王曉靜

【摘要】轉(zhuǎn)化思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本思想，指將題目化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，化抽象為具體，化生疏為熟悉，化零為整，化靜為動(dòng)等.轉(zhuǎn)化思想可應(yīng)用于函數(shù)、幾何、代數(shù)、方程等類型題.轉(zhuǎn)化是重要的數(shù)學(xué)思想之一，教師應(yīng)提高重視程度，轉(zhuǎn)化思想也是新課標(biāo)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)提出的要求.

【關(guān)鍵詞】轉(zhuǎn)化思想;初中數(shù)學(xué);化繁為簡(jiǎn)

前 言

轉(zhuǎn)化，即將陌生的知識(shí)轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)、將復(fù)雜的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為精簡(jiǎn)的內(nèi)容的過(guò)程.作為一種基本的數(shù)學(xué)思想，轉(zhuǎn)化思想越來(lái)越被教師關(guān)注.初中階段學(xué)生開(kāi)始由單純的知識(shí)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向進(jìn)行理性思考，此時(shí)教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生思維的塑造及培養(yǎng).下面筆者對(duì)轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用展開(kāi)討論.

一、轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)的具體化簡(jiǎn)

（一）化復(fù)雜為簡(jiǎn)單

進(jìn)入初中之后，學(xué)生遇到的應(yīng)用性問(wèn)題日漸增多，不同學(xué)生的學(xué)習(xí)能力差異也日益凸顯，原因是一些學(xué)生很難將生活化、有實(shí)際應(yīng)用意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)解題思路，甚至一些學(xué)生不能理解一道應(yīng)用題的條件.若學(xué)生掌握了轉(zhuǎn)化思想，則能在復(fù)雜的應(yīng)用問(wèn)題中找到熟悉的知識(shí)點(diǎn)，解出題目.隨著學(xué)習(xí)的深入，數(shù)學(xué)題目對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力要求提高，考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn).因此，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想有利于學(xué)生串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，在復(fù)雜的題目中找出熟悉的知識(shí)點(diǎn)，解決問(wèn)題.

（二）化抽象為具體

數(shù)學(xué)學(xué)科對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，要求學(xué)生找到正確的解題思路.化抽象為具體是指將抽象的數(shù)學(xué)概念、思路等轉(zhuǎn)化為具體的、可觀感的內(nèi)容.這一思想常用于有關(guān)數(shù)形結(jié)合的題目，學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法將具體的概念、關(guān)系等用圖像表示出來(lái)，以解出題目.初中階段學(xué)生對(duì)事物認(rèn)知的方式以直觀為主，轉(zhuǎn)化思想有利于學(xué)生理解題意.數(shù)學(xué)學(xué)科是一門對(duì)邏輯思維能力要求較高的學(xué)科，學(xué)生的思維培養(yǎng)不是一蹴而就的，而轉(zhuǎn)化思想有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維.

（三）化生疏為熟悉

轉(zhuǎn)化思想也可應(yīng)用于知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程.學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識(shí)點(diǎn)時(shí)很難快速掌握，而數(shù)學(xué)恰好是邏輯性較強(qiáng)的學(xué)科，如立體幾何的學(xué)習(xí)可應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想.在學(xué)習(xí)多面、多角的立體圖形時(shí)，學(xué)生會(huì)有很多困惑.此時(shí)，教師可將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何，降低學(xué)習(xí)難度，順利開(kāi)展教學(xué)工作.教師不僅要將知識(shí)點(diǎn)教給學(xué)生，還要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和教授學(xué)生解決問(wèn)題的方法.當(dāng)轉(zhuǎn)化思想成為學(xué)生的一種思考意識(shí)、識(shí)記方法時(shí)，學(xué)生會(huì)自覺(jué)找尋知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量.

二、轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用例談

（一）轉(zhuǎn)化思想在題目分析中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想是學(xué)生分析問(wèn)題時(shí)的重要輔助工具，能幫助學(xué)生找到解題的有效條件和思路.下面以一道方程題為例具體闡釋.

例題 現(xiàn)有一地區(qū)突發(fā)洪水，災(zāi)區(qū)現(xiàn)場(chǎng)急需雨靴這一物資.災(zāi)區(qū)附近有一家鞋廠，該廠共有9條生產(chǎn)線，即4條皮鞋生產(chǎn)線和5條布鞋生產(chǎn)線.該工廠表示可以為災(zāi)區(qū)提供救援物資，并制訂生產(chǎn)計(jì)劃，在三天內(nèi)生產(chǎn)1000雙雨靴.已知一條皮鞋生產(chǎn)線和兩條布鞋生產(chǎn)線可以在一天內(nèi)產(chǎn)出105雙雨靴.兩條皮鞋生產(chǎn)線和三條布鞋生產(chǎn)線可在一天內(nèi)產(chǎn)出178雙雨靴.試分析，每條皮鞋生產(chǎn)線與布鞋生產(chǎn)線平均每天可生產(chǎn)多少雙雨靴？如上述條件均可實(shí)現(xiàn)，那么工廠能不能在三天內(nèi)完成生產(chǎn)計(jì)劃？

這道題內(nèi)容比較多，很多學(xué)生從開(kāi)始就出現(xiàn)了畏難情緒——題目太長(zhǎng)了，一眼看下去分不清主次，找不到關(guān)鍵信息.在這種情況下，教師可以有意識(shí)地指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)公式等，再加以解決.首先，將問(wèn)題中的題干轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等量關(guān)系，設(shè)定未知數(shù)為x、y，這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的方程問(wèn)題，可列式x+2y=105，2x+3y=178，計(jì)算可知x=41，y=32，即每條皮鞋生產(chǎn)線每天生產(chǎn)雨靴41雙，每條布鞋生產(chǎn)線生產(chǎn)雨靴32雙.學(xué)生能進(jìn)一步得出該生產(chǎn)廠家無(wú)法在3天內(nèi)生產(chǎn)1000雙雨靴.在解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生自覺(jué)應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解題.

（二）運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決函數(shù)與方程式間的轉(zhuǎn)化

運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，是轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用.方程的學(xué)習(xí)是循序漸進(jìn)的過(guò)程，學(xué)生在小學(xué)接觸一元一次方程，認(rèn)識(shí)x，y這兩個(gè)未知數(shù)，到初中階段學(xué)習(xí)一元二次方程、二元一次方程、方程組等.方程問(wèn)題的常見(jiàn)解決方法為換元法.教師可將轉(zhuǎn)化思想與換元法結(jié)合起來(lái)做延伸.

如2x4-3x2 +8=0，首先要將此方程進(jìn)行降次，將x2設(shè)成y，即y=x2 ，將原方程轉(zhuǎn)化為2y2-y-8=0，用公式進(jìn)行求解.下面筆者通過(guò)例題闡釋如何用轉(zhuǎn)化思想解初中數(shù)學(xué)方程題.

例題 當(dāng)y=2x+3時(shí)，有恒等式x2+2x+3=ay2+by+c成立，求abc的值.

此題中包含5個(gè)未知數(shù)，有2個(gè)未知數(shù)之間存在等量關(guān)系.若用待定系數(shù)法計(jì)算，則計(jì)算量極大，且難以得出正確結(jié)論.此時(shí)，可考慮使用換元法.學(xué)生在做題時(shí)可能會(huì)將a、b、c三數(shù)之積誤以為是分別求解a、b、c的值.因此，教師在引導(dǎo)學(xué)生使用換元法時(shí)，要著重強(qiáng)調(diào)審題的重要性，使學(xué)生明確題目究竟問(wèn)什么.分析之后，教師可組織學(xué)生進(jìn)行小組合作解題.教師可以采用多種教學(xué)方式，豐富課堂教學(xué)，為學(xué)生帶來(lái)愉快的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

（三）運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題

動(dòng)態(tài)幾何是初中階段學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的綜合分析能力、知識(shí)應(yīng)用能力要求較高.學(xué)生要分清點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、面動(dòng)的情況，找到其中的關(guān)聯(lián)，進(jìn)而找到題目要求的關(guān)系，求解答案.

例題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y=1[]2x+1與拋物線 y=ax2+bx-3交于A、B點(diǎn)，點(diǎn) A在x軸上，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為3.點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn)（不與A、B兩點(diǎn) 重合），過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB與點(diǎn)C，做PD⊥AB于點(diǎn)D.（1）求 a、b及sin∠ACP的值;（2）設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為m，①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長(zhǎng)，并求出線段PD長(zhǎng)的最大值;②連接PB，線段PC將△PDB分為兩個(gè)三角形，是否存在適合的m值，使這兩個(gè)三角形的面積之比為9∶10？若存在，直接寫(xiě)出m值;若不存在，說(shuō)明理由.

運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想分析這道問(wèn)題，學(xué)生可以得到如下思路.（1）問(wèn)要求未知數(shù)a、b，就要將點(diǎn)B的縱坐標(biāo)代入直線解析式中求出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，再求出A點(diǎn)坐標(biāo)，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中求解，難度不大.至于角的正弦值的求解，可利用圖中的線段、角、邊關(guān)系求解.根據(jù)直線方程求出直線y與y 軸的交點(diǎn)（確定為E），得出△AOE的三邊比值，再用PC與x軸的垂直得出線段平行關(guān)系，推出角相等，進(jìn)而求出sin∠ACP的值.在此過(guò)程中，學(xué)生需要進(jìn)行角之間的轉(zhuǎn)化.但這一點(diǎn)不容易看出，大多數(shù)學(xué)生可能會(huì)利用△PCD 來(lái)求解.由于不清楚點(diǎn)C坐標(biāo)，所以思路容易中斷.因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生審題，探索題目中存在的可用的關(guān)系式.這類題目在初中階段一般是考試的壓軸題目，學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想能夠理清思路，找到解決問(wèn)題的路徑.教師可有意識(shí)地將轉(zhuǎn)化思想教給學(xué)生，學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想.

（四）轉(zhuǎn)化思想在幾何解題中的應(yīng)用

幾何是初中數(shù)學(xué)中的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，要求學(xué)生具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且具備一定空間想象能力.其中三角形和四邊形題目是教學(xué)的重點(diǎn).轉(zhuǎn)化思想有利于求解幾何題目，下面通過(guò)例題說(shuō)明.

例題 現(xiàn)有一圓，如圖2所示.已知圓的直徑為BC，過(guò) 點(diǎn)B 作一條垂直于 BC 的垂線，垂線上有一點(diǎn)A，作圓的切線AD，且D為切點(diǎn).最后，過(guò)點(diǎn)D作一條BC 的垂線DF，且DF、AC相交于E點(diǎn).證明：EF=DE.

簡(jiǎn)單分析題干，可知兩點(diǎn)信息：BC⊥AB，BC⊥DF.根據(jù)簡(jiǎn)單的推論便可以得出 DF∥AB.如此一來(lái)，AB與EF的關(guān)系就是位似對(duì)應(yīng)線段.題干要求證明EF=DE，就是要證明E 是 DF的中點(diǎn).因此，學(xué)生在解答問(wèn)題時(shí)可以應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“證明A點(diǎn)是DF的位似對(duì)應(yīng)線段的中點(diǎn)”.

在明確解題方向后，學(xué)生就可以按照要求進(jìn)行解題.首先，將CD連接并進(jìn)行延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線相交于G點(diǎn);然后，連接BD.根據(jù)題干信息可知，BC是圓的直徑，所以∠CDB必然是直角，可知∠GDB也是直角.如此，根據(jù)三角形性質(zhì)可知，△GDB 是直角三角形.

此時(shí)，要想證明點(diǎn)A是DF的位似對(duì)應(yīng)線段BG的中點(diǎn)，那么需要證明AG=AB，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即求證 AD=AB.AB和AD都是圓的切線，所以 AD=AB.90°-∠ADB=∠90°-∠ABD，所以∠AGD =∠ADG，AD=GA.

總體來(lái)說(shuō)，在解答幾何類問(wèn)題時(shí)，簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化能夠降低問(wèn)題的難度并降低計(jì)算的復(fù)雜程度，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生的解題能力.這道例題考查學(xué)生對(duì)幾何題目的分析.當(dāng)遇到復(fù)雜的幾何問(wèn)題時(shí)，學(xué)生應(yīng)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將立體轉(zhuǎn)化為平面，將圖像轉(zhuǎn)化為等式.

結(jié) 語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，完成教學(xué)工作，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.如何在具體教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想，是值得教師思考的問(wèn)題.

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