仲崇梅

[摘? 要] 可視化的數(shù)學(xué)教學(xué)能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助多元表征，諸如操作性表征、工具性表征以及圖形化表征，引導(dǎo)學(xué)生的可視化學(xué)習(xí)。可視化學(xué)習(xí)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觸手可及、動態(tài)展現(xiàn)、有跡可循。可視化教學(xué)能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生、深度發(fā)生。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);可視化教學(xué);多元表征

數(shù)學(xué)是一門抽象的科學(xué)，小學(xué)生的思維是以直觀形象思維為主。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師必須加強可視化教學(xué)，以便讓抽象的數(shù)學(xué)知識直觀化、形象化，讓隱性的數(shù)學(xué)知識顯性化，讓學(xué)生不可視的思維可視化?？梢暬虒W(xué)的手段、方式、方法是多樣化的，既可以引導(dǎo)學(xué)生動手操作，也可以引導(dǎo)學(xué)生借助新媒體新技術(shù)工具，還可以借助圖表、圖形、圖像等。通過可視化教學(xué)，能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

一、操作性表征：讓學(xué)習(xí)觸“手”可及

工欲善其事，必先利其器?？梢暬臄?shù)學(xué)教學(xué)，可以借助出聲的言語表達思維，也可以借助外顯的動作表達思維。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生“既動手”“又動腦”，從而緊貼學(xué)生學(xué)習(xí)心理設(shè)計、研發(fā)教學(xué)。操作性表征，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觸“手”可及，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)智慧從指間上跳出來。正如陶行知先生所說，“動手又動腦，才能有創(chuàng)造”。操作性表征，開辟了學(xué)生用手思考問題的道路。

操作性表征，就是要讓學(xué)生將數(shù)學(xué)知識“做”出來。做，從某種意義上說，是一種直接感受、體驗的思維方式。一方面，操作為學(xué)生的數(shù)學(xué)思維提供了外援幫助;另一方面，思維為學(xué)生的動手做活動提供了內(nèi)援支撐。通過“做數(shù)學(xué)”，不僅能讓學(xué)生掌握知識，更能讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，感悟數(shù)學(xué)思想和方法。比如教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”（蘇教版四年級下冊），學(xué)生借助結(jié)構(gòu)化的素材——“不同規(guī)格的小棒”，拼搭三角形。在動手做的過程中，學(xué)生不僅發(fā)現(xiàn)了“兩根小棒的長度和必須大于第三根小棒的長度，三根小棒才能圍成三角形”，而且發(fā)現(xiàn)了圍成三角形的“小秘密”，即“三根小棒要‘拱起來”。有學(xué)生在動手做的過程中，與同組的學(xué)生圍成的三角形進行比較，進而發(fā)現(xiàn)了“三角形的穩(wěn)定性”，即“三根小棒的長度確定了，三角形的形狀和大小也就確定了”。由此，萌發(fā)了學(xué)生對“全等三角形”的深度探索。有學(xué)生認為，圍成的兩個三角形的三根小棒的長度相等，兩個三角形就完全相同;有學(xué)生說，圍成三角形的兩根小棒的長度相等，它們的夾角相等，兩個三角形也完全相同;還有學(xué)生說，圍成三角形的三個角都相等，兩個三角形不一定完全相同;有學(xué)生迅速補充，圍成三角形的三個角相等，只要再加上一條邊相等，三角形就完全相同，等等。這樣的操作探索、表征，不正是“全等三角形”“相似三角形”的條件的一種主動發(fā)現(xiàn)、建構(gòu)嗎？

“動手做”不僅是一種動手能力的體現(xiàn)，更是思維活動方式的體驗。在動手做的過程中，學(xué)生不僅能感受、體驗到操作性的快樂，更能感受到思維性的快樂。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生“做數(shù)學(xué)”，在觀察、操作、實驗、演示等具身性活動中，讓學(xué)生研究路徑顯性化。直觀操作有助學(xué)生思維的形成，同時思維的形成又能反哺學(xué)生操作。操作性表征，能讓學(xué)生形成“做思共生”的學(xué)習(xí)樣態(tài)。

二、工具性表征：讓學(xué)習(xí)“動”態(tài)展現(xiàn)

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅可以運用傳統(tǒng)的可視化學(xué)習(xí)工具，如粉筆、白板等，而且可以運用現(xiàn)代信息技術(shù)工具?，F(xiàn)代信息技術(shù)往往集“數(shù)、形、表”于一體。充分運用現(xiàn)代媒體技術(shù)，能將不可視的數(shù)學(xué)知識可視化，進而能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識展開深入而細致的思考，獲得替代性感受、體驗。在“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，教師可以借助網(wǎng)絡(luò)資源，包括圖片、視聽、動畫等媒體資源，對數(shù)學(xué)知識進行模擬、演示、詮釋等。通過新媒體、新技術(shù)的應(yīng)用，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識背后的本質(zhì)，體會到數(shù)學(xué)知識是清晰的、自然的、水到渠成的。工具性表征，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“動”態(tài)展現(xiàn)。作為教師，要注重數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)滲透、融入，從而促進學(xué)生的數(shù)學(xué)知識理解，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用。

比如教學(xué)“圓的周長”（蘇教版五年級下冊），很多教師都喜歡帶上圓形物體，引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗“滾圓”“繞圓”的方式或方法測量圓的周長。這樣的導(dǎo)入方式，容易讓學(xué)生滋生這樣的疑問：既然我們可以通過滾圓、繞圓等多種方法去測定圓的周長，我們?yōu)槭裁匆骄繄A的周長和直徑之間的關(guān)系呢？筆者在教學(xué)中，也向?qū)W生展示了圓在生活中的原型、模型等素材，但更為重要的是，筆者通過新媒體新技術(shù)，展示了一個動態(tài)的“軌跡圓”。這樣的展示，生發(fā)出學(xué)生的認知沖突，即圓的周長不能依賴于實驗，而必須通過實驗探究周長與直徑、半徑的關(guān)系。在實驗的過程中，學(xué)生可以借助傳統(tǒng)工具測量圓的周長，然后借助新媒體新技術(shù)統(tǒng)計學(xué)生的實驗數(shù)據(jù)，匯總學(xué)生的實驗數(shù)據(jù)，即時顯示圓的周長實驗數(shù)據(jù)與直徑測量數(shù)據(jù)、半徑測量數(shù)據(jù)的商，等等。通過數(shù)據(jù)的即時顯現(xiàn)，學(xué)生能夠認識到圓周率是一個特殊的數(shù)，即圓周率是一個無限不循環(huán)小數(shù)。借助新媒體新技術(shù)，可以讓圓周率的計算更為精確、精準。教學(xué)中，教師還可以運用多媒體技術(shù)還原展示劉徽的割圓術(shù)，從“圓的內(nèi)接正六邊形”到“內(nèi)接正十二邊形”“內(nèi)接正二十四邊形”等，隨著分割的邊數(shù)越來越多，正多邊形越來越接近圓。這里，新媒體新技術(shù)能讓學(xué)生直觀地感受、體驗到極限思想。

傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)工具用起來簡單、直觀、方便，現(xiàn)代的學(xué)習(xí)工具能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更為精確、更為精準、更有趣味性。隨著時代發(fā)展，電子化工具越來越多，從多媒體課件到微課、從Flash動畫到幾何畫板，從手機到平板電腦等，學(xué)生的學(xué)習(xí)工具越來越豐富、越來越多元，交互性越來越強，功能越來越強大。很多原來學(xué)生無法直觀感知的數(shù)學(xué)知識都可以動態(tài)地顯現(xiàn)，很多原來看不見的學(xué)生的思維都能看到。

三、圖形化表征：讓學(xué)習(xí)有跡可循

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分運用圖示、圖式，包括思維導(dǎo)圖、板書、表格、記錄單、知識結(jié)構(gòu)圖等進行可視化教學(xué)。數(shù)學(xué)的知識是體系化的，既有基本的知識點、概念的教學(xué)，又有方法類型的概括。借助知識框架圖，能讓數(shù)學(xué)知識集結(jié)起來，建構(gòu)知識塊、知識串、知識群，讓知識成為一種結(jié)構(gòu)化的載體。正如法國數(shù)學(xué)家笛卡爾所說：“沒有任何東西會比幾何圖形更能簡單直接地引入腦海，用圖形表達事物是很有幫助的。”

圖形化表征，主要訴諸學(xué)生的感官，尤其是視覺感官。通過圖形化表征，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠有跡可循。在圖形化表征中，抽象的代數(shù)問題能夠幾何化，復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題能夠直觀化、形象化、簡單化。圖形化表征，能敞亮學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，在客觀的數(shù)學(xué)知識與學(xué)生的主觀心智之間搭建一座橋梁，從而讓隱藏在數(shù)學(xué)知識背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)、思想和方法、文化精神等都顯現(xiàn)出來。作為教師，不僅要引導(dǎo)學(xué)生識圖，更要引導(dǎo)學(xué)生制圖、建圖、創(chuàng)圖，讓圖能歸納知識，進行知識表達。比如在學(xué)生學(xué)完了“因數(shù)和倍數(shù)”（蘇教版五年級下冊）這一部分內(nèi)容后，教師可以通過知識結(jié)構(gòu)圖、框架圖、思維導(dǎo)圖等，引導(dǎo)學(xué)生追溯知識的源流。將本單元的相關(guān)數(shù)學(xué)概念如“因數(shù)與倍數(shù)”“2、3、5的倍數(shù)的特征”“奇數(shù)和偶數(shù)”“公因數(shù)與公倍數(shù)”“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”“互質(zhì)數(shù)”“最大公因數(shù)”“最小公倍數(shù)”等相關(guān)概念融入其中，厘清概念的種屬關(guān)系，把握每個數(shù)學(xué)概念的上位概念和下位概念等。通過圖形化表征，相關(guān)的、相似的、相對的、相反的數(shù)學(xué)知識能夠被有效地集聚，從而建構(gòu)了一個數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。這樣的知識結(jié)構(gòu)不僅能讓學(xué)生回望已有的知識，更能讓學(xué)生探索未知的知識，從而為發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。

古希臘智者派的主要代表人物普羅泰戈拉說：“頭腦不是一個要被填滿的容器，而是一把需要被點燃的火把。”借助圖式化表征，不僅能將抽象的數(shù)量問題具象化，讓學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)性理解，而且能讓學(xué)生把握數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)，獲得對數(shù)學(xué)知識的關(guān)系性理解。圖形化表征，是學(xué)生可視化學(xué)習(xí)的一個重要手段、方式和方法，能開掘?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛質(zhì)，展現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

可視化的學(xué)習(xí)手段是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“路線圖”，也是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“導(dǎo)航儀”，更是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“風(fēng)向標”。借助操作性表征、工具性表征和圖形化表征，能引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)認知從低階走向高階。當然，教學(xué)中教師也要力避學(xué)生對可視化學(xué)習(xí)工具的依賴，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能超越可視化的學(xué)習(xí)工具，從而培育學(xué)生的抽象性思維。可視化的數(shù)學(xué)教學(xué)不僅能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生，而且能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度發(fā)生。