【摘要】現(xiàn)行高中課本教材中的“探究”欄目，大多出現(xiàn)在一些核心概念或命題教學(xué)的關(guān)鍵點(diǎn)處，通過比較、分析人教A版數(shù)學(xué)教科書必修第一冊(cè)“探究”欄目中的問題和情境，發(fā)現(xiàn)其常見的呈現(xiàn)方式有“自然生長(zhǎng)”式、“類比研究”式、“操作驗(yàn)證”式、“拋磚引玉”式、“拓展提升”式等多種形式.借鑒這些形式，根據(jù)教學(xué)實(shí)際靈活設(shè)計(jì)情境、問題、探究方式，對(duì)師生的課堂教與學(xué)有很大幫助.

【關(guān)鍵詞】探究欄目；數(shù)學(xué)情境；數(shù)學(xué)問題；呈現(xiàn)方式

課堂探究是學(xué)習(xí)者在課堂學(xué)習(xí)中，在情境問題引導(dǎo)下，通過自主探究、合作交流，解決問題的同時(shí)獲得知識(shí)或方法的一種學(xué)習(xí)方式.

現(xiàn)行人教A版普通高中數(shù)學(xué)教科書中，有“思考”“觀察”“探究”“閱讀與思考”等欄目，其中“探究”是呈現(xiàn)教學(xué)策略，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的欄目［1］.“探究”一欄是針對(duì)重、難點(diǎn)知識(shí)，通過對(duì)知識(shí)獲得過程進(jìn)行設(shè)計(jì)，幫助掌握知識(shí)或方法的一個(gè)欄目，其大多出現(xiàn)在課本一些核心概念或命題的教學(xué)中，所設(shè)置的探究情境和問題，呈現(xiàn)方式豐富多彩.

1“探究”欄目的分布與作用

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)表現(xiàn)為發(fā)現(xiàn)和提出問題、猜測(cè)數(shù)學(xué)結(jié)論、提出解決問題的思路和方案、論證數(shù)學(xué)結(jié)論［2］.課本“探究”欄目中的“探究”也具有上述的表現(xiàn)形式，不同的是受課堂教學(xué)的條件限制，表現(xiàn)出來的更多是一種“短探究”或“微探究”.

課本“探究”欄目在每小節(jié)內(nèi)容的前面、中間、后面都有出現(xiàn)，我們把這三種情況稱為課堂中的課前探究、課中探究、課后探究.以“人教A版普通高中教科書·數(shù)學(xué)·必修第一冊(cè)”中“探究”欄目為例，全冊(cè)五章共43處（不含“探究與發(fā)現(xiàn)”），其中課前探究14處，課后探究6處，課中探究23處.從中我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，這些探究欄目中的“探究”，主要以課中探究和課前探究為主，放在每節(jié)教學(xué)內(nèi)容關(guān)鍵點(diǎn)處，其作用是導(dǎo)學(xué)和導(dǎo)研.具體地說，一方面在教學(xué)中可以起導(dǎo)課的作用，明確任務(wù)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；另一方面其本身也是新知識(shí)的一部分，問題的解決過程就是新知識(shí)的掌握過程.課后探究放在課堂教學(xué)后部，多是知識(shí)或方法的拓展，有時(shí)甚至需要學(xué)生課后查閱資料完成.這些“探究”欄目的分布中，除7處與概念教學(xué)相關(guān)外，其余主要出現(xiàn)在命題教學(xué)中，多與定理、公式、法則、規(guī)律的獲得或使用有關(guān).

語句表述上，多以疑問句為主，少數(shù)地方用到祈使句，語言簡(jiǎn)潔，學(xué)習(xí)任務(wù)表述親切自然，易讓人對(duì)問題產(chǎn)生研究的欲望.

2 “探究”欄目中情境與問題呈現(xiàn)手法

2.1“自然生長(zhǎng)”式

這一類型的“探究”是知識(shí)學(xué)習(xí)完后，自然產(chǎn)生或自然的延續(xù).它與前面知識(shí)有著非常緊密的聯(lián)系，有著自然的慣性，甚至很多學(xué)生在前面知識(shí)學(xué)完后都會(huì)產(chǎn)生這樣的問題.

案例1（§5.1.2弧度制）探究角度制、弧度制都是角的度量制，它們之間可以換算.如何換算？［3］173

本探究是在引入弧度制，講解完“弧度”的相關(guān)概念后進(jìn)行的.弧度制的引入與學(xué)生原有認(rèn)知中用角度來度量角產(chǎn)生認(rèn)知沖突，自然會(huì)想：弧度制與角度制兩者之間有何聯(lián)系，兩者之間如何進(jìn)行換算.所以這一探究的設(shè)置，顯得非常自然，是前面知識(shí)講解完后的自然延續(xù).

這種“自然生長(zhǎng)式”的課堂探究一方面是內(nèi)容的自然，另一方面是出現(xiàn)方式的自然.如“對(duì)數(shù)”的概念講完后，自然探究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，“指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)”的學(xué)習(xí)中，第一個(gè)探究是通過畫出特殊的指數(shù)函數(shù)圖象了解性質(zhì)，第二個(gè)探究是在第一個(gè)探究的基礎(chǔ)上，借助圖象，概括出一般的指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，探究間有著很自然的邏輯聯(lián)系.

2.2“類比研究”式

不同種屬事物間由于某些條件、結(jié)構(gòu)等的相似性，容易對(duì)某些性質(zhì)產(chǎn)生關(guān)聯(lián)的猜想.

案例2（§3.2.2奇偶性）探究類比函數(shù)單調(diào)性，你能用符號(hào)語言精確地描述“函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱”這一特征嗎？［3］82

函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的研究，從方法上是相似的，都是先通過圖象直觀感知，了解性質(zhì)，然后通過特殊的函數(shù)，借助直觀感知的結(jié)論，抽象出一般化的概念.這一探究就是借助研究方法上的相似之處，讓學(xué)習(xí)者按著上一節(jié)的探究方法，類比聯(lián)想，由“點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱”的幾何特征去獲得相應(yīng)的代數(shù)特征的表述.

用類比的方法研究問題，是數(shù)學(xué)常用的方法. 高中數(shù)學(xué)中，空間幾何體與平面幾何圖形的性質(zhì)、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、向量與數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)等，都有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，可以用類比的方法，產(chǎn)生探究的問題，借助問題引路，得到新的方法或結(jié)論.

2.3“操作驗(yàn)證”式

這是一種為達(dá)到某個(gè)目標(biāo)，在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)相關(guān)的實(shí)踐操作情境，以情境中的問題或方法為指引方向，引導(dǎo)學(xué)生思考、操作、推理驗(yàn)證，獲得或驗(yàn)證結(jié)論的一種探究方式.

案例3（§3.3冪函數(shù)）探究觀察函數(shù)圖象并結(jié)合函數(shù)解析式，將你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論寫在下表內(nèi).

這些函數(shù)圖象有公共點(diǎn)嗎？［3］90

課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)情境有多種，常見的有實(shí)物情境、游戲情境、故事情境、操作情境等.本例的探究，就是一種操作情境，通過實(shí)驗(yàn)操作.獲得結(jié)論，這種方式常用在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂命題教學(xué)中，它能夠讓學(xué)習(xí)者更加自覺主動(dòng)參與課堂探究.

學(xué)生對(duì)函數(shù)y=x、y=x2、y=x－1圖象比較熟悉，獲得函數(shù)y=x3、y=x12的圖象有兩種方式，一種是教師的課前預(yù)設(shè)，另一種是讓學(xué)生在課堂中結(jié)合定義域和單調(diào)性，借助一些特殊點(diǎn)畫出圖象.通過畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合定義域、值域、奇偶性在圖象中反映的數(shù)學(xué)特征，獲得探究的結(jié)果.這一探究其實(shí)有兩個(gè)過程，一個(gè)是畫圖象的過程，另一個(gè)是通過觀察圖象獲取性質(zhì)的過程，這兩個(gè)過程，學(xué)生的學(xué)習(xí)是通過畫出函數(shù)圖象（動(dòng)手操作）的基礎(chǔ)上完成的.

操作情境是數(shù)學(xué)探究中常用到的一種情境，對(duì)于一些抽象的問題，通過轉(zhuǎn)化為具體可操作的計(jì)算或?qū)嶒?yàn)，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，促進(jìn)學(xué)生積極主動(dòng)地參與到課堂學(xué)習(xí)中.設(shè)置操作情境是關(guān)注學(xué)生的過程性學(xué)習(xí)的一種體現(xiàn)，學(xué)生在課堂上動(dòng)手操作，其作用是把知識(shí)結(jié)果的單純給予，分解為學(xué)生可接受、可實(shí)踐的探究，通過探究的過程獲得結(jié)論，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的掌握.操作情境注重學(xué)生的過程性學(xué)習(xí)，因此，通過操作情境引導(dǎo)探究對(duì)提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率有很大的幫助.

很多生活中的現(xiàn)實(shí)情境，因?yàn)閺那榫车絾栴}往往需要較多的語言進(jìn)行描述，所以一些命題性質(zhì)的研究，現(xiàn)實(shí)生活情境反而不如操作情境更能讓學(xué)習(xí)者對(duì)所學(xué)知識(shí)理解更深刻.

2.4“拋磚引玉”式

這種形式多是條件清晰，目標(biāo)明確，提供或明或暗的方法提示，在問題指引下的定向探究，完成探究的過程就是新知識(shí)的獲得過程.純數(shù)學(xué)問題更容易直達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，特別是一些數(shù)學(xué)內(nèi)容多、難度大、知識(shí)面廣的課堂，經(jīng)常用純數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)探究.純數(shù)學(xué)知識(shí)情境大量出現(xiàn)在這種形式的探究之中，這種形式運(yùn)用很靈活，有時(shí)是一個(gè)問題，有時(shí)是幾個(gè)平行或遞進(jìn)的問題，出現(xiàn)的位置可以與前后知識(shí)有聯(lián)系，也可以與前面知識(shí)聯(lián)系不大.

案例4（§4.3.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算）探究（1）利用計(jì)算工具求ln2，ln3的近似值；

（2）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，你能利用ln2，ln3的值求log23的值嗎？

（3）根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，你能用logca，logcb表示logab（a>0，且a≠1；b>0；且c≠1）嗎？［3］125

本例是在對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)完成后進(jìn)行的探究，意圖通過特殊到一般發(fā)現(xiàn)換底公式并嘗試獲得證明方法.本例問題（2）利用對(duì)數(shù)的定義實(shí)現(xiàn)常用對(duì)數(shù)到自然對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)化，是探究的關(guān)鍵.問題（2）到問題（3），是特殊與一般的關(guān)系，在問題（2）的方法啟發(fā)下解決問題（3）所設(shè)置的問題，搭設(shè)橋梁進(jìn)行研究，獲得換底公式.

通過問題導(dǎo)學(xué)，學(xué)生在提示的問題（或方法）指引下，獲得探究設(shè)計(jì)所期望的結(jié)果，探究所設(shè)置的問題既是學(xué)習(xí)指引的方向，又是到達(dá)知識(shí)彼岸的階梯.這種問題導(dǎo)研式的探究欄目，在課本中出現(xiàn)很多，它沒有華麗的情境，但樸實(shí)的純數(shù)學(xué)問題題境讓探究更加數(shù)學(xué)化，更有數(shù)學(xué)味.

2.5“拓展提升”式

這是一種給定研究?jī)?nèi)容或方向，但不限制研究方法，結(jié)論開放的探究.這種類型探究出現(xiàn)位置多為本小節(jié)最后位置，可以課堂完成也可以課后完成，屬于課本內(nèi)容的拓展，對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較大的幫助.

案例5（§3.1.1函數(shù)的概念）探究構(gòu)建其他可用解析式y(tǒng)=x（10－x）描述其中變量關(guān)系的問題情境.［3］63

本例以學(xué)生相對(duì)熟悉的二次函數(shù)為背景，出現(xiàn)在“函數(shù)的概念”這一小節(jié)最后，在這一探究之前設(shè)計(jì)了一個(gè)與之相似的問題情境的教學(xué).考慮到高一剛?cè)雽W(xué)學(xué)生知識(shí)儲(chǔ)備不足，數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)普遍不高，給出解析式，設(shè)計(jì)與之對(duì)應(yīng)的問題情境，很多學(xué)生還是有一定難度的，因此，在課本中放在本小節(jié)的最后，讓學(xué)有余力的學(xué)生選擇學(xué)習(xí)，是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育的初步嘗試.

這種設(shè)計(jì)開放水平程度高，有時(shí)需要學(xué)生課后查閱資料、合作交流完成.也正因?yàn)檫@種探究給學(xué)生有較大的自主研究空間，因此對(duì)激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)有很好的幫助.

再如第5.5.1節(jié)中的“你能從和（差）角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪些等式？”也是這種類型的探究.

人教A版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)“探究”欄目43個(gè)“探究”中，“自然生長(zhǎng)式”有10個(gè)，“類比發(fā)生式”有5個(gè)，“操作驗(yàn)證式”有5個(gè)，“拋磚引玉”式有19個(gè)，“拓展提升式”有4個(gè).

3教學(xué)中的使用

課堂探究以情境為背景，問題為方向，但課堂探究的情境創(chuàng)設(shè)有其復(fù)雜的一面.課本中的“探究”設(shè)計(jì)，大都很經(jīng)典，適合大部分老師的教學(xué)需求，被大家廣為采用，但在實(shí)際教學(xué)中，教師們的使用可以更靈活.

3.1情境的靈活創(chuàng)設(shè)

課本探究欄目設(shè)置的問題情境針對(duì)大部分學(xué)生，使用群體范圍廣，從課本篇幅考慮又要求問題盡量簡(jiǎn)潔，書面表達(dá)的局限性讓情境的展示方式相對(duì)單一，因此，情境載體采用學(xué)生們熟悉的純數(shù)學(xué)知識(shí)居多.而教師在實(shí)際教學(xué)中，在日新月異的多媒體快速發(fā)展時(shí)代，可以借助網(wǎng)絡(luò)收集大量圖片、音頻、視頻等，加工改造成為數(shù)學(xué)課堂探究教學(xué)情境；可以動(dòng)手制作教具或設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)操作情境，獲得印象深刻的結(jié)論；可以收集學(xué)生熟悉的生活情境，與課堂知識(shí)相融成為新的情境.

學(xué)生群體自己內(nèi)部特有的文化也是一種很好的情境資源.利用教學(xué)連續(xù)性，收集學(xué)生中可用于創(chuàng)設(shè)探究情境的素材，采用課前提前預(yù)設(shè)情境、同一情境在不同課堂中重復(fù)使用等方式，讓情境的創(chuàng)設(shè)更有利用于學(xué)生學(xué)習(xí).

3.2問題的靈活設(shè)計(jì)

教學(xué)中，問題呈現(xiàn)可以更加靈活.課本探究多為定條件、定方向、定方法，有聯(lián)系的定向探究，難度相對(duì)簡(jiǎn)單，普適性強(qiáng).內(nèi)容和方法更開放的探究，更有利于學(xué)生思維水平和學(xué)習(xí)能力的提升.在課堂實(shí)際教學(xué)中，因?yàn)閷?duì)學(xué)生的學(xué)情更加熟悉，探究情境和問題會(huì)更符合學(xué)生的認(rèn)知，設(shè)置的問題開放程度可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)狀態(tài)進(jìn)行調(diào)整.

課堂教學(xué)中，教師會(huì)設(shè)計(jì)問題難度不一的探究，時(shí)間長(zhǎng)短可以根據(jù)課堂需要而靈活控制，問題提出的時(shí)機(jī)和師生在探究中的時(shí)間分配會(huì)根據(jù)課堂的變化而變化.

3.3探究的靈活開展

設(shè)計(jì)更多有聯(lián)系的探究，探究能力的進(jìn)階式培養(yǎng)，進(jìn)行整體規(guī)劃，引導(dǎo)學(xué)生在探究結(jié)束后“反思”“回顧”數(shù)學(xué)探究的過程［4］，會(huì)促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的提升.

獨(dú)立探究、小組合作等形式交叉或組合使用，讓探究更加靈活多變.有幾類探究會(huì)讓學(xué)生感覺有點(diǎn)困難，一是條件與結(jié)論跨度大，中間聯(lián)系結(jié)點(diǎn)少的探究；二是問題抽象，所需知識(shí)或方法學(xué)生不熟悉或知識(shí)遺忘較多的問題的探究；三是對(duì)解決問題的方法展開的探究（在人教A版必修第一冊(cè)中只有5處涉及到方法的探究）.難度較大的探究采用合作探究的形式，通過課堂交流會(huì)產(chǎn)生更好效果.

教師先讓學(xué)生對(duì)一些難度較大的問題進(jìn)行探究，如果探究出現(xiàn)困難，再給予一些啟示，這是一種很常見的探究教學(xué)操作形式，這種模式為探究教學(xué)的開展帶來很大便利.

課本探究欄目中情境與問題的呈現(xiàn)方式，為我們提供了很好的教學(xué)啟示.平時(shí)我們課堂教學(xué)時(shí)間短，傳授的多以適當(dāng)加工的數(shù)學(xué)知識(shí)為主，課本探究欄目的短探究為一些數(shù)學(xué)核心知識(shí)的教學(xué)搭建了一座連結(jié)新舊知識(shí)的“橋梁”，既教知識(shí)又教學(xué)習(xí)知識(shí)的方法.研究課本數(shù)學(xué)探究欄目，會(huì)發(fā)現(xiàn)其位置靈活，設(shè)置手法靈活，呈現(xiàn)方式靈活，作用多樣.我們?cè)谝恍┙虒W(xué)關(guān)鍵點(diǎn)處利用好課本探究欄目外，還可借鑒課本探究欄目中情境與問題的呈現(xiàn)方式，對(duì)課堂探究根據(jù)實(shí)際教學(xué)進(jìn)行一些更靈活的設(shè)計(jì).好的教學(xué)設(shè)計(jì)是課堂成功的一半，科學(xué)的探究情境的設(shè)計(jì)為課堂教學(xué)的開展提供了充分的保證.

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［4］李健，李海東.數(shù)學(xué)教科書探究見容的設(shè)計(jì)原則與教學(xué)建議［J］.高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2022（02）：7.

作者簡(jiǎn)介葉忠（1972—），男，福建浦城人，中學(xué)高級(jí)教師，教育碩士；福建省泉州市“十四五”第一批中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)名師培養(yǎng)對(duì)象；研究方向?yàn)楦咧袛?shù)學(xué)教學(xué).