追根溯源　打通聯(lián)系　構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

陳瑛

【摘 要】總復習課，既要“溫故”，更要“知新”，貴在“生長”。筆者嘗試打破復習課“梳理知識結(jié)構(gòu)+練習鞏固”的固有格局，將練習融入知識梳理中，引導學生追根溯源、打通聯(lián)系、構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，讓知識更具結(jié)構(gòu)化，更有生長性。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學 立體圖形 總復習

一、畫圖表征，追根溯源

1.導圖梳理引思考

課前，學生對立體圖形的表面積和體積的知識進行了自主梳理，將其畫成了思維導圖，并把相關(guān)知識融入、濃縮到圖中，甚至還有學生查閱資料，拓展了圓錐表面積的計算公式，并且對圓柱表面積的新算法進行了補充。遺憾的是，極少有學生嘗試去打通這些已有知識之間的聯(lián)系，更難看到知識的產(chǎn)生和推導過程。

從學生的思維導圖中可以看出，學生對表面積和體積的認識還停留在一個個零散的點狀知識上，并未對知識的本質(zhì)進行勾連，也極少有知識的生長。很少有學生關(guān)注體積是如何推導出來的，要打通立體圖形之間的聯(lián)系，體積的本質(zhì)屬性一定要通透。

2.畫圖表征凸本質(zhì)

為此，筆者將課前梳理設(shè)計成畫示意圖說明如何求給定數(shù)據(jù)的立體圖形的體積，學生在課前進行回顧與梳理，畫出體積推導過程，用圖進行表征。圖畫出來了，學生對體積的理解就更深刻了。

在這個教學環(huán)節(jié)中，筆者看到了學生活學活用的樣態(tài)，通過回憶、整理、交流，從不同角度闡釋了這些立體圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，直觀形象地呈現(xiàn)了體積公式的推導過程。如此，“透視”了知識的核心，從知識本質(zhì)處深入，不僅回顧舊知，還通過內(nèi)化和還原，促進學生對知識的理解，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，感悟了數(shù)學思想。

二、打通聯(lián)系，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)

立體圖形表面積和體積的學習分散在六年級上、下兩冊的教學上，學生較少關(guān)注知識間的關(guān)聯(lián)。但長方體、正方體和圓柱都是直柱體，知識之間存在著一致性。六年級下冊的總復習課，若要打通知識間的聯(lián)系，關(guān)鍵在“統(tǒng)”。

1.一統(tǒng)體積：凸顯本質(zhì)

總復習課，要打通知識間的聯(lián)系，構(gòu)建完整的知識體系。學生通過梳理，打通長方體、正方體和圓柱體積之間的內(nèi)在聯(lián)系，實現(xiàn)統(tǒng)一的體積計算，學生的點狀知識已在潛移默化中串成了線，并逐漸形成知識網(wǎng)。

長方體和正方體的體積都是求有多少個這樣的體積單位，可以先算一層，再乘層數(shù)，即底面積乘高。圓柱通過轉(zhuǎn)化變成近似的長方體，也可以理解為求多少個這樣的體積單位，同樣可以用底面積乘高來計算。這個過程實現(xiàn)了體積計算的統(tǒng)一，這個統(tǒng)一的過程是建立在學生已有的認知基礎(chǔ)之上，并衍生新的認識，將三個體積計算公式化歸成一個，甚至從這一個公式可以繼續(xù)生長成多個立體圖形的體積計算公式。

2.二統(tǒng)側(cè)面：實踐拓展

筆者用一張A4紙，用同樣的彩紙，做出無底面的長方體和圓柱，打通側(cè)面積、表面積之間的聯(lián)系，同時進行拓展延伸，為第三學段的學習埋下知識生長的種子。

小組合作，用彩紙做圓柱和長方體。要求：不改變紙的大小，不能有重疊，做出盡可能多的不同形狀的圓柱和長方體。

師：先來說說圓柱吧。

生1（邊說邊做）：卷一下就可以了。

師：兩種不同的方式，卷出了沒有底面的圓柱，它們有什么相同的地方嗎？

生2：側(cè)面積一樣，都是這張長方形紙的面積。

師：你是怎么做長方體的？在做的時候要注意什么？

生3：可以將一條邊對折再對折，平均分成4份，折出長方體。

師：這種方式折出來的長方體有什么共同點？

生3：側(cè)面積一樣。有兩個面都是正方形，其余四個面完全相同。

師：有沒有不是平均分，但是也做成長方體的？

生4：只要兩條長一樣，兩條寬一樣，就可以折成長方體。

師：這些長方體大小、形狀不一樣，有沒有相同的地方？

生5：側(cè)面積相同，因為是同一張紙折成的。

師：剛才我們用同樣的彩紙，做出了不同的長方體和圓柱，它們之間有聯(lián)系嗎？（側(cè)面積相同）它們的側(cè)面展開又分別是什么？長方形的長是這個立體圖形的？（底面周長）寬呢？（高）

（教具演示）換種做法，一條邊是這個立體圖形的底面周長，另一條邊就是它的高。

（討論得出：側(cè)面積=底面周長×高）

整個活動過程，不僅對小學階段的立體圖形進行了梳理，同時進行了拓展和延伸，為第三學段進行鋪墊，讓知識有生長點。學生通過一張A4紙，在卷一卷、折一折等活動中，逐漸理解長方體和圓柱的側(cè)面積與這張A4紙之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其中蘊藏的奧秘，統(tǒng)一側(cè)面積的計算方法。在此過程中，主動建構(gòu)結(jié)構(gòu)化、可遷移的認知系統(tǒng)，學生在做中學、做中悟、做中思，培養(yǎng)了類比推理的能力。

3.三統(tǒng)表面：完善體系

學生經(jīng)歷兩次“統(tǒng)”的過程，已有了“統(tǒng)”的意識和經(jīng)驗，因此，對于第三次“統(tǒng)”，筆者放手讓學生大膽猜測，發(fā)掘經(jīng)驗，嘗試獨立發(fā)現(xiàn)和歸納，產(chǎn)生新的結(jié)構(gòu)，充分突顯主體性。

師：既然長方體、正方體、圓柱的體積和側(cè)面積我們都找到統(tǒng)一的公式來計算，它們的表面積也能用同一個公式表達嗎？你認為是什么？

（表面積=側(cè)面積+底面積×2）

師：在解決表面積的實際問題時，一定是用一個側(cè)面積加兩個底面積嗎？

（1）一側(cè)無底

（呈現(xiàn)學生作品）現(xiàn)在這個圓柱、長方體的表面積指的是什么？（側(cè)面積）生活中有這樣的情況嗎？

生（舉例）：通風管，壓路機壓路的面積……

（2）一側(cè)一底

如果給這個圓柱或長方體或正方體配一個底面，它的表面積是指什么？

這是我們解決過的哪類問題？（無蓋水桶、游泳池、魚缸等）

（3）一側(cè)兩底

配兩個底面呢，現(xiàn)在表面積又是什么？

立體圖形的表面積在生活中并不一定都是用一個側(cè)面積+兩個底面積，這一環(huán)節(jié)，看似無意卻有意，看似無題卻多題。學生經(jīng)歷了觀察、想象、舉例、遷移等過程，在以后的解題中，會有意識地從題目本身出發(fā)，發(fā)掘本質(zhì)，準確辨別這是哪一類問題。

4.創(chuàng)作圖形：拓展延伸

師：用這張彩紙，你還能做出其他立體圖形嗎？

（生獨立創(chuàng)作，全班交流）

師：仔細觀察這些立體圖形，有什么特點？（引出直柱體）

師：你認為直柱體還可以長成什么樣子？ 這些直柱體在計算側(cè)面積、表面積和體積時，有統(tǒng)一的方法嗎？

生1：因為都是同一張紙做的，它們的側(cè)面積相同。

生2：表面積都是一個側(cè)面積+兩個底面積。

生3：體積是底面積乘高。

師：體積是否一定這樣計算？老師給同學們打個問號，任何結(jié)論都需要大膽猜想，小心求證，直柱體的體積計算留給愛思考的同學課后去推導求證，相信你一定會有所發(fā)現(xiàn)。

一張A4彩紙，學生通過動手操作，可以變成認識的或者是不認識的立體圖形，可以解決現(xiàn)在能解決的問題，甚至是未來能解決的問題。既有基礎(chǔ)圖形的操作，又打開了學生的腦洞，還可以折更多的直柱體。立體圖形體積、表面積、側(cè)面積的計算公式分別從多個統(tǒng)一成了一個，又從一向多進行了拓展，這樣的學習對學生來說是有生長性的，這是新的認知結(jié)構(gòu)構(gòu)建的過程。

三、精選練習，深度理解

練習鞏固是形成知識結(jié)構(gòu)和發(fā)展學生能力的重要環(huán)節(jié)。本課側(cè)重于知識的梳理和打通，練習的設(shè)計貫穿于活動中，并進行了整合和提煉，既有保底的鞏固，又有思維的拓展，體現(xiàn)知識間的勾連，幫助學生深度理解與應用，提升數(shù)學素養(yǎng)。

練習1：如圖，以長方形紙的邊a作底面周長，邊b作高，分別可以圍成一個長方體、正方體和圓柱體紙筒，再分別給它們另作一個底面。

（1）它們的側(cè)面積相比，（ ? ? ? ）。

（2）它們的表面積相比，（ ? ? ? ）。

（3）它們的體積相比，（ ? ? ? ）。

A.長方體的大 ? B.正方體的大

C.圓柱的大 ? D.一樣大

這題放在了“三‘統(tǒng)”之后，學生對立體圖形表面積和體積之間的聯(lián)系有了深入理解后，用此題來幫助回顧與拓展，更有利于知識的內(nèi)化。側(cè)面積的比較，學生脫口而出是相同的，因為用了同一張紙，側(cè)面積就是這張長方形紙的面積，這是學生剛剛經(jīng)歷后所內(nèi)化的結(jié)果。要比較表面積的大小，重點在于底面積，此時與三年級學習的周長和面積建立了聯(lián)系，底面周長（長方形的長）相同時，圍成的圓的面積更大，因此圓柱的表面積大。體積有了前面比較的經(jīng)驗，就更容易得出結(jié)論了。

練習2：請你制作一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮可供搭配選擇。（單位：分米）

（1）你選擇的材料是（ ? ? ）號和（ ? ? ）號。

（2）用你選擇的材料制作的水桶，表面積和容積各是多少？

此題既開放又綜合，不僅要關(guān)注圖形特征，還需關(guān)注數(shù)據(jù)特征，通過計算來實現(xiàn)合理選擇和搭配。如果選擇①為側(cè)面，9.42作為底面周長的話，底面直徑為3，即圖④，此時1就是圓柱的高;如果選擇③為側(cè)面，12.56是底面周長，底面直徑為4，即圖②，高為2。通過選擇和分析，得出必要的數(shù)據(jù)，從而計算無蓋圓柱的表面積和容積。

布魯納認為，學習的過程實際上是利用已有的認知結(jié)構(gòu)，對新的知識經(jīng)驗進行加工改造并形成新的認知結(jié)構(gòu)的過程。筆者認為，總復習課既要打通知識間的聯(lián)系，更要更新已有的知識體系和認識結(jié)構(gòu)，讓知識具有生長活力和生命張力，發(fā)揮“磁力場”，呈現(xiàn)靈動舒展的課堂樣態(tài)，實現(xiàn)對數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的表征與內(nèi)化，將數(shù)學知識由“厚”變“薄”，由“薄”變“厚”，努力實現(xiàn)從“教學生一課”到“教學生一生”的轉(zhuǎn)變，構(gòu)建清晰網(wǎng)絡(luò)，深化數(shù)學素養(yǎng)。

【參考文獻】

劉賢虎，陽海林.打通總復習教學的“任督二脈”[J].教學與管理，2017（2）.