丁玥 李瑋玲

摘 要：數(shù)學(xué)建模是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是分析實際問題，建立數(shù)學(xué)模型，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識求解，從而解決實際問題的能力，是中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。解讀其構(gòu)成要素，針對要素培養(yǎng)，尋找恰當(dāng)數(shù)學(xué)教學(xué)策略，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的重要途徑?？赏ㄟ^創(chuàng)設(shè)問題情景、畫圖觀察、一題多解、討論質(zhì)疑、小組探究等教學(xué)策略，培養(yǎng)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;構(gòu)成要素;教學(xué)策略

中圖分類號：G63? ? ? ? ? 文獻標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2022）07-0025-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2022.07.010

新課程改革推行的主要課程目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)模型搭建了數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的橋梁，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的重要形式。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的基本手段，也是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力[1]。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生感悟模型的魅力，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)，提高學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新精神。因此。教師如何采取有效的教學(xué)策略來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力是本文要探究的問題。

一、數(shù)學(xué)建模的含義

數(shù)學(xué)建模是針對一個實際問題，加以分析，建立數(shù)學(xué)模型，并且轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)知識，運用數(shù)學(xué)工具對數(shù)學(xué)模型進行求解，驗證，從而最終解決實際問題的過程。新課標(biāo)中指出：數(shù)學(xué)建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象、用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng)[2]。因此數(shù)學(xué)建模往往都由一個原始問題引出，學(xué)生通過分析實際問題，將語言文字轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)知識，建立起數(shù)學(xué)模型。黃健指出：數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的重要途徑。他強調(diào)數(shù)學(xué)建模是促進學(xué)生鞏固和深化已有的知識，更好地構(gòu)建自身更為完備的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的核心素養(yǎng)[3]。數(shù)學(xué)建模的活動過程復(fù)雜多樣，由多個零碎的知識點所構(gòu)成的，不只是考查學(xué)生數(shù)學(xué)知識表面的學(xué)習(xí)，更是考驗學(xué)生對已有知識的融會貫通，因此學(xué)生要學(xué)會運用數(shù)學(xué)工具求解數(shù)學(xué)模型，最終解決實際問題。

二、數(shù)學(xué)建模能力的構(gòu)成要素

數(shù)學(xué)建模，往往蘊含著復(fù)雜的數(shù)學(xué)過程。因此數(shù)學(xué)建模能力不僅僅只是學(xué)生解一道題，完成一張試卷那么簡單，它對學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有一定的要求。數(shù)學(xué)建模過程主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結(jié)果、改進模型、最終解決實際問題[4]。在復(fù)雜的建模過程中，需要學(xué)生多重能力并行才能實現(xiàn)。因此，建模能力的構(gòu)成要素也多方涉及，主要包括：閱讀分析能力、抽象模型能力、模型計算能力、檢驗反思能力和集體合作能力。教師應(yīng)該思考教學(xué)方法，研究教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。

對于數(shù)學(xué)建模來說，建立模型就是一個至關(guān)重要的步驟，要是不能建立出適合實際問題的數(shù)學(xué)模型，很難解決相關(guān)的實際問題。因此，抽象模型能力是數(shù)學(xué)建模構(gòu)成要素的核心，擁有抽象模型的能力，數(shù)學(xué)建模也就事半功倍了。數(shù)學(xué)模型建立之后，學(xué)生的任務(wù)就在于解模型，這就需要學(xué)生對于數(shù)據(jù)的敏銳度，對數(shù)據(jù)的處理是否熟練操作也有一定的要求，因此，培養(yǎng)學(xué)生的模型計算能力是教師的重要工作之一。當(dāng)學(xué)生經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，將模型解出后，需要將數(shù)據(jù)回代檢驗，并且結(jié)合實際問題考慮合理性，最終通過反思優(yōu)化模型，完成建模。

除此以外，學(xué)生還必須具備閱讀分析能力以及集體合作能力。任子朝等人認(rèn)為，數(shù)學(xué)閱讀是從背景、數(shù)據(jù)等材料中獲取信息的心理活動過程，也就是學(xué)生從數(shù)學(xué)書面語言代碼中獨立提取意義的心理過程[5]。王云秋認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模競賽需要團結(jié)合作精神與相互協(xié)調(diào)能力[6]。競賽如此，數(shù)學(xué)建模亦如此，學(xué)生以小組為單位合作學(xué)習(xí)，互相討論，取長補短，才能將問題搞清楚，弄明白。

三、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的教學(xué)策略

（一）創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)閱讀分析能力

近年來，高考數(shù)學(xué)試題背景更加貼近生活實際，其對學(xué)生的要求著重于考查學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基礎(chǔ)在于擁有閱讀分析問題的能力。閱讀是人們汲取知識的主要手段和認(rèn)識世界的重要途徑，閱讀分析能力的培養(yǎng)才能使學(xué)生正確理解問題的要求與含義[7]。創(chuàng)設(shè)問題情景，可以幫助學(xué)生培養(yǎng)閱讀分析能力。數(shù)學(xué)建模通常以實際問題切入，讓學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，需要學(xué)生進入情境狀態(tài)，仔細(xì)閱讀實際問題。與文學(xué)的閱讀不同的是，數(shù)學(xué)的閱讀一方面是指要抓住情境問題中的關(guān)鍵詞，通過查閱文獻資料，了解關(guān)鍵詞的含義，深入學(xué)習(xí)情境問題的背景知識。另一方面是閱讀實際問題中出現(xiàn)的數(shù)據(jù)，通過加強對數(shù)據(jù)的有效閱讀，更有利于數(shù)學(xué)建模的進展。

例：某市2000初有常住人口80萬，流動人口16萬。已知流動人口的年增長率為1%，常住人口的年增長率為0.5%，請預(yù)測到2050年初該市擁有的人口數(shù)。師：請同學(xué)們仔細(xì)閱讀例題，并查閱相關(guān)資料，估計2050年初人口將達(dá)到多少？師：建立指數(shù)函數(shù)關(guān)系：其中x為增長年數(shù)，為人口初始值，a為增長率。2050年初該市擁有的人口數(shù)為S，利用二項式定理的近似估計可得（1+0.5%）50≈1.293，（1+1%）50≈1.628，故S≈80×1.293+16×1.628=129.49（萬）[8]。

教學(xué)分析：教師在給出數(shù)學(xué)建模問題時，創(chuàng)設(shè)一個人口增長率的數(shù)學(xué)建模情境，可以激發(fā)學(xué)生的閱讀興趣和探究導(dǎo)向。學(xué)生通過仔細(xì)閱讀情境問題，并提取出問題中的關(guān)鍵字“人口數(shù)”，通過查閱資料，發(fā)現(xiàn)建立人口數(shù)與年數(shù)存在指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系y=y■（1+a）■。具有良好閱讀能力的學(xué)生通過對函數(shù)模型的分析，可以找出問題中對應(yīng)的人口初始值，增長率以及年數(shù)等相關(guān)數(shù)據(jù)。

（二）畫圖觀察，培養(yǎng)抽象模型能力

畫圖是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要策略，通過畫圖觀察可以將間接的數(shù)字信息轉(zhuǎn)化為直觀的圖形信息。教師要引導(dǎo)學(xué)生針對問題情境中的數(shù)據(jù)，畫圖觀察數(shù)據(jù)的變化趨勢，從數(shù)據(jù)中抽象出數(shù)學(xué)模型。張金良認(rèn)為，數(shù)學(xué)抽象就是通過分析、思考、概括等活動，剔除事物的物理屬性，從事物的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系兩個方面，抽象出其本質(zhì)，并用數(shù)學(xué)語言加以表征的過程[9]。

例：這是某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值，如表所示。師：請同學(xué)們觀察表格中數(shù)據(jù)，思考未成年男性的身高和體重有怎么樣的關(guān)系？可以建立合適的函數(shù)模型近似的反應(yīng)未成年男性體重y kg與身高x cm的函數(shù)關(guān)系？請同學(xué)們試著通過畫圖的方式找出規(guī)律[10]。

教學(xué)分析：數(shù)學(xué)建模的關(guān)鍵就是要建立數(shù)學(xué)模型。那應(yīng)該建立哪一類模型呢？這是我們需要思考的。在例題中明確指出尋找函數(shù)關(guān)系時，其實也就是暗示學(xué)生從數(shù)據(jù)中抽象出函數(shù)表達(dá)式，從而建立數(shù)學(xué)模型。但是函數(shù)模型的類型有很多，需要教師引導(dǎo)學(xué)生通過建立數(shù)軸，觀察點的變化規(guī)律來判斷應(yīng)抽象出哪一種函數(shù)模型。畫圖觀察，更加直觀地讓學(xué)生感受自變量與應(yīng)變量之間的變化關(guān)系，同時也培養(yǎng)了學(xué)生的實際操作能力。將“數(shù)”轉(zhuǎn)化成了“形”，結(jié)合函數(shù)圖形的性質(zhì)，選擇合適的函數(shù)模型建立，培養(yǎng)學(xué)生正確的抽象模型能力。

（三）一題多解，培養(yǎng)模型計算能力

模型計算是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型和問題解決的橋梁，擁有模型計算能力才能解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)建模的過程是一個讓學(xué)生不斷地思考，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維的過程。知識在永無止境地汲取，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，不可能一味地只用一種模型解決數(shù)學(xué)建模問題。因此隨著學(xué)習(xí)的進程，教師需要啟發(fā)學(xué)生一題多解來展現(xiàn)學(xué)生的模型計算能力。

例：籠子里有雞兔若干只。從上面數(shù)有8個頭，從下面數(shù)有28只腳。雞和兔各有多少只？請同學(xué)們利用至少兩種方法來解決此問題。這個問題最早應(yīng)該出現(xiàn)在小學(xué)階段。在小學(xué)中教師教給學(xué)生的解決方法是算術(shù)解法，運用的模型則是算術(shù)模型。而在雞兔同籠問題也會出現(xiàn)在中學(xué)的教學(xué)中，中學(xué)教師往往將借助這一問題引出一元一次方程的概念，傳輸給學(xué)生運用一元一次方程的模型進行解答。以下是中學(xué)的解法：設(shè)兔子為x只，則雞為（8-x）只。那么根據(jù)一共有28只腳進行列方程：4x+2（8-x）=28，解出未知數(shù)x=6，則有6只兔子，2只雞。

教學(xué)分析：對于小學(xué)的算術(shù)模型，需要一些思考過程，要理清其中的條理才能正確地解決雞兔同籠問題。但是對于初中的方程模型來說，運用這一模型能讓條件與數(shù)據(jù)看起來更加地簡潔明了。兩者策略不同，但是都能解決數(shù)學(xué)問題。這道雞兔同籠的問題，既能使學(xué)生回憶出小學(xué)的算式模型，又能運用到方程模型。對于中學(xué)生而言，不僅讓他們想到了當(dāng)下學(xué)習(xí)的方程模型，同時通過一題多解，將學(xué)生的思維擴散，架構(gòu)新舊知識間的聯(lián)系，提高學(xué)生的模型計算能力。

（四）討論質(zhì)疑，培養(yǎng)檢驗反思能力

當(dāng)學(xué)生建立并求解數(shù)學(xué)模型后，要對模型進行檢驗反思。反思檢驗是學(xué)生對于建模模型的不斷完善和發(fā)展。教師應(yīng)該在教學(xué)中通過學(xué)生討論質(zhì)疑的形式，加深學(xué)生對于模型的認(rèn)知。數(shù)學(xué)解題教學(xué)中讓學(xué)生反思學(xué)科思想方法，探究知識遷移過程更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，提升學(xué)生的認(rèn)知力，有利于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[11]。

例：師：同學(xué)們，我們通過計算建立了二次函數(shù)y=0.001x2+2.02，請你們結(jié)合二次函數(shù)與圖形，仔細(xì)思考，可以在小組里討論，有什么想說的？小組A：我們通過代入兩個點（100，15.02）和（120，20.74）建立了此二次函數(shù)y=0.0013x2+2.02[12]，我們小組認(rèn)為這種方法是正確的。小組B：我們小組采用的是指數(shù)函數(shù)模型。我們設(shè)定指數(shù)函數(shù)的關(guān)系式為，將（60，6.13），（140，31.11）代入，得指數(shù)函數(shù)模型。在得出該模型之后，我們又將一個新的點代入計算，當(dāng)x=160代入，發(fā)現(xiàn)得出的結(jié)果與原數(shù)據(jù)近似相等，于是我們認(rèn)為指數(shù)函數(shù)比二次函數(shù)更能刻畫這些點的分布情況。

師：還有別的小組有不同意見嗎？看來現(xiàn)在課堂中有兩種不同的“聲音”。請同學(xué)們來想一想，你們支持哪一小組的觀點？

生：我支持小組B的，我很贊同他在模型建立后進行檢驗的這一做法。因為我們在確定數(shù)學(xué)模型的時候，只是根據(jù)點的分布看著像哪個模型，并且在計算的時候，只代入了兩個點。你看，小組A如果將x=160代入，求得y為 35.3，與數(shù)據(jù)中的點（160，47.25）誤差太大，因此不能利用二次函數(shù)模型進行刻畫。而小組B將數(shù)學(xué)模型計算出來之后，還反思了建立的模型是否正確，通過再代入點進行檢驗，確保模型建立的準(zhǔn)確性。

師：其他同學(xué)同意這位同學(xué)的觀點嗎？是呀，這位同學(xué)說得可多好呀！我們在建模模型的之后，不能百分之百地保證我們的模型是否正確，因此要學(xué)會反思檢驗數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)據(jù)回代地方式檢查模型地正確性。反思檢驗也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要方法。

教學(xué)分析：在該教學(xué)案例中，學(xué)生一開始通過實際問題建立了二次函數(shù)模型，又將二次函數(shù)模型回歸原實際問題，反思檢驗找出不合理之處。他們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的模型并不是描述身高和體重的最優(yōu)解，經(jīng)過小組的討論，學(xué)生剛開始建立的模型提出質(zhì)疑，從而對模型改良優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)小組B提出的函數(shù)模型優(yōu)于二次函數(shù)。檢驗反思是對數(shù)學(xué)建模過程的再認(rèn)識。是數(shù)學(xué)建模的重要能力之一，學(xué)生要通過討論質(zhì)疑的方式，培養(yǎng)檢驗反思的能力，這樣才能在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)用的正確的模型解決實際問題。

（五）小組探究，培養(yǎng)集體合作能力

數(shù)學(xué)建模的難易程度不同，導(dǎo)致學(xué)生在解決建模問題的過程中所需要的時間，精力也會不同。較為簡單的建模學(xué)生可以獨立完成，而較為復(fù)雜的則需要學(xué)生分小組探究交流，共同協(xié)作完成。集體合作能力就是指學(xué)生組成小組進行合作學(xué)習(xí)交流討論的能力。在一個小組中需要一位學(xué)生進行領(lǐng)導(dǎo)統(tǒng)籌工作，分配每位學(xué)生的工作任務(wù)，學(xué)生互相交流。而作為教師，應(yīng)該在教學(xué)過程中，注重培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，組織學(xué)生開展小組合作，并且通過要求學(xué)生撰寫小組工作報告，讓教師更了解學(xué)生之間的分工合作，有效地提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)建模問題的效率。通過這一過程，加強了學(xué)生之間交流合作的能力，同時也提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。

例：以“教育儲蓄”為例，依照教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期（3年或5年）時一次可支取本息多少錢？如果運用其他儲蓄方式，以每月存100元，6年后使用為例，探討現(xiàn)行利率標(biāo)準(zhǔn)可能的最大收益，將得到的結(jié)果與教育儲蓄比較[13]。教師讓學(xué)生組成5人小組，一名學(xué)生作為小組長，統(tǒng)籌全組。將上網(wǎng)搜索相關(guān)“教育儲蓄”以及“其他儲蓄方式”的相關(guān)內(nèi)容、建立經(jīng)濟模型、計算數(shù)據(jù)等工作分配給小組的每一位成員，進行集體合作，并且要求他們撰寫小組工作報告。

教學(xué)分析：該數(shù)學(xué)建模問題并未將所有的信息與數(shù)據(jù)呈現(xiàn)在題目中，這就需要學(xué)生在課后通過查閱資料，小組分工完成。教師引導(dǎo)學(xué)生將一個復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模問題，分成幾個模塊，小組長起到帶頭作用，要求每位小組成員負(fù)責(zé)一部分，這樣才能加快學(xué)習(xí)的效率。在學(xué)習(xí)的過程中，不僅提高了學(xué)生解決數(shù)學(xué)實際問題的能力，同時也培養(yǎng)了學(xué)生之間合作交流的能力，增進了他們的友誼。

四、結(jié)語

對數(shù)學(xué)建模能力的構(gòu)成要素分析，可以使我們在教學(xué)中能夠有的放矢，針對構(gòu)成要素開展教學(xué)，使得學(xué)生的建模能力能夠在教學(xué)過程中獲得訓(xùn)練、提升與發(fā)展。數(shù)學(xué)建模是中學(xué)生的核心素養(yǎng)：運用創(chuàng)設(shè)問題情景策略，培養(yǎng)需要學(xué)生良好的閱讀分析能力;運用畫圖觀察策略，培養(yǎng)學(xué)生抽象模型能力;運用多元教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生的模型計算能力，運用討論研究策略，培養(yǎng)學(xué)生的檢驗反思能力，運用小組探究策略，培養(yǎng)學(xué)生的集體合作能力。本文通過將實際的問題與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合，不斷培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，促進學(xué)生綜合能力的提升。

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[責(zé)任編輯 梁愛芳]

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