焦鳳英

[摘? 要] 以“拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程”一課為例，展示了圍繞矛盾沖突開(kāi)展自主探究教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程. 教學(xué)實(shí)踐說(shuō)明，從理解教材與學(xué)生出發(fā)制造矛盾沖突，可以引發(fā)自主探究，強(qiáng)化理性認(rèn)知，將探究引向深入，孕育核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 矛盾沖突;自主探究;教學(xué)反思

新課改風(fēng)向標(biāo)下，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的定位經(jīng)歷了從“知識(shí)本位”“教師本位”到“學(xué)生主體”“引導(dǎo)探究”的轉(zhuǎn)變，自主探究在數(shù)學(xué)教學(xué)中提升到前所未有的高度. 自主探究式教學(xué)是課程改革的理想選擇，為學(xué)生發(fā)展提供了最大的空間，自主探究的活動(dòng)必須與問(wèn)題相結(jié)合，以矛盾沖突來(lái)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而維持學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，以問(wèn)題為導(dǎo)線(xiàn)讓學(xué)生去思考和探究，讓學(xué)生在矛盾沖突中探究，在實(shí)踐活動(dòng)中探究，從而使得數(shù)學(xué)教學(xué)煥發(fā)生機(jī)勃勃的活力，產(chǎn)生生機(jī)盎然的效力. 因此，圍繞矛盾沖突開(kāi)展的自主探究教學(xué)設(shè)計(jì)顯得尤為重要. 本文擬結(jié)合“拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)歷程，談?wù)劰P者的一些思考，供大家參考.

拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)過(guò)程

1. 情境引入

問(wèn)題1：如圖1，在一張16K的白紙上距離底邊一定的距離處取一點(diǎn)F，再將這張白紙重復(fù)折疊20-30次，使得每次底邊所在的邊始終過(guò)點(diǎn)F，并形成一系列折痕. 觀察所有折痕所圍的輪廓，并試著用光滑的曲線(xiàn)連接起來(lái)，使其相切于折痕，則形成的曲線(xiàn)是什么？

生：拋物線(xiàn).

師（追問(wèn)）：如何說(shuō)明呢？

生1：首先，底邊與點(diǎn)F可確定一條拋物線(xiàn). 那么如圖2，我們可以設(shè)拋物線(xiàn)為C. 由于是折紙的活動(dòng)，那么即可在該直線(xiàn)的底邊上作出點(diǎn)F關(guān)于折痕對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)M，再過(guò)點(diǎn)M作MP⊥底邊，且與折痕相交于點(diǎn)P. 據(jù)對(duì)稱(chēng)原理，可知PF=PM，即點(diǎn)P到定底與定點(diǎn)F的距離相等，從而點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C上. 進(jìn)一步地，再在折痕上取另一點(diǎn)P′（異于點(diǎn)P），易知FP′≠P′N(xiāo)，從而點(diǎn)P′不在拋物線(xiàn)C上. 那么，折痕與拋物線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)，則折痕即為拋物線(xiàn)C的一條切線(xiàn)，從而，折紙過(guò)程中得到的每一條折痕均為拋物線(xiàn)C的切線(xiàn)，多條切線(xiàn)將拋物線(xiàn)C圍住，使得拋物線(xiàn)的輪廓一覽無(wú)遺.

問(wèn)題2：日常生活中，我們遇到過(guò)哪些拋物線(xiàn)呢？過(guò)去的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中呢？

生2：籃球課上，投三分球就是拋物線(xiàn). （開(kāi)始表演投籃動(dòng)作）

生3：在公園經(jīng)?？梢孕蕾p到噴泉，它就是拋物線(xiàn)，形狀是……（一邊手舞足蹈地進(jìn)行比畫(huà)）

生4：投實(shí)心球過(guò)程中形成的軌跡就是拋物線(xiàn)，體育老師經(jīng)常說(shuō)，如果無(wú)法形成拋物線(xiàn)就投擲不到規(guī)定的遠(yuǎn)度.

……

師：你們所說(shuō)的都是物體運(yùn)動(dòng)的軌跡，自然也是拋物線(xiàn)的一部分，大家的演示很形象. 還有嗎？

生5：太陽(yáng)灶軸截面的外輪廓線(xiàn).

生6：二次函數(shù)的圖像.

……

師：從大家的認(rèn)識(shí)來(lái)看，不管是日常生活方面，還是科學(xué)技術(shù)層面，抑或是數(shù)學(xué)學(xué)科本身，拋物線(xiàn)的應(yīng)用十分廣泛，值得我們一起深入探究. （板書(shū)課題）

2. 逐步探索

師（拾級(jí)而上）：那誰(shuí)能闡述一下拋物線(xiàn)的定義呢？（學(xué)生在回憶和討論之后，很快完整復(fù)述出拋物線(xiàn)的定義）

師：闡述得十分準(zhǔn)確，那我們一起再來(lái)看看拋物線(xiàn)是如何形成的. （利用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示）

師（追問(wèn)）：大家觀察拋物線(xiàn)上的所有點(diǎn)，你認(rèn)為哪個(gè)點(diǎn)最為特殊？為什么？

生7：應(yīng)該是它的頂點(diǎn). 因?yàn)樗嵌c(diǎn)F到定直線(xiàn)垂線(xiàn)段的中點(diǎn).

問(wèn)題3：生6剛才所提的“二次函數(shù)的圖像”，如y= x2，誰(shuí)能利用定義法予以證明？

師：?jiǎn)栴}3在本質(zhì)上就是找尋出y= x2相應(yīng)的定點(diǎn)與定直線(xiàn). 二次函數(shù)的解析式與拋物線(xiàn)方程在某種程度上高度一致，而此處無(wú)法直接根據(jù)解析式探求定點(diǎn)和定直線(xiàn)，主要源于方程建立過(guò)程缺失，而今天這節(jié)課我們主要探究的就是此問(wèn)題.

3. 類(lèi)比完善

問(wèn)題4：說(shuō)一說(shuō)拋物線(xiàn)方程的建立步驟.

師（點(diǎn)撥）：我們可以先來(lái)回憶一下建立曲線(xiàn)方程的一般步驟. （學(xué)生一邊思考，一邊闡述，各個(gè)情緒高漲）

師：焦點(diǎn)F與準(zhǔn)線(xiàn)l的距離p大于0，對(duì)此該如何建系呢？（這一問(wèn)題有些難度，學(xué)生開(kāi)始小聲討論，很快得出圖3所示的建系方式）

師：請(qǐng)進(jìn)一步分別探求它們的方程.

生8：（1）以準(zhǔn)線(xiàn)為y軸： =x？圯y2=2px-p2;

（2）以焦點(diǎn)為原點(diǎn)： =x+p？圯y2=2px+p2;

（3）以頂點(diǎn)為原點(diǎn)： =x+ ？圯y2=2px.

師：以上三個(gè)方程有何特征，你認(rèn)為哪一個(gè)最簡(jiǎn)潔？

生9：方程（1）和（2）都包含常數(shù)項(xiàng)，而方程（3）是最簡(jiǎn)潔的形式.

師：為什么方程（3）最簡(jiǎn)潔呢？

生10：頂點(diǎn)在原點(diǎn)，又無(wú)常數(shù)項(xiàng)，自然簡(jiǎn)潔.

師：數(shù)學(xué)學(xué)科不僅追求邏輯美，最重要的就是追求簡(jiǎn)潔美，因此將y2=2px稱(chēng)為拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是符合學(xué)科特點(diǎn)的.

4. 鞏固應(yīng)用

問(wèn)題5：類(lèi)比橢圓和雙曲線(xiàn)，二者均有兩種形式的方程，其他拋物線(xiàn)方程呢？請(qǐng)?jiān)囍瓿杀?.

問(wèn)題6：說(shuō)一說(shuō)表1中的4個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程有何共同點(diǎn)？該如何記憶呢？（學(xué)生又一次展開(kāi)火熱的討論，師生共同總結(jié)得出以下口訣“一次定焦點(diǎn)，正負(fù)定方向”）

師：再次回到問(wèn)題3中的拋物線(xiàn)y= x2，焦點(diǎn)F是什么？準(zhǔn)線(xiàn)l呢？

生11：焦點(diǎn)F為0， .

生12：事實(shí)上，y= x2并非其標(biāo)準(zhǔn)形式，標(biāo)準(zhǔn)形式應(yīng)為x2=4y，從而焦點(diǎn)F為（0，1）. （其余學(xué)生恍然大悟，教師連連點(diǎn)頭稱(chēng)贊，與此同時(shí)，學(xué)生都對(duì)初中的二次函數(shù)圖像有了更深層次的認(rèn)識(shí)）

5. 課堂小結(jié)（略）

教學(xué)反思感悟

本節(jié)課中，學(xué)生在教師的引導(dǎo)和點(diǎn)撥之下，逐步發(fā)現(xiàn)并研究了拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，經(jīng)歷了知識(shí)探究和形成的過(guò)程，深刻體驗(yàn)到自主探究的快樂(lè)與辛苦，激起了濃厚的學(xué)習(xí)興趣. 同時(shí)，以矛盾沖突驅(qū)動(dòng)課堂，促使學(xué)生去思考、去發(fā)現(xiàn)、去類(lèi)比、去驗(yàn)證，在活動(dòng)中學(xué)習(xí)，在合作中發(fā)現(xiàn)，在探究中創(chuàng)新，在體驗(yàn)中生成. 縱觀整節(jié)課的教學(xué)效果，可以發(fā)現(xiàn)以上教學(xué)過(guò)程不僅十分熱鬧，還自然流暢，教師善于制造矛盾沖突，提出的問(wèn)題具有豐富的思考價(jià)值，激起了學(xué)生的真正思考，學(xué)生的探究也逐步深入，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)自然水到渠成[1].

1. 從理解教材與學(xué)生出發(fā)制造矛盾沖突

學(xué)習(xí)的主體是學(xué)生，教師在理解教材的基礎(chǔ)上，需要了解學(xué)生，了解他們的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，了解他們的原有能力水平，了解他們的喜好，進(jìn)而制造矛盾沖突，通過(guò)一個(gè)又一個(gè)的“疑惑”將學(xué)生逐步引入知識(shí)殿堂，從而提升課堂效率. 本課中，教師根據(jù)教材中的操作問(wèn)題進(jìn)行改編，以折紙問(wèn)題引發(fā)數(shù)學(xué)活動(dòng)，并輔以幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生獲取足夠豐富的活動(dòng)體驗(yàn)[2]. 當(dāng)然，倘若此處教師能讓每個(gè)學(xué)生都能參與到“折拋物線(xiàn)”的活動(dòng)中去，則可以讓學(xué)生獲得更為深刻的體驗(yàn). 由此可以看出，這里的問(wèn)題并非泛泛的問(wèn)題，也并非為了追求熱鬧氣氛而設(shè)計(jì)的簡(jiǎn)單問(wèn)題，而是真實(shí)的問(wèn)題，是教師在理解教材與學(xué)生的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，充分揭示了知識(shí)的本質(zhì)，讓學(xué)生的思維得到鍛煉.

2. 自主探究孕育核心素養(yǎng)

縱觀當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂，很多時(shí)候都是為探究而探究，為展示而探究，這樣的探究是低效的偽探究，這樣的探究活動(dòng)下，學(xué)生獲得的僅僅是問(wèn)題的解決，卻無(wú)法獲取寶貴的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和科學(xué)研究的方法. 本課中，學(xué)生始終扮演探索者的角色，處于探索研究的狀態(tài)，參與數(shù)學(xué)概念創(chuàng)建的過(guò)程，感受數(shù)學(xué)概念發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程，以數(shù)學(xué)家的思想解決問(wèn)題，從而更好地錘煉了數(shù)學(xué)理性精神，數(shù)學(xué)推理、邏輯思維能力得到進(jìn)一步提升，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，從而使得學(xué)生終身受益.

結(jié)束語(yǔ)

總之，教學(xué)離不開(kāi)探究，數(shù)學(xué)教育需要培養(yǎng)學(xué)習(xí)者創(chuàng)造知識(shí)的能力. 對(duì)于教師而言，在理解教材和學(xué)生的基礎(chǔ)上制造矛盾沖突，可以激發(fā)學(xué)生的自主探究，錘煉學(xué)生的思維;對(duì)于學(xué)生而言，自主探究不僅是學(xué)力增長(zhǎng)的過(guò)程，更是一種體驗(yàn)，自主探究的過(guò)程是培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要渠道. 學(xué)生從中收獲的不僅僅是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)、一個(gè)概念、一個(gè)問(wèn)題，更是一種主動(dòng)探究的精神.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 陳芳. 橫看成嶺側(cè)成峰 遠(yuǎn)近高低各不同——初中數(shù)學(xué)教學(xué)中多維度培養(yǎng)學(xué)生探究學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究[J]. 學(xué)周刊，2012（14）.

[2]? 潘冬花. 高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)開(kāi)展小組合作學(xué)習(xí)的有效策略[J]. 河北理科教學(xué)研究，2008（06）.