2所示，為了美化校園，學(xué)校打算在環(huán)形草坪及其內(nèi)部種上一些花，已知方案①中環(huán)形花圃的面積為10π平方米，請計算方案②中陰影部分的面積是多少？

設(shè)計意圖 培養(yǎng)符號意識最重要的是進行數(shù)學(xué)思考，課程標(biāo)準(zhǔn)中把其稱之為“符號思考”.第一部分用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系其實是對數(shù)學(xué)抽象的思考，第二部分用字母表示的數(shù)量關(guān)系進一步去演算是對數(shù)學(xué)推理的思考，而問題8把細繩的長度設(shè)為l，通過計算比較面積l216和l24π大小的方法，本質(zhì)上是對數(shù)學(xué)模型的思考.問題9中我們引入r和R兩個字母，由S1=π（R2-r2）=10π，可推得S2=R2-r2=10，無須求出r和R的具體數(shù)值.這種引進符號、設(shè)而不求、優(yōu)化解題的意識，是一種重要的數(shù)學(xué)方法.這里有數(shù)學(xué)抽象、推理能力、模型思想的元素，進一步滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

三、教學(xué)反思

筆者從三個方面落實符號意識，層層推進.第一，符號是數(shù)學(xué)的語言，利用符號表示數(shù)及數(shù)量關(guān)系和數(shù)學(xué)規(guī)律的意識，是進行一切數(shù)學(xué)活動的前提，即問題1-3;第二，符號是數(shù)學(xué)的工具，用符號進行簡單的運算和推理得到具有一般性的結(jié)論，它是開展一切數(shù)學(xué)活動的重要過程，即問題4-7;第三，符號是一種重要的數(shù)學(xué)方法，引進符號，設(shè)而不求，解決一類復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，即問題8，9.如果把人的大腦看成一臺大型計算機，那么用符號理解和梳理復(fù)雜數(shù)量關(guān)系就是“編碼”的過程，閱讀和理解符號進行運算推理是“解碼”的過程，三層符號意識始終貫穿在“編解”的過程中，從而解決問題.

本節(jié)課的設(shè)計基于教材，其中問題6，8，9的設(shè)計是筆者對一般傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計的創(chuàng)新和挑戰(zhàn).在問題6的設(shè)計中，互譯的形式新穎，表格的呈現(xiàn)獨到，再借助小組合作完成，學(xué)生積極性高、參與度廣.問題8，9的設(shè)計，實際是將數(shù)學(xué)符號應(yīng)用在一類復(fù)雜數(shù)學(xué)問題和實際問題中，是本節(jié)課內(nèi)容的升華.這三個問題的教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識的核心素養(yǎng).不同于其他學(xué)科，符號對數(shù)學(xué)而言是特有的.數(shù)學(xué)符號的抽象性、明確性、簡略性、可操作性、可通用性等特點，決定了數(shù)學(xué)符號在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的重要性.對數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)起始于此，但遠不止步于此，在后續(xù)的學(xué)習(xí)過程中，我們要不斷滲透以上三方面的數(shù)學(xué)符號意識，特別不能忽視“數(shù)學(xué)方法的意識”，它是落實三層符號意識的難點，也是今后學(xué)習(xí)和解決數(shù)學(xué)問題的重要方法.

【參考文獻】

[1]羅增儒.核心素養(yǎng)與課堂研修[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2017（23）：14-20.

[2]蔣海燕.中學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)方略[M].濟南：山東人民出版社，2017：1-2.