習(xí)題設(shè)計(jì)：用“發(fā)展”代替“重復(fù)”

姜華

摘要：觀(guān)察《解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化》第2課時(shí)的教學(xué)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在變式練習(xí)中遭遇滑鐵盧。分析發(fā)現(xiàn)，鞏固應(yīng)用環(huán)節(jié)的習(xí)題設(shè)計(jì)，存在簡(jiǎn)單重復(fù)的問(wèn)題。對(duì)此，提出用“發(fā)展”代替“重復(fù)”的改進(jìn)思路。具體包括：以“熟”解“生”，夯實(shí)基礎(chǔ)；消除定式，深化理解；打通聯(lián)系，整體架構(gòu)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；習(xí)題設(shè)計(jì)；解決問(wèn)題的策略

一、緣起：學(xué)生在變式練習(xí)中遭遇滑鐵盧

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)《解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化》單元，主要教學(xué)內(nèi)容為用轉(zhuǎn)化的策略解決相關(guān)的問(wèn)題。轉(zhuǎn)化是一種常見(jiàn)的、極其重要的策略。理解并掌握這一策略，對(duì)于學(xué)生形成分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力以及發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，都具有非常重要的意義。轉(zhuǎn)化策略教學(xué)的難點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)具體問(wèn)題尋找合適的轉(zhuǎn)化方法。

前段時(shí)間，學(xué)校舉行了青年教師賽課活動(dòng)，其中一位教師執(zhí)教的就是《解決問(wèn)題的策略——轉(zhuǎn)化》第2課時(shí)，教學(xué)內(nèi)容主要為例2（計(jì)算“1/2+1/4+1/8+1/16”）及相關(guān)習(xí)題。例2從數(shù)與運(yùn)算的角度編排了連加式題的等值轉(zhuǎn)化，旨在先讓學(xué)生各自計(jì)算一組公比為12的等比數(shù)列的和，再引導(dǎo)他們借助直觀(guān)圖形將這組分?jǐn)?shù)連加計(jì)算轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)減法計(jì)算。該教師設(shè)計(jì)的教學(xué)流程是：先讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)例題中的算式有什么特點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生從不同的角度表達(dá)發(fā)現(xiàn)；然后要求學(xué)生各自計(jì)算，再相機(jī)揭示數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化方法，即把正方形看作單位“1”；在鞏固應(yīng)用環(huán)節(jié)，選用了3道習(xí)題（見(jiàn)下頁(yè)圖1），學(xué)生基本能基于例題學(xué)習(xí)時(shí)獲得的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略，借助直觀(guān)圖形順利解決問(wèn)題，甚至有學(xué)生能在看到題目后將答案脫口而出。學(xué)生似乎已經(jīng)掌握了轉(zhuǎn)化策略的應(yīng)用過(guò)程和特點(diǎn)，形成了運(yùn)用轉(zhuǎn)化策略解決問(wèn)題的能力。

但后續(xù)的當(dāng)堂檢測(cè)環(huán)節(jié)，學(xué)生在解答變式練習(xí)“1/3+1/6+1/12+1/24+1/48”時(shí)卻遭遇了滑鐵盧。學(xué)生的解題過(guò)程主要有兩種（見(jiàn)圖2、圖3）。從圖2中的解題過(guò)程可以看出，從例題到鞏固練習(xí)再到這里的變式，學(xué)生出現(xiàn)了思維定式，直接套用了例題中的轉(zhuǎn)化結(jié)論。圖3中，學(xué)生采用了將“異分母分?jǐn)?shù)通分成同分母分?jǐn)?shù)”的一般分?jǐn)?shù)計(jì)算方法，過(guò)程相對(duì)比較復(fù)雜。對(duì)此類(lèi)學(xué)生進(jìn)行訪(fǎng)談得知：他們通過(guò)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，該題中的分?jǐn)?shù)與之前多道練習(xí)中的分?jǐn)?shù)都不一樣，不再是“1/2，1/4，1/8，…”，感覺(jué)之前的方法不再適用，所以采用了最穩(wěn)妥的通分法。

全班37名學(xué)生中，能自覺(jué)將這個(gè)分?jǐn)?shù)連加計(jì)算轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)減法計(jì)算并計(jì)算正確的只有3人，約占總?cè)藬?shù)的8%，此前出現(xiàn)的令人欣喜的教學(xué)效果不復(fù)存在。這自然引起了我們的關(guān)注：?jiǎn)栴}到底出在哪里？

二、分析與改進(jìn)：習(xí)題設(shè)計(jì)應(yīng)該用“發(fā)展”代替“重復(fù)”

我們知道，習(xí)題是對(duì)例題的重要補(bǔ)充，能夠幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)，助力學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)串成線(xiàn)、織成面。而上述教師的習(xí)題設(shè)計(jì)，存在簡(jiǎn)單重復(fù)的問(wèn)題。

教材編排的例2中，4個(gè)分?jǐn)?shù)的分母依次是2、2×2、2×2×2、2×2×2×2，后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母總是前一個(gè)分?jǐn)?shù)分母的2倍，也就是說(shuō)后一個(gè)分?jǐn)?shù)的值總是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的一半，這是一組公比為1/2的等比數(shù)列。圖1中的三道鞏固習(xí)題看似分層有序，實(shí)則思維層次比較接近：雖然分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)在例2的基礎(chǔ)上有所增加，但分?jǐn)?shù)的形式、結(jié)構(gòu)都沿用了例2的。學(xué)生完全可以套用例2中獲得的方法解答三道題，這屬于機(jī)械模仿的重復(fù)訓(xùn)練。學(xué)生的思維水平并沒(méi)有拾級(jí)而上，仍在淺層原地踏步。這使學(xué)生多次獲得了成功套用的體驗(yàn)，例2中的轉(zhuǎn)化結(jié)論深入其心，導(dǎo)致思維定式。

鄭毓信教授指出：對(duì)同一類(lèi)型的問(wèn)題，教學(xué)中我們也應(yīng)很好地體現(xiàn)這樣一個(gè)重要原則——“用發(fā)展代替重復(fù)”，也即應(yīng)當(dāng)特別重視認(rèn)識(shí)的必要深化，而不應(yīng)簡(jiǎn)單地進(jìn)行重復(fù)。［1］

筆者以為，這三道習(xí)題可以這樣改進(jìn)：

1.請(qǐng)根據(jù)下頁(yè)圖4—圖6的涂色部分，分別列出三道分?jǐn)?shù)加法算式，并計(jì)算結(jié)果。對(duì)比三個(gè)算式，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？（正方形表示“1”）

2.計(jì)算1/3+1/9+1/27+1/81。

3.我們通過(guò)畫(huà)圖研究了“1/2問(wèn)題”“1/3問(wèn)題”，你還想研究“1/（）問(wèn)題”？通過(guò)研究，你發(fā)現(xiàn)了什么？

第1題，以“熟”解“生”。

本節(jié)課中，例題的教學(xué)讓學(xué)生初步感知可以借助直觀(guān)圖形將復(fù)雜的加法算式轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的減法算式，這屬于對(duì)策略的淺層感知。于是，在此基礎(chǔ)上逆向設(shè)計(jì)三道“由圖到式”的形似習(xí)題。說(shuō)其形似，是因?yàn)槿鶊D的涂色部分所對(duì)應(yīng)的加法算式，都是公比為12的等比數(shù)列的和（簡(jiǎn)稱(chēng)“1/2問(wèn)題”），而且圖形的整體結(jié)構(gòu)相似，但與例題圖相比，同中有異，異中有深化。

圖4與例題的圖最為相似，只是分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)的差別，旨在引導(dǎo)學(xué)生鞏固例題中初步獲得的轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)：首項(xiàng)為1/2的這一列等比分?jǐn)?shù)的和，都等于1減去加數(shù)中的最后一個(gè)單位分?jǐn)?shù)；隨著分?jǐn)?shù)的增多，結(jié)果越來(lái)越接近1。圖5與圖4及例題圖相比，首項(xiàng)不再?gòu)?/2出發(fā)，打破了之前的認(rèn)知平衡，給了學(xué)生一個(gè)全新而有力的沖擊，使他們意識(shí)到這樣的轉(zhuǎn)化策略不是只能運(yùn)用于求首項(xiàng)為1/2的一列等比分?jǐn)?shù)的和，還可以做進(jìn)一步拓展。轉(zhuǎn)化的策略是相通的，但是轉(zhuǎn)化后的算法是有變化的，不再用1來(lái)減，而是用2/3減去加數(shù)中的最后一個(gè)單位分?jǐn)?shù)。圖6的出現(xiàn)是為了引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步提煉“1/2問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化規(guī)律。

三張圖、三個(gè)算式，依托同一情境，有層次地呈現(xiàn)有變化的問(wèn)題，旨在引導(dǎo)學(xué)生在例題學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上拾級(jí)而上。前一算式的熟悉、熟練為后一算式的解答儲(chǔ)備知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，后一算式又會(huì)在前一算式的基礎(chǔ)上生長(zhǎng)出新的變化，引發(fā)新的思考，從而幫助學(xué)生提升轉(zhuǎn)化策略的認(rèn)知層次。

第2題，消除定式。

學(xué)生在第1題的解決中，已經(jīng)建立了“1/2問(wèn)題”的解答模型，“1/3+1/9+1/27+1/81”的出現(xiàn)，旨在消除“1/2問(wèn)題”的思維定式，向更廣、更深處延伸。由于“1/2問(wèn)題”的解答模型的影響，多數(shù)學(xué)生看到第2題的第一反應(yīng)就是轉(zhuǎn)化成“2/3－1/81”。在用常見(jiàn)的通分方法驗(yàn)證后，發(fā)現(xiàn)這樣轉(zhuǎn)化的結(jié)果并不正確。此時(shí)，學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生疑惑，想到用畫(huà)圖來(lái)驗(yàn)證。在初次畫(huà)圖時(shí)，幾乎所有的學(xué)生都沿用了“1/2問(wèn)題”中的圖形結(jié)構(gòu)（見(jiàn)圖7），發(fā)現(xiàn)1/3+1/9+1/27+1/81應(yīng)轉(zhuǎn)化成2/3－2/81－1/27－1/9，所以2/3－1/81的轉(zhuǎn)化結(jié)果是錯(cuò)誤的。此時(shí)依圖而來(lái)的轉(zhuǎn)化，并沒(méi)有讓問(wèn)題的解決得到簡(jiǎn)化。不成功的轉(zhuǎn)化經(jīng)歷，迫使學(xué)生回到起點(diǎn)重新去觀(guān)察這一組分?jǐn)?shù)的特點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)這是一類(lèi)新的問(wèn)題（簡(jiǎn)稱(chēng)“1/3問(wèn)題”），需要進(jìn)一步探究適用于其的畫(huà)圖方法（見(jiàn)圖8），并在此基礎(chǔ)上探尋有別于“1/2問(wèn)題”的轉(zhuǎn)化過(guò)程。

由基礎(chǔ)的“1/2問(wèn)題”延伸到變式的“1/3問(wèn)題”，學(xué)生把畫(huà)圖這一方法用到了深處、實(shí)處。他們?cè)诋?huà)圖中對(duì)比，在畫(huà)圖中突破，在一次次看似失敗的經(jīng)歷中，數(shù)學(xué)思維卻在向縱深拓展。學(xué)生通過(guò)類(lèi)比、探究，不僅明晰了不能機(jī)械模仿的道理，也在多變的現(xiàn)象中完善了認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)成了對(duì)策略的深度理解。

第3題，打通聯(lián)系。

從形似習(xí)題到變式習(xí)題，學(xué)生打開(kāi)了思維的閘門(mén)，跳出了教材的局限，不僅畫(huà)圖研究了“1/2問(wèn)題”，還拓展研究了“1/3問(wèn)題”，學(xué)生的視野更廣闊了。此時(shí)，大部分學(xué)生對(duì)“1/（? ）問(wèn)題”的研究印象是“各有各的轉(zhuǎn)化策略”，彼此之間是割裂的。第3題，意在給學(xué)生一個(gè)更廣闊的研究空間，從一道題的研究走向一系列問(wèn)題的研究，打通學(xué)生對(duì)“1/（? ）問(wèn)題”初步形成的轉(zhuǎn)化策略的“隔斷墻”。通過(guò)研究，學(xué)生自然會(huì)發(fā)現(xiàn)：當(dāng)a為大于等于2的自然數(shù)時(shí)，求關(guān)于幾分之一的等比數(shù)列的和是有通法的，也就是有相通的轉(zhuǎn)化策略的，即1a+1a2+1a3+…+1an=1-1an÷（a-1）。當(dāng)然，實(shí)際教學(xué)中有時(shí)不會(huì)這么深入，不需要學(xué)生得到這一公式。

這凸顯了知識(shí)的結(jié)構(gòu)化與一致性，也讓轉(zhuǎn)化的策略得到了充分的延展。

參考文獻(xiàn)：

［1］ 鄭毓信.數(shù)學(xué)深度教學(xué)的理論與實(shí)踐［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020：120.