陳慧

[摘 要]數(shù)的運算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，提升學(xué)生運算能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。模型思想作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》的十大關(guān)鍵詞之一，彰顯了它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心位置。計算教學(xué)中蘊含著豐富的模型思想，教師應(yīng)立足實際，找準(zhǔn)現(xiàn)實模型，引導(dǎo)學(xué)生操作，并通過前后銜接建構(gòu)系統(tǒng)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過程，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞]模型思想;計算教學(xué);運算能力

[中圖分類號] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A[文章編號] 1007-9068（2022）17-0055-03

數(shù)的運算是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)概念的形成、數(shù)學(xué)結(jié)論的獲得、數(shù)學(xué)問題的解決都依賴于計算活動的參與，運算技能是學(xué)生必備的一項重要能力。因此，計算教學(xué)也一直受到廣大數(shù)學(xué)教師的高度關(guān)注，從“雙基”下的運算技能到“四基”下的運算能力，再到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的運算素養(yǎng)，如何踐行課改理念，如何有效開展計算教學(xué)，如何培養(yǎng)學(xué)生運算能力成為教育的熱點問題。

一、問題緣起：發(fā)現(xiàn)計算教學(xué)的癥結(jié)

我校的計算教學(xué)一直是全區(qū)的典范，編有校本教材《計算手冊》，但在一次全區(qū)調(diào)研測試中，有兩道填空題的得分率只有84.6%和63.3%。題目如下：

9.列豎式計算24÷15，商是________________，豎式中的90 表示________________。

11.根據(jù)986÷29=34直接寫得數(shù)：98.6÷29=________________，0.986÷34=________________。

由此，我們對全校五年級共419名學(xué)生在整份試卷的三處計算的得分情況進(jìn)行了統(tǒng)計，詳見表1。

調(diào)研發(fā)現(xiàn)：對于像第四大題這樣的純計算題，學(xué)生的正確率很高，達(dá)到95.4%。而填空第9題主要考查學(xué)生對豎式計算過程的理解，結(jié)果顯示，這道題的正確率明顯下降，僅84.6%。而對于填空第11題這樣需要邏輯推理的題，學(xué)生正確率就更低了。

這就說明，在解答純計算的單一程序性題目時，學(xué)生能夠根據(jù)豎式正確進(jìn)行運算。但相比之下，對于算理表達(dá)類或邏輯推理類的題目，學(xué)生并不能完全看懂，或是無法理解不同的算式表征方式以及前后知識之間的遷移和聯(lián)系。也就是說，學(xué)生對運算的意義、算理和算法還不能全面、透徹地理解。

調(diào)研結(jié)果也反映了學(xué)生學(xué)習(xí)計算的一種現(xiàn)狀：精于計算，對運算技能的掌握好于對算理的理解;對計算知識點的掌握是零散的，缺乏整體的知識結(jié)構(gòu)。運算技能不等于運算能力，“僅僅會計算”也與學(xué)生的計算素養(yǎng)要求相差甚遠(yuǎn)?！凹寄軓?、理解弱、素養(yǎng)缺”這一現(xiàn)象究竟是怎樣在課堂教學(xué)中逐步累積而成的？帶著這些問題，筆者回到計算課堂，試圖尋找學(xué)生運算能力缺失的原因。

二、尋根溯源：分析計算問題的成因

筆者選擇蘇教版教材五年級上冊“小數(shù)加減法”這一教學(xué)內(nèi)容，觀摩了兩位教師的課堂教學(xué)，教學(xué)片段如下。

【教師A】

教師創(chuàng)設(shè)情境并列出算式4.75+3.4，提問：“你會列豎式計算嗎？”

學(xué)生嘗試列豎式計算。教師在巡視中發(fā)現(xiàn)學(xué)生列豎式時出現(xiàn)末位對齊的現(xiàn)象，于是介入：“計算4.75+3.4時應(yīng)該是小數(shù)點對齊……”

接下來，教師先講解怎樣列豎式計算，再引導(dǎo)學(xué)生計算減法，理解算理，總結(jié)算法，然后通過大量練習(xí)幫助學(xué)生鞏固小數(shù)加減法的計算。

【教師B】

前測：鋼筆5.3元，本子0.8元，兩樣一共多少元？請你列豎式計算。

提問：列豎式時，你為什么會把小點對齊？（學(xué)生的回答情況見表2）

課堂教學(xué)：創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生列出算式4.75+3.4，教師提問：“你能先估一估大概要花多少元嗎？”

學(xué)生估算出大概7元多或8元多。教師提問：“你會用豎式計算嗎？”

學(xué)生嘗試列豎式計算。教師在巡視中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在列豎式時出現(xiàn)末位對齊的現(xiàn)象，于是指名兩位學(xué)生（一個對一個錯）上黑板板演。

教師組織學(xué)生討論對錯，從不同角度證明了小數(shù)點對齊的正確算法，即小數(shù)點對齊也就保證了相同數(shù)位對齊、相同數(shù)位相加減。

在此基礎(chǔ)之上，讓學(xué)生借助小數(shù)加法的計算經(jīng)驗，獨立嘗試解決小數(shù)減法的計算問題（4.75-3.4）;通過分析算式的計算過程，總結(jié)小數(shù)加減法的計算方法;與整數(shù)加減法進(jìn)行比較，說一說小數(shù)加減法與整數(shù)加減法的不同與相同之處。

通過以上案例不難發(fā)現(xiàn)：教師A的計算教學(xué)的落腳點仍舊放在了計算方法上，學(xué)生也許能夠熟記計算法則，也能正確計算，但對于算理的敏感度并不高，而且教師教學(xué)的著眼點僅僅是這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，完全沒有前后知識的銜接與溝通，學(xué)生掌握的知識呈點狀散落，沒有形成知識網(wǎng)絡(luò)，沒有建構(gòu)計算模型，沒有形成認(rèn)知體系。教師B通過前測準(zhǔn)確把握學(xué)生的認(rèn)知起點，學(xué)生能夠借助直觀模型更好地理解計算的算理。如借助現(xiàn)實情境模型和人民幣模型，學(xué)生在已有生活經(jīng)驗的基礎(chǔ)上更容易理解“為什么要這樣算”，并通過小數(shù)加減法的對比總結(jié)計算方法，通過整數(shù)和小數(shù)加減法的對比促進(jìn)算理的溝通，建構(gòu)計算模型。

分析這兩個教學(xué)片段，不難發(fā)現(xiàn)教師的教學(xué)行為也是學(xué)生計算能力缺失的成因之一。于是筆者對本校及周邊幾所小學(xué)的部分?jǐn)?shù)學(xué)教師進(jìn)行問卷調(diào)查和個別訪談，從教師對模型思想的認(rèn)識、理解、落實三個方面進(jìn)行了調(diào)查和分析，歸納出當(dāng)前小學(xué)計算教學(xué)中存在的主要問題：（1）部分教師對計算教學(xué)的目標(biāo)定位存在偏差，沒有將計算中蘊含的模型思想融入教學(xué)，只是將“怎樣算、為什么這樣算”當(dāng)作程序性知識進(jìn)行講解。（2）部分教師教育教學(xué)能力不足。如對教材的整合能力不足、對學(xué)情的了解不足，不能設(shè)計多樣化的教學(xué)活動和有層次的探究活動，導(dǎo)致課堂教學(xué)效率較低。（3）學(xué)生對計算不夠重視，輕視口算和估算，缺乏對未知的探究興趣和能力。

三、建構(gòu)模型：探尋計算教學(xué)的策略

基于以上思考，筆者積極探尋計算教學(xué)的策略，開展了基于模型思想的計算教學(xué)實踐研究。筆者從模型思想出發(fā)研讀教材、分析學(xué)情，對教材內(nèi)容進(jìn)行整體分析和重新組合，設(shè)計教學(xué)活動，讓學(xué)生在探究計算的過程中，掌握學(xué)科的核心知識，整體理解所學(xué)的主題內(nèi)容，在知識建構(gòu)和方法遷移中構(gòu)建高階思維，提高運算能力，形成核心素養(yǎng)。可見，計算教學(xué)要重在遷移，落腳理解，聚焦內(nèi)容，建構(gòu)模型，關(guān)聯(lián)整體，形成系統(tǒng)。

1.立足學(xué)生已有經(jīng)驗，找準(zhǔn)現(xiàn)實模型

數(shù)學(xué)知識是螺旋上升式結(jié)構(gòu)，如果沒有學(xué)生的已有知識和認(rèn)知經(jīng)驗作為學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將會是無源之水、無本之木。

如蘇教版教材五年級上冊“小數(shù)乘整數(shù)”的教學(xué)導(dǎo)入時可創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情境：夏季西瓜0.8元/千克，買3千克要多少元？學(xué)生或?qū)?.8×3轉(zhuǎn)化成3個0.8相加來計算，或?qū)?.8轉(zhuǎn)化成8角再乘3來計算，不管是根據(jù)乘法的意義轉(zhuǎn)化成加法來算，還是依據(jù)元角的關(guān)系轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來算，都是充分利用學(xué)生的生活經(jīng)驗來建構(gòu)運算模型。創(chuàng)設(shè)真實的生活情境，是教學(xué)計算問題的關(guān)鍵，而很多教師往往忽略了這一步，認(rèn)為它無關(guān)緊要。有的教師創(chuàng)設(shè)的情境不能承載計算的現(xiàn)實意義，有的甚至干脆跳過情境直接給出算式。其實，學(xué)生頭腦中不缺乏解決這類問題的有關(guān)知識，缺乏的是將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。而現(xiàn)實情境可以使抽象的計算轉(zhuǎn)化為具體、可感的問題，有效激活學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，幫助學(xué)生弄清問題的本質(zhì)，把握探究的正確方向。

計算教學(xué)一定要準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，找準(zhǔn)新知的生長點，在新舊知識之間架起一座橋梁，促進(jìn)學(xué)生順利經(jīng)由舊知走向新知學(xué)習(xí)。復(fù)習(xí)教學(xué)也不能僅僅停留在知識層面，更多的應(yīng)是激活，激活與復(fù)習(xí)內(nèi)容相聯(lián)系的概念、原理、法則等數(shù)學(xué)模型。一旦學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的某個結(jié)點被激活，就有可能觸動該知識的相關(guān)網(wǎng)絡(luò)，從而有效幫助學(xué)生找到解題策略。如在教學(xué)異分母分?jǐn)?shù)加減法時，可先讓學(xué)生復(fù)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)加減法口算，并說說怎么算得這么快，為什么可以這樣算，加深學(xué)生對“分母相同，即分?jǐn)?shù)單位相同，分子可以直接相加減”的認(rèn)知。當(dāng)遇到新問題“1/2+1/4”時，學(xué)生自然能想到如果這兩個分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位相同就好算了。

2.引導(dǎo)學(xué)生實際操作，理解直觀模型

在小學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，數(shù)和形是緊密聯(lián)系的，數(shù)形結(jié)合可以將抽象的數(shù)學(xué)知識與直觀的圖形結(jié)合起來，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化。

“孩子的智慧在手指尖上。”讓學(xué)生在具身操作中豐富知識表象、建構(gòu)知識模型是行之有效的方法。在數(shù)的認(rèn)識中，可利用小棒、方塊、計數(shù)器、數(shù)射線等直觀模型幫助學(xué)生理解數(shù)的意義和組成。在數(shù)的運算中，利用直觀模型更能幫助學(xué)生理解算理和算法。如在蘇教版教材五年級下冊“異分母分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)中，板書算式“1/2+1/4” 之后，教師鼓勵學(xué)生獨立思考后嘗試計算。有學(xué)生通過折紙涂色的方法得出結(jié)果，有學(xué)生通過通分算出結(jié)果。筆者讓學(xué)生對比這兩種方法，說說發(fā)現(xiàn)了什么，引導(dǎo)學(xué)生去觀察、思考、比較、聯(lián)系。學(xué)生發(fā)現(xiàn)原來的1/2再折一次就出現(xiàn)了1/4，兩種方法其實是一致的，它們分別從數(shù)與形的角度展示了異分母分?jǐn)?shù)加法的算理。

通過比較各種版本的教材，筆者發(fā)現(xiàn)在明確算理的環(huán)節(jié)中，各版本的教材都注重借助幾何直觀來展示。一來可以讓抽象的計算過程具體化、直觀化、形象化;二來可以讓學(xué)生在操作過程中邊操作邊思考，從而探究方法，溝通算理。如借助方塊模型理解三位數(shù)加減法算理，借助分小棒理解首位不能整除的除法筆算，借助圖形涂色理解分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的算理，借助點子圖理解小數(shù)除以整數(shù)的算理……

3.緊密關(guān)聯(lián)前后知識，建構(gòu)系統(tǒng)模型

教師在教學(xué)中要切忌就教材教教材，堅決破除“教材上有什么就教什么”的思想。首先，教師要有整體意識，研讀教材了解前后知識編排體系，形成系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，只有這樣才能幫助學(xué)生開展有意義的學(xué)習(xí)，進(jìn)而建構(gòu)模型，形成知識結(jié)構(gòu)。在教學(xué)時，教師要引導(dǎo)學(xué)生梳理新舊知識之間的關(guān)聯(lián)，弄清知識的來龍去脈，并把新知識與舊知識進(jìn)行對比，在順應(yīng)和同化中將新知融入原有的知識系統(tǒng)。如“異分母分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)的全課總結(jié)階段，在學(xué)生總結(jié)出異分母分?jǐn)?shù)加減法的計算法則之后，筆者設(shè)計了這樣的追問：“整數(shù)加減法是怎樣計算的？小數(shù)加減法是怎樣計算的？它們有什么相同之處？分?jǐn)?shù)加減法又是如何計算的？它與整數(shù)、小數(shù)加減法又有什么相通之處？”通過梳理、比較，學(xué)生逐步認(rèn)識到：整數(shù)加減法是末位對齊，小數(shù)加減法是小數(shù)點對齊，本質(zhì)都是相同數(shù)位對齊，相同計數(shù)單位相加減;分?jǐn)?shù)加減法也同樣是相同的分?jǐn)?shù)單位才能相加減，所以要先通分。這樣做，可促進(jìn)學(xué)生更深層次地理解、掌握計算模型，建構(gòu)起新的、相對完整的知識網(wǎng)絡(luò)。因此，計算教學(xué)一定要著眼整體，不能僅僅聚焦于零散的知識點，要充分按照數(shù)學(xué)知識的邏輯結(jié)構(gòu)、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展順序，以相關(guān)活動為主線對教材內(nèi)容進(jìn)行整合設(shè)計，及時組織學(xué)生展開回顧與反思，使學(xué)生“既見樹木又見森林”，在各種變化的情境中逐步體會不變的模型。

綜上所述，運用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計算探究，是模型思想在小學(xué)計算教學(xué)中的重要體現(xiàn)。教師要通過整合教材體系，把計算教學(xué)的一個個知識點組成塊、串成鏈，以模型思想組織計算教學(xué)，幫助學(xué)生建構(gòu)好數(shù)學(xué)模型，體會數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價值，形成結(jié)構(gòu)化的知識，引導(dǎo)學(xué)生以更廣闊的視野、站在更高的層面建構(gòu)新的認(rèn)知體系。當(dāng)在教學(xué)中滲透模型思想成為教師的自覺行為時，必然能讓計算教學(xué)向下扎根、向上生長，促進(jìn)學(xué)生的思維走向自主建構(gòu)，整體提高學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 羅 艷）