數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中知識(shí)的遷移

王泓權(quán) 王宇

摘 要：初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在研究?jī)?nèi)容、學(xué)習(xí)方法上的差異，初學(xué)者如何處理好高等數(shù)學(xué)時(shí)的過(guò)渡顯得尤為重要。通過(guò)5道證明題的解題思路，以“具體與抽象的辯證關(guān)系”“創(chuàng)新思維”為切入點(diǎn)，從中研究了知識(shí)遷移在學(xué)業(yè)過(guò)渡階段所起的作用，探討了以學(xué)生角度運(yùn)用知識(shí)遷移作用的意義、促進(jìn)遷移效果的方法，闡述了掌握抽象與具體的辯證關(guān)系需要知識(shí)遷移理論的支撐，提出了同化性遷移對(duì)于創(chuàng)新思維的引導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué);高等數(shù)學(xué);過(guò)渡;遷移

教育心理學(xué)所研究的學(xué)習(xí)遷移特指前一種學(xué)習(xí)對(duì)后一種學(xué)習(xí)的影響或者后一種學(xué)習(xí)對(duì)前一種學(xué)習(xí)的影響。

初學(xué)高等數(shù)學(xué)時(shí)，能夠處理好初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接問(wèn)題和知識(shí)的過(guò)渡可以為后續(xù)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。高等數(shù)學(xué)可以給初等數(shù)學(xué)的諸多定理合理地解釋，同時(shí)高等數(shù)學(xué)又離不開(kāi)初等數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)，筆者通過(guò)一道定理證明的5個(gè)互相關(guān)聯(lián)的證明方法解釋“具體與抽象的辯證關(guān)系”“創(chuàng)新思維”闡述知識(shí)的遷移作用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義。

一、具體到抽象——順向正遷移

題目：求證球體的體積公式：V球=4/3πR3

證明1：（中學(xué)知識(shí)證明）

已知半徑為R的球體的表面積公式為S=4πR2，在球表面隨機(jī)取一塊面積盡可能小的區(qū)域，區(qū)域面積設(shè)為s，因?yàn)槊娣e盡可能小，所以可以將曲面近似看作是平面，以該區(qū)域?yàn)榈酌娣e，到球心的距離為高（高近似為R）的立體圖形可以看作一個(gè)底面積為s，高為h的椎體，其體積為1/3Rs，在這整個(gè)球體的表面一共取了這樣n個(gè)小區(qū)域，有S=ns，所以整個(gè)V球=nV錐=1/3Rns=4/3πR3

證明2：（二重積分）

相比于證明2，證明1中使用的中學(xué)證明的方法相對(duì)來(lái)說(shuō)更加易于被中學(xué)生所理解。中學(xué)生的抽象概括能力有一定的局限性。在證明1中，積分區(qū)域是具體可視的球體。解決方法是分割法，物體的體積無(wú)法整體計(jì)算時(shí)就將其分割成小塊物體計(jì)算體積，而后求和。解法類似于切蛋糕，形象具體。這是學(xué)高等數(shù)學(xué)之前能夠掌握的方法。而證明2中的解法是積分，以二重積分作為工具，同樣運(yùn)用證明1中的切割組合的方法進(jìn)行計(jì)算。積分的推導(dǎo)過(guò)程就是先無(wú)限分割，再把這無(wú)限多份求和。

這種學(xué)習(xí)方法體現(xiàn)了正遷移的效果，正遷移是指一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)起到積極的促進(jìn)作用。在知識(shí)的遷移作用下，我們知道證明2中運(yùn)用到的微積分類似于“切蛋糕問(wèn)題”，更是拓展引申。遷移作用拉近了學(xué)生和新學(xué)知識(shí)的距離，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)、縝密的學(xué)科，前后知識(shí)相輔相成。那我們作為學(xué)生如何利用好正遷移來(lái)幫助自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呢？

（1）積極的學(xué)習(xí)態(tài)度是有利于知識(shí)的正遷移。斯卡特金主張“情感教育”，他說(shuō)過(guò)：“教育效果取決于學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。”只有學(xué)生有了興趣，不去畏懼那些定理和規(guī)律，會(huì)積極主動(dòng)地去探求、去思索、去學(xué)習(xí)。然而培養(yǎng)積極的學(xué)習(xí)態(tài)度不是老師或者家長(zhǎng)同學(xué)能決定的，自己能夠心無(wú)旁騖地去學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)會(huì)利用簡(jiǎn)單概念去嘗試?yán)斫鈴?fù)雜概念，就能夠找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

（2）把握章節(jié)的連貫性，抓住相同要素在不同章節(jié)之間的聯(lián)系和差異，善于觀察課后習(xí)題和課上例題之間的相同要素，過(guò)仔細(xì)琢磨老師講解例題時(shí)使用的方法、定理來(lái)解決課后習(xí)題。比如證明中定積分、二三重積分在計(jì)算時(shí)都需要定限，可是定限又有不同，是簡(jiǎn)單的數(shù)字定限或者是畫圖看投影定限，其中各自都有他們的差異點(diǎn)和相同點(diǎn)。

（3）培養(yǎng)抽象能力，數(shù)學(xué)所包含的抽象有解題方法的抽象，理論的抽象，符號(hào)的抽象。抽象能力是能夠把具體問(wèn)題抽象成可以進(jìn)行運(yùn)算的式子。培養(yǎng)抽象能力有助于培養(yǎng)創(chuàng)新性思維和概括能力，使得面對(duì)問(wèn)題時(shí)會(huì)主動(dòng)進(jìn)行思考分析，促進(jìn)知識(shí)遷移的實(shí)現(xiàn)。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中從具體到抽象是一種最基本的思維形式，也是數(shù)學(xué)研究的基本方向。順向遷移包含著從抽象到具體的思維方向，積極有效地順向遷移就是順向正遷移，我們應(yīng)當(dāng)正確認(rèn)識(shí)、把握利用這種積極的學(xué)習(xí)影響作用，才能夠有效防止負(fù)遷移，提高學(xué)習(xí)效率。

二、抽象到具體——逆向正遷移

數(shù)學(xué)中的抽象能力最終將歸屬于具體，因?yàn)榻鉀Q具體問(wèn)題、應(yīng)用于實(shí)踐才是數(shù)學(xué)研究的最終目的。在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中，僅有能力把具體轉(zhuǎn)化為抽象，感性認(rèn)知轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)知是不夠的。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法時(shí)（以證明2—4中的微積分應(yīng)用為例）如果能清楚地了解這樣的定積分、多重積分能夠解決的實(shí)際問(wèn)題、它們的幾何意義，掌握每個(gè)符號(hào)的具體含義，例如：（1）證明3中，定積分的幾何意義是求坐標(biāo)軸和被積函數(shù)所圍成的面積，題目是求證球的體積公式。所以定積分的旋轉(zhuǎn)體體積公式是將二維圖形轉(zhuǎn)化為三維圖形的工具。（2）證明2和4中，二重積分的幾何意義是投影面和積分曲面所圍成的體積。三重積分的幾何意義是求積分區(qū)域的體積。（3）不僅如此，重積分還可以應(yīng)用在物理實(shí)際問(wèn)題上，比如求磁通量、沖量。

經(jīng)過(guò)這樣具體的說(shuō)明，學(xué)生就能夠進(jìn)一步理解微積分這個(gè)概念。同時(shí)得知微積分這個(gè)工具可以用來(lái)解決諸多的問(wèn)題，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

這種把抽象化作具體的能力便是運(yùn)用到了逆向正遷移。經(jīng)過(guò)校園統(tǒng)計(jì)有部分學(xué)生在學(xué)習(xí)了一段時(shí)間的微積分之后甚至不知道微積分的用處，沒(méi)有把微積分當(dāng)作解題工具，而僅僅是為了學(xué)習(xí)微積分而去學(xué)習(xí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的時(shí)候去將其與具體的、易于理解的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，就可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。逆向遷移能夠使得已經(jīng)掌握的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)構(gòu)架得到補(bǔ)充。以下是筆者的兩點(diǎn)建議：（1）善于將新學(xué)習(xí)的抽象概念和知識(shí)點(diǎn)與已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的簡(jiǎn)單具體的概念聯(lián)系起來(lái)，加深理解。（2）定期做知識(shí)點(diǎn)、概念的總結(jié)，了解課本內(nèi)容中的知識(shí)結(jié)構(gòu)。（3）老師講課時(shí)一般會(huì)用較為簡(jiǎn)單、具體的語(yǔ)言來(lái)解釋較難理解的內(nèi)容，所以上課聽(tīng)講比課后自己吸收相對(duì)容易簡(jiǎn)單。

在學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生常常偏重于順向遷移，忽略逆向遷移。按部就班地學(xué)習(xí)模式不會(huì)提高學(xué)習(xí)效率。我們既需要順向正遷移的發(fā)生，也要逆向正遷移的發(fā)生。

三、創(chuàng)新思維——同化性遷移

證明5是利用證明2中二重積分的方法來(lái)解證明3中三重積分的題。對(duì)于求球體的體積來(lái)說(shuō)，證明5的方法顯得復(fù)雜。然而，對(duì)于一些不易畫出立體積分區(qū)域或是定限容易出錯(cuò)的題，使用這種方法即可避免畫積分區(qū)域這一步驟。我們探索后得知在求三重積分的題目時(shí)，不一定就要按部就班地直接解題，仍然可以運(yùn)用已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)和創(chuàng)新思維來(lái)解決新的問(wèn)題。

證明5中僅用二重積分的知識(shí)解決三重積分的題目便屬于同化性遷移。同化性遷移是不改變?cè)姓J(rèn)知的前提下，將已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用到本質(zhì)相同的新事物上或?qū)⑵涮砑舆M(jìn)原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中。

同化性遷移整個(gè)過(guò)程分為三個(gè)相輔相成、前后關(guān)聯(lián)的步驟：（1）了解題目的條件和問(wèn)題，對(duì)題目的情境和性質(zhì)進(jìn)行初步的認(rèn)知。（證明5中的已知條件和求解問(wèn)題都相對(duì)于簡(jiǎn)單。我們?cè)谶@里將積分區(qū)域Ω假設(shè)成不易畫出的立體圖形;問(wèn)題是求其體積。）（2）將已有的認(rèn)知、經(jīng)驗(yàn)與將要求解的題目相聯(lián)系的過(guò)程。（在不畫出立體圖形的前提下，探討如何將已有的知識(shí)構(gòu)架和題目結(jié)合起來(lái)。）（3）分析遷移題目和可用的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)，探究它們的共有特征，進(jìn)一步分析共有特征對(duì)于解題的幫助。在適當(dāng)?shù)念}目變化之中，構(gòu)造與原知識(shí)系統(tǒng)相對(duì)應(yīng)的解題過(guò)程。（想法1：二重積分的幾何意義也可用于求體積。想法2：看所求體積是否關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，若對(duì)稱還可以用定積分旋轉(zhuǎn)體體積公式。）

遷移并非都是一次完成的，有時(shí)需要反復(fù)嘗試，反復(fù)熟練。三個(gè)相關(guān)聯(lián)的步驟一般也是反復(fù)、交叉的，主動(dòng)地探究問(wèn)題比接受老師的“灌溉”更有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)習(xí)上的主動(dòng)積極也不是僅憑老師的一己之力就能調(diào)動(dòng)的，反復(fù)地去體會(huì)“遇到問(wèn)題-思考問(wèn)題-解決問(wèn)題”這一循環(huán)，將促進(jìn)學(xué)習(xí)上的遷移效果、培養(yǎng)思維以及鍛煉能力。

四、結(jié)論

知識(shí)遷移是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中重要的現(xiàn)象之一，也是將“目標(biāo)知識(shí)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟?nèi)化知識(shí)”的有效途徑。初學(xué)高等數(shù)學(xué)時(shí)，充分利用知識(shí)遷移這一規(guī)律將有利于適應(yīng)從中學(xué)的“大眾數(shù)學(xué)”到“高等數(shù)學(xué)”的過(guò)渡、提高學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

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作者簡(jiǎn)介：王泓權(quán)（2000—），男，漢族，江蘇鹽城人，2018級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，研究方向：數(shù)學(xué)教育;王宇（1976—），男，漢族，陜西岐山人，碩士，講師，主要從事課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)學(xué)科）。