巧用反比例函數(shù)“特定關(guān)系”解題分析

摘?要：函數(shù)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課程，其教學(xué)特征是關(guān)注定量和數(shù)值之間的變化規(guī)律。函數(shù)知識在很多學(xué)科中都有應(yīng)用，且初中數(shù)學(xué)注重講解函數(shù)思想和方法，通過分析函數(shù)之間的特殊關(guān)系探討教學(xué)中的問題。本文對初中數(shù)學(xué)中的“反比例函數(shù)”教學(xué)重難點和特定教學(xué)關(guān)系進行研究，希望能夠為提升學(xué)生對反比例函數(shù)的認識，減輕其學(xué)習(xí)壓力，提升教學(xué)質(zhì)量綿盡微薄之力。

關(guān)鍵詞：巧用;反比例函數(shù);特定關(guān)系;解題分析

近年來，隨著新課改的教學(xué)要求不斷深入，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)對反比例函數(shù)的知識點要求更為嚴格，雖然在教學(xué)形式和內(nèi)容上有了很大變化，但是學(xué)生在考試中要想獲得高分依舊需要掌握基礎(chǔ)知識點，只有了解基礎(chǔ)，才有活學(xué)活用的可能。為了優(yōu)創(chuàng)教學(xué)環(huán)境，提升教學(xué)質(zhì)量，教師應(yīng)當(dāng)將反比例教學(xué)的重點落在基礎(chǔ)教學(xué)和性質(zhì)研究、內(nèi)容鉆研幾個方面。

一、 研究初中反比例教學(xué)課程知識教學(xué)要求

新課改教學(xué)下，初中反比例函數(shù)教學(xué)要求學(xué)生掌握基礎(chǔ)反比例函數(shù)特性，且在掌握反比例函數(shù)知識點基礎(chǔ)上，可自主掌握相關(guān)延伸知識內(nèi)容，以實現(xiàn)多題一解，一題多解的教學(xué)目標。本文針對八年級下冊中的“反比例函數(shù)”這一章節(jié)進行研究，分析和研究教學(xué)設(shè)計中的反比例函數(shù)學(xué)習(xí)重難點，并不斷探索教師對函數(shù)的教學(xué)理解過程，不斷提升其學(xué)習(xí)質(zhì)量，幫助學(xué)生了解反比例函數(shù)學(xué)習(xí)知識本質(zhì)，養(yǎng)成積極、科學(xué)的邏輯思維能力，實現(xiàn)知識交流等目標，為提升數(shù)學(xué)綜合教學(xué)奠定基礎(chǔ)。

二、 分析反比例函數(shù)教學(xué)的難點和問題

（一）對基礎(chǔ)概念掌握不明

反比例函數(shù)是很多數(shù)學(xué)習(xí)題的解決突破點，在很多和數(shù)值、圖形相關(guān)的案例中，反比例函數(shù)都是可行、高效的求解方式。但是依舊存在很多學(xué)生“叫苦連天”，表示反比例函數(shù)應(yīng)用難度大，學(xué)習(xí)難，可用性低。實際上，學(xué)生應(yīng)用反比例函數(shù)來搭建圖形，構(gòu)建數(shù)、圖關(guān)系時候，一定要了解圖形和數(shù)字之間的關(guān)系。很多學(xué)生在看老師演練習(xí)題時候一看就懂，輪到自己做題時候卻“山重水復(fù)疑無路”。實際上，這是學(xué)生對反比例函數(shù)概念認識不明，掌握不牢靠所導(dǎo)致。

反比例函數(shù)是坐標象限中不相交的雙曲線，這兩條曲線分布在正、負數(shù)值區(qū)域中，數(shù)值和圖形的關(guān)系往往存在雙面性。在學(xué)習(xí)中，學(xué)生為了盡快掌握知識點，死記硬背教師給的解題步驟，缺乏對自身掌握能力的分析。最終導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)不穩(wěn)固，隨著后期知識點的深入，對教師所講感到“云里霧里”。此外，還有很多教師在實際教學(xué)實踐中，沒有對學(xué)生進行相應(yīng)的反比例函數(shù)概念講解，直接讓學(xué)生背公式，久而久之，學(xué)生對習(xí)題麻木，對概念淡漠化，認為反比例函數(shù)是兩條不相交的曲線，其余深刻概念一概不知。

（二）機械化訓(xùn)練強度大，學(xué)生缺乏創(chuàng)新應(yīng)用能力

反比例函數(shù)在初中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占據(jù)重要的地位，在實際的教學(xué)活動中，學(xué)生對函數(shù)教學(xué)知識的理解程度不高，為了贏得教師的認可、完成家人的目標、得到同學(xué)的關(guān)注，在學(xué)習(xí)中存在“邯鄲學(xué)步”和“蹣跚學(xué)步”兩種錯誤學(xué)習(xí)類型。急于求成學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，得到教師夸獎后自信滿滿，開始鉆研偏、怪題目，在特殊的習(xí)題中耗用大量時間，學(xué)習(xí)不均衡。另外一種學(xué)生對知識理解不深入，學(xué)習(xí)時候缺乏自信，總是死扣概念，重復(fù)練習(xí)簡單習(xí)題，不愿意思考，突破自己，嘗試中難度習(xí)題。

可見，教師對反比例教學(xué)感知敏感性不佳，學(xué)生重復(fù)性地學(xué)習(xí)、理解習(xí)題，缺乏一個思維跳板，最終塑造出過于自負、過于自卑兩類學(xué)生。建議教師把握整體教學(xué)方向，為學(xué)生講解反比例函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的地位和重難點掌握程度，端正學(xué)生的學(xué)習(xí)心態(tài)和學(xué)習(xí)價值觀，提升反比例函數(shù)教學(xué)的重要性。

三、 分析反比例函數(shù)的性質(zhì)特征

中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師可從基礎(chǔ)概念突破，讓學(xué)生理解反比例函數(shù)的教學(xué)特性，以此來加深學(xué)生對反比例函數(shù)的理解，實現(xiàn)數(shù)學(xué)性質(zhì)、邏輯思維等多個方面突破。

（一）反比例函數(shù)的基礎(chǔ)性質(zhì)

反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的兩條曲線，反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一條曲線會無限接近x軸y軸但不會與坐標軸相交（y≠0）。

一般地，如果兩個變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=k/x（k為常數(shù)，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。因為y=k/x是一個分式，所以自變量x的取值范圍是x≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x-1。k>0時，圖像在一、三象限。k<0時，圖像在二、四象限。k的絕對值表示的是x與y的坐標形成的矩形的面積。

（二）反比例函數(shù)的特殊性質(zhì)和案例分析

1. 反比例函數(shù)的共生性研究分析

反比例函數(shù)編入初中課程教學(xué)時間不長，但其核心本質(zhì)始終是函數(shù)，雖然涉及了數(shù)值、公式、圖形坐標之間的關(guān)系，但依舊可以從分析函數(shù)的角度來研究反比例函數(shù)。反比例函數(shù)和函數(shù)的共生性有奇偶性、對稱性、點調(diào)性。教師在為學(xué)生介紹反比例函數(shù)時候，可以將其對比其他函數(shù)例如正比例函數(shù)，以此來激發(fā)學(xué)生的好奇心，提升其判斷力，提升其解題效率（如圖1所示）。

函數(shù)正比例函數(shù)反比例函數(shù)

解析式y(tǒng)=kx（k≠0）?（特殊的一次函數(shù)）y=kx或y=kx-1（k≠0）

圖像

自變量取?值范圍全體實數(shù)x≠0的一切實數(shù)

圖像的?位置當(dāng)k>0時，在一、三象限;當(dāng)k<0時，在二、四象限當(dāng)k>0時，在一、三象限;當(dāng)k<0時，在二、四象限

性質(zhì)當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大;當(dāng)k<0時，y隨x的增大而減小當(dāng)k>0時，在第一象限或第三象限，y隨x的增大而減小;當(dāng)k<0時，在第一象限或第三象限，y隨x的增大而增大

圖1?反比函數(shù)和正比例函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)對比

2. 反比例函數(shù)的特殊性

反比例函數(shù)對比其他函數(shù)，其具備獨特的應(yīng)用價值和使用性質(zhì)，這也讓其在眾多的函數(shù)環(huán)境中得以突破，彰顯價值。很多學(xué)生表示，在解題中難以將反比例函數(shù)和學(xué)習(xí)習(xí)題聯(lián)系起來，缺乏解題思路。對此，建議教師從反比例函數(shù)的特有性質(zhì)進行突破。首先，繪畫圖形，反比例函數(shù)的圖像和其他函數(shù)圖像不同，教師可以利用圖像關(guān)系來引導(dǎo)學(xué)生理解、認識反比例函數(shù)性質(zhì)，并采用數(shù)形結(jié)合的方式完成學(xué)習(xí)任務(wù)。經(jīng)過圖形的對比，學(xué)生可以觀察得到不同性質(zhì)的函數(shù)圖像關(guān)系，進而加深對抽象性質(zhì)的認識。如下案例所示（如2所示）。觀察函數(shù)y=k/x（k≠0）的特殊圖像，分析其線條走勢和數(shù)字關(guān)系;當(dāng)k值為-8時，圖像如下圖2所示。

圖2?y=-8/x（k≠0）圖像

根據(jù)其圖像特征，現(xiàn)解題y=1/x（x>0）的不同坐標點和原點組成的三角形圖像關(guān)系面積。例如下圖3所示。

圖3?反比例函數(shù)案例圖

研究函數(shù)該類型問題要透視函數(shù)的本質(zhì)特征。反比例函數(shù)中，比例系數(shù)k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數(shù)圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積為。所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數(shù)。這個常數(shù)是k的絕對值。在解有關(guān)反比例函數(shù)的問題時，若能靈活運用反比例函數(shù)中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。此題可以從反比例函數(shù)定義，所有的類似圖像上圍成的三角形面積都應(yīng)該是相等的;其次，可采用取點計算面積對比可知，實際上，上圖△AOC和△BOD的面積經(jīng)過假設(shè)值帶入計算，其中A（1，1）;B（2，0.5）和原點圍成的三角形經(jīng)過計算面積也是相等的。

3. 反比例函數(shù)的應(yīng)用性價值

反比例函數(shù)是中學(xué)數(shù)理化習(xí)題中常用的技巧。例如物理課程中的速率計算等，這些知識關(guān)系到了初中中學(xué)學(xué)生的多學(xué)科發(fā)展，對學(xué)生的學(xué)習(xí)成長有重要的價值意義。在學(xué)習(xí)中，教師要注意學(xué)生的反比例函數(shù)的實際應(yīng)用，要引導(dǎo)學(xué)生積極掌握知識點重點內(nèi)容，不斷提煉函數(shù)的知識點，最終將其運用到多學(xué)科，生活中去。如下圖4教學(xué)案例可知。

假設(shè)A/B兩地的距離為S，求解以汽車從A到B勻速運動，此時汽油消耗量為x升每小時，需要學(xué)生求出兩地運輸距離的總耗油量y升和汽車行駛速度v關(guān)系是怎樣的。首先，學(xué)生要了解耗油量和速度之間的關(guān)系，其中行駛時間為h=S/v，耗油量是y=S/v*x，且所有的計算值都應(yīng)該是正值。經(jīng)過整合計算后可為y=S*x/v。答案如下圖4所示。

圖4?反比例函數(shù)例題答案

四、 結(jié)語

綜上所述，反比例函數(shù)和傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)方式不一樣，且圖形教學(xué)知識點并不是連貫的，教師在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生對知識點性質(zhì)的理解，關(guān)注反比例函數(shù)和其他函數(shù)之間的相關(guān)性，探討和圖像之間的關(guān)系，不斷鍛煉學(xué)生對知識點的掌握、理解能力，引導(dǎo)學(xué)生將知識推廣應(yīng)用與生活，最終提升數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量。

參考文獻：

[1]史紀鑫.課堂因生成而精彩：國培計劃（2019）甘肅省項目縣級教師培訓(xùn)團隊研修項目第二階段心得體會[J].教育革新，2019（12）：9-10.

[2]楊金洪.初中數(shù)學(xué)反比例函數(shù)的研究[J].中學(xué)課程資源，2020（2）：66-68+33.

作者簡介：

謝建寶，福建省龍巖市，福建省龍巖市上杭縣第三中學(xué)。