張峰，米永強(qiáng)

摘? 要：文章在對(duì)高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)建模和高中數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化問(wèn)題的研究基礎(chǔ)上，針對(duì)高中數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中涉及的線性規(guī)劃問(wèn)題和0-1規(guī)劃問(wèn)題，給出了利用LINGO軟件求解農(nóng)場(chǎng)作物種植和大學(xué)生選課策略這兩個(gè)案例的基本方法，數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，LINGO軟件在求解該類(lèi)問(wèn)題中所花費(fèi)的時(shí)間短且精確度高的優(yōu)點(diǎn)，因此，高中數(shù)學(xué)建模愛(ài)好者可以將其應(yīng)用于求解數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)化問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：LINGO軟件；數(shù)學(xué)建模；線性規(guī)劃

一、國(guó)內(nèi)外高中數(shù)學(xué)建模的進(jìn)展

美國(guó)教師聯(lián)合會(huì)在《中學(xué)數(shù)學(xué)課程和教學(xué)評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)》中最早提出了高中數(shù)學(xué)建模。目前，國(guó)外高中數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽主要有美國(guó)高中數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，該項(xiàng)競(jìng)賽是結(jié)合中學(xué)生所具有的特點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)的，競(jìng)賽隊(duì)通常是由４名學(xué)生，外加一名指導(dǎo)教師組成，時(shí)間多數(shù)在每年１１月第一周的星期五開(kāi)始，由參賽隊(duì)從當(dāng)年所給出的兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題中任選一個(gè)完成。荷蘭從１９９０年開(kāi)始至今，每年舉辦一次稱(chēng)之為Ａ－ｌｙｍｐｉａｄ的數(shù)學(xué)比賽來(lái)促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教育中應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展。為進(jìn)一步普及數(shù)學(xué)建模教育，增強(qiáng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，美國(guó)數(shù)學(xué)及其應(yīng)用聯(lián)合會(huì)聯(lián)合香港儒蓮教科文機(jī)構(gòu)于２０１４年創(chuàng)辦了國(guó)際數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽，旨在鼓勵(lì)各國(guó)的高中生積極主動(dòng)地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)中的一些問(wèn)題。

我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)建模起源于１９９１年１０月上海市舉辦的“金橋杯”中學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用知識(shí)競(jìng)賽，在此影響和啟發(fā)下，北京市從１９９３年開(kāi)始舉辦同類(lèi)型的中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽。為進(jìn)一步改善我國(guó)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育的應(yīng)用不足，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)《（實(shí)驗(yàn)）》（２００３年版）提出，“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)提供一些基本內(nèi)容的實(shí)際背景，以便更好地反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，開(kāi)展一些‘?dāng)?shù)學(xué)建模活動(dòng)”。而隨著我國(guó)的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（２０１７年版）》的頒布，已經(jīng)非常明確地指出“數(shù)學(xué)建模”是高中數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)之一，并且將數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)作為主線之一。為更好地銜接高中數(shù)學(xué)與大學(xué)數(shù)學(xué)，提升高中生的團(tuán)隊(duì)合作方式解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的綜合和創(chuàng)新能力，激發(fā)他們的應(yīng)用數(shù)學(xué)的興趣，并為國(guó)內(nèi)外一流名校選拔數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)有較大潛力的人才，清華大學(xué)聯(lián)合中國(guó)工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)于２０１５年創(chuàng)辦了“登峰杯”全國(guó)中學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，該項(xiàng)競(jìng)賽主要目的是考查參賽者如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型、并借助于計(jì)算機(jī)通過(guò)編程求解數(shù)學(xué)模型的能力以及論文寫(xiě)作方面的能力。

二、優(yōu)化問(wèn)題與ＬＩＮＧＯ軟件

人們?cè)诂F(xiàn)實(shí)的生活、科學(xué)研究和生產(chǎn)等問(wèn)題中經(jīng)常需要從眾多可行的方案中選擇出最好的方案，比如，在生產(chǎn)計(jì)劃中，如何做到既能提高產(chǎn)值，又能使獲利最大；在資源的分配問(wèn)題中，如何分配既能保證各方面的要求得到滿(mǎn)足，又能使經(jīng)濟(jì)效益最大；在經(jīng)濟(jì)管理問(wèn)題中如何做到使單位成本的產(chǎn)值最大或盈利最大等，一般把這類(lèi)問(wèn)題被稱(chēng)為最優(yōu)化問(wèn)題。

其一般描述為minf（x）

s.t.g（x）≤0? i=1，2，3，…，mh（x）=0? ?j=1，2，3，…，l? （1.1）

其中f（x）∶Rn→R為目標(biāo)函數(shù)，gi（x）∶Rn→R為約束函數(shù)。因?yàn)閙ax｛f（x）∶x∈S｝=-max｛-f（x）∶x∈S｝且gi（x）≥0=-gi（x）≤0。故求解最大值問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)換為最小值問(wèn)題。

當(dāng)問(wèn)題（１．１）滿(mǎn)足所有的變量是連續(xù)的、目標(biāo)函數(shù)又是單目標(biāo)且f（x）和gi（x）均是線性函數(shù)，則該問(wèn)題就稱(chēng)之為線性規(guī)劃問(wèn)題，其求解通常是先寫(xiě)出滿(mǎn)足題設(shè)的目標(biāo)函數(shù)和約束條件；再根據(jù)約束條件進(jìn)一步確定可行域；最后，求出目標(biāo)函數(shù)在可行域內(nèi)的最優(yōu)解和最優(yōu)值。但在實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)遇到的變量和約束條件都較多時(shí)，僅憑這樣的求解方法則很難以得出最優(yōu)解。當(dāng)問(wèn)題（１．１）中一部分變量取整數(shù)，另一部分取為實(shí)數(shù)就稱(chēng)之為混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題；當(dāng)變量都取為整數(shù)就叫整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題；特別是變量只取整數(shù) 或 時(shí)，將此稱(chēng)為０－１規(guī)劃問(wèn)題。

０－１規(guī)劃問(wèn)題也是高中數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中經(jīng)常會(huì)遇到的問(wèn)題，因該問(wèn)題對(duì)現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)有著重要的意義，它已被廣泛地應(yīng)用于航班安排、人力資源分配和背包問(wèn)題等。其求解方法除了分支定界法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法和罰函數(shù)法等傳統(tǒng)算法外，還有元胞蝙蝠算法、蜂群算法和粒子群優(yōu)化算法等新型智能優(yōu)化算法。但這些算法對(duì)高中生而言，相當(dāng)抽象，所以就很難理解，而求解這類(lèi)問(wèn)題就可以用運(yùn)籌學(xué)中一款簡(jiǎn)單、易于操作的數(shù)學(xué)軟件－ＬＩＮＧＯ來(lái)實(shí)現(xiàn)。

ＬＩＮＧＯ軟件是由美國(guó)的ＬＩＮＤＯ系統(tǒng)公司開(kāi)發(fā)的一套專(zhuān)門(mén)用于求解規(guī)劃問(wèn)題和方程組問(wèn)題的數(shù)學(xué)軟件。該軟件的優(yōu)勢(shì)不僅在于可以求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題，而且程序編寫(xiě)簡(jiǎn)單、運(yùn)行速度快?；诖?，該軟件已被越來(lái)越多的學(xué)者應(yīng)用于求解交通運(yùn)輸，投資與決策，成本預(yù)算以及人力資源分配等各類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題。運(yùn)用ＬＩＮＧＯ軟件求解優(yōu)化問(wèn)題的方案通常是先結(jié)合所研究的實(shí)際問(wèn)題，建立起數(shù)學(xué)模型，再對(duì)模型進(jìn)行求解。

三、應(yīng)用案例

案例１：農(nóng)場(chǎng)作物種植問(wèn)題

假設(shè)某一地區(qū)的一條灌渠可同時(shí)供就近的三個(gè)農(nóng)場(chǎng)使用，各農(nóng)場(chǎng)都可以種植甜菜、棉花和高粱三種作物，已知各農(nóng)場(chǎng)的可灌溉地、分配到的最大用水量、各種作物的用水量、凈收益及國(guó)家規(guī)定的該地區(qū)各種作物種植總面積最高限額如下表１所示：

三個(gè)農(nóng)場(chǎng)達(dá)成協(xié)議，他們的播種面積與其可灌溉面積相等，在上述限制條件下，如何制定各農(nóng)場(chǎng)種植計(jì)劃使本地區(qū)的三個(gè)農(nóng)場(chǎng)的總凈收益最大。

分析：不妨用x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3分別來(lái)表示農(nóng)場(chǎng)１、農(nóng)場(chǎng)２和農(nóng)場(chǎng)３各自種植的甜菜、棉花和高粱的畝數(shù)，依據(jù)題意建立的模型如下：

Max=400（x1+x2+x3）+300（y1+y2+y3）+100（z1+z2+z3）

s.t.x1+x2+x3≤600y1+y2+y3≤500z1+z2+z3≤325x1+y1+z1≤400x2+y2+z2≤600x3+y3+z3≤3003x1+2y1+z1≤6003x2+2y2+z2≤8003x3+2y3+z3≤375x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3≥0

利用ＬＩＮＧＯ軟件求解程序如下：

ＭＯＤＥＬ：

max=400*（x1+x2+x3）+300*（y1+y2+y3）+100*（z1+z2+z3）;

x1+x2+x3<=600;

y1+y2+y3<=500;

z1+z2+z3<=325;

x1+y1+z1<=400;

x2+y2+z2<=600;

x3+y3+z3<=300;

3*x1+2*y1+z1<=600;

3*x2+2*y2+z2<=800;

3*x3+2*y3+z3<=375;

ＥＮＤ

由此可知，最大總凈收益為２５３３３３．３元。

案例２：選課策略問(wèn)題

某大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院在運(yùn)籌學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)一年級(jí)新生中開(kāi)設(shè)以下課程，如表２所示：

學(xué)院規(guī)定，大一年級(jí)的學(xué)生在學(xué)期末至少選兩門(mén)計(jì)算機(jī)課、兩門(mén)數(shù)學(xué)課和三門(mén)運(yùn)籌學(xué)課，為了選修課程門(mén)數(shù)最少，應(yīng)學(xué)習(xí)哪些課程？

該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型：xi=1? 選中課號(hào)為i的課0? 未選中

Min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9

利用ＬＩＮＧＯ軟件求解程序如下：

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9;

x1+x2+x3+x4+x5>=2;

x3+x5+x6+x8+x9>=3;

x4+x6+x7+x9>=2;

2*x3-x1-x2<=0;

x4-x7<=0;

2*x5-x1-x2<=0;

x6-x7<=0;

x8-x5<=0;

2*x9-x1-x2<=0;

@bin（x1）;@bin（x2）;@bin（x3）;@bin（x4）;@bin（x5）;@bin（x6）;@bin（x7）;@bin（x9）;

END

因此，該專(zhuān)業(yè)學(xué)生至少選修６門(mén)課程，學(xué)習(xí)微積分、計(jì)算機(jī)模擬、計(jì)算機(jī)編程、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程、線性代數(shù)和應(yīng)用統(tǒng)計(jì)。

該文研究了ＬＩＮＧＯ軟件求解農(nóng)作物種植計(jì)劃和大學(xué)生選課這兩個(gè)優(yōu)化問(wèn)題的基本方法，從程序運(yùn)行時(shí)間和數(shù)值結(jié)果可看出，ＬＩＮＧＯ軟件求解此類(lèi)問(wèn)題的速度和精確性較傳統(tǒng)算法有顯著的優(yōu)勢(shì)。因此，一線數(shù)學(xué)建模指導(dǎo)教師在數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)中可以將ＬＩＮＧＯ軟件作為培訓(xùn)的數(shù)學(xué)軟件之一。

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（責(zé)任編輯：莫唯然）