例析“圖形與幾何”里的代換思想

周建平

摘要：代換思想是把一個量用與它相等的另一個量替代，使問題簡單化，進(jìn)而解決問題。本文結(jié)合長度代換、面積代換、體積代換這三個方面的實(shí)例，分析了小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域里代換思想解決問題的途徑。

關(guān)鍵詞：代換思想? ?長度代換? ?面積代換? ?體積代換

近年來，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，代換思想占有一席之地，得到廣泛應(yīng)用。下面，筆者結(jié)合例題，分析在小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”領(lǐng)域中，使用代換思想解決問題的方法。

一、長度代換例析

例1：如圖1所示，陰影部分是正方形，AH=8厘米，DE=6厘米，求大長方形ABCD的周長。

分析：學(xué)生初讀題時(shí)會覺得缺少條件，因?yàn)橛?jì)算長方形的周長，一般要已知長和寬，但本題中的已知條件只有兩個，AH=8厘米，DE=6厘米，是求不出長方形的長和寬的。

從“整體”考慮，長方形周長公式是周長=（長+寬）×2，學(xué)生只要知道“長+寬”，就可以求出周長，而不需要知道長和寬是多少。

AH、DE兩段的長度包括了中間的EH，如果把AH、DE這兩段長度加起來，相當(dāng)于AE+EH+EH+HD。在計(jì)算中，EH被重復(fù)相加，即AH+DE=AD+EH，AD為大長方形的長，EH為正方形的邊長，而這個邊長正好是大長方形寬的長度，也就是說8+6所得到的長度是長方形周長的一半，這時(shí)再乘以2，就可以得到整個長方形的周長為28厘米。

二、面積代換例析

例2：如圖2所示，大正方形面積比小正方形面積大10平方厘米，求陰影部分的面積。

分析：本題陰影部分是一個梯形，求它的面積。按一般求法，學(xué)生要知道梯形的上底、下底、高，但題目中沒有出現(xiàn);如果看成兩個三角形，仍找不到底和高各是多少。這時(shí)候，學(xué)生需要變換思路。如圖3所示，我們可以將小正方形移動到大正方形內(nèi)，圖2和圖3中的陰影部分都是梯形，上底、下底和高都分別對應(yīng)相等，兩個陰影面積相等。

如圖3所示，陰影部分同右下部分的梯形形狀、大小一樣，而這兩部分的面積之和（陰影面積的兩倍）正好是大正方形面積減去小正方形面積的差，即已知條件的10平方厘米，所以陰影面積為10÷2=5平方厘米。

我們無法根據(jù)梯形面積公式或三角形面積公式直接求出本題所求陰影部分面積，但運(yùn)用了代換思想，并通過位移正方形，用與它上底、下底和高分別對應(yīng)相等的梯形進(jìn)行代換，學(xué)生就能解決問題了。

三、體積代換例析

例3：一個飲料瓶的下方是圓柱形，把300毫升的水倒進(jìn)去，正放時(shí)，水的高度是12厘米（如圖4所示）;密閉后倒放時(shí)，空余部分的高度為8厘米（如圖5所示）。這個飲料瓶的容積是多少毫升？

分析：不管瓶子是正放還是倒放，瓶子的容積始終不變，瓶子里水的體積不變，剩余部分容積也不變。倒放時(shí)，剩余部分加正放時(shí)水的體積之和是整瓶的容積。

如果把圖5下方的水換成圖4下方的水，則可以畫出圖6。

由圖6可以看出，水的體積占整瓶容積的，也就是。由此可答，=，300÷=500毫升。

根據(jù)密閉狀態(tài)下水的體積不變，利用代換思想，用圖4下方水的體積代換圖5下方水的體積，與圖5上方剩余部分構(gòu)成一個圓柱形，再用比例求解。

代換思想是小學(xué)階段的重要數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在觀察中思考，指導(dǎo)學(xué)生用一個與它相等的量代換另一個量，達(dá)到巧解問題的目的。

（作者單位：江西省豐城市劍光第五小學(xué)）