李 慧，張 呈

（安徽大學(xué)哲學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230039）

亞氏三段論是自然語(yǔ)言中重要的推理形式，早在2300 多年前，亞里士多德及其學(xué)派就利用換位法、歸謬法和顯示法等方法對(duì)其有效性進(jìn)行了非形式化的研究[1]。計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能的發(fā)展，急需邏輯學(xué)的形式化和公理化，一些學(xué)者利用現(xiàn)代邏輯手段，展開(kāi)了亞氏三段論的形式化研究[1-3]。

由于亞氏三段論大前提、小前提和結(jié)論都可以由A、E、I、O 這四種直言命題組成，而中項(xiàng)在前提中又有四種不同的位置，因此亞氏三段論共有（4×4×4×4=）256 種，其中有效的三段論只有24 種。?ukasiewicz（1957）利用命題推理規(guī)則[4]，從AAA-1 和AII-3 這兩個(gè)亞氏三段論出發(fā)，形式化地推導(dǎo)出了另外22 個(gè)有效三段論。蔡曙山（1988）在?ukasiewicz 這一工作的基礎(chǔ)上[5]，利用一階邏輯的知識(shí)，把AAA-1 和AII-3 這兩個(gè)亞氏三段論和(aEb→bEa)（即亞氏量詞no 的對(duì)稱(chēng)性）作為基礎(chǔ)公理，對(duì)其進(jìn)行了公理化。張曉君和李晟（2016）利用廣義量詞理論[1]，則從AAA-1 和EAE-1 這兩個(gè)亞氏三段論出發(fā)，形式化地證明了另外22 個(gè)有效三段論。黃夢(mèng)瑤和張曉君（2020）利用廣義量詞理論[6]，對(duì)?ukasiewicz（1957）的工作進(jìn)行了闡釋。

總之，在已有的文獻(xiàn)中，至少是從兩個(gè)有效的亞氏三段論，才能夠推演出其他亞氏三段論（張曉君和吳寶祥（2021））[7]。但是筆者的研究表明：利用亞氏量詞的三種否定量詞的定義、亞氏量詞no和some的對(duì)稱(chēng)性、多個(gè)命題推理規(guī)則，僅僅從EIO-3這一個(gè)有效三段論出發(fā)，就可以推演出其他23個(gè)有效的亞氏三段論。

在亞氏三段論邏輯的可靠性和完全性等元邏輯研究方面，Moss（2008）利用證明樹(shù)或者典范模型的方法研究了13 個(gè)三段論片段的可靠性和完全性[8]，但其證明過(guò)程不夠規(guī)范。張曉君（2020）對(duì)Moss（2008）的工作進(jìn)行了闡釋[9]，周北海等（2018）把Axx、Axx--、Ax--x 和Exx-這4 個(gè)規(guī)律作為基礎(chǔ)公理（其中“-”是負(fù)詞項(xiàng)算子[10]），并把AAA-1和EAE-1三段論、EE-換位率、AI-換位率、EA-換質(zhì)率和OI-換質(zhì)率這6個(gè)非命題邏輯的規(guī)則作為初始規(guī)則（因此其基礎(chǔ)公理實(shí)則是10個(gè)），給出了亞氏三段論邏輯的公理系統(tǒng)，并利用典范模型的方法證明了其完全性和可靠性。

筆者的研究表明：僅僅以EIO-3 三段論、all(a,a)（即所有a 是a）和some(a,a)（即有些a 是a）這3個(gè)有效公式為基礎(chǔ)公理，利用亞氏量詞的三種否定量詞的定義、亞氏量詞no和some的對(duì)稱(chēng)性、多個(gè)命題推理規(guī)則，就可以給出亞氏三段論邏輯的形式化公理系統(tǒng)；而且利用典范模型的方法，就可以直觀簡(jiǎn)潔地證明其完全性和可靠性，從而大大簡(jiǎn)化周北海等（2018）的完全性和可靠性的證明。

廣義量詞理論[2][11]認(rèn)為：（1）亞氏三段論實(shí)則表征了四個(gè)亞氏量詞（all、no、some 和not all）的語(yǔ)義性質(zhì)和推理性質(zhì)；（2）這四個(gè)亞氏量詞是〈1,1〉類(lèi)型的特殊廣義量詞；（3）包含任一亞氏量詞Q的直言命題都具有Q(x,y)這樣的三分結(jié)構(gòu)[12]，其中x 表示主項(xiàng)，y 表示謂項(xiàng)。因此全稱(chēng)肯定命題A、全稱(chēng)否定命題E、特稱(chēng)肯定命題I 和特稱(chēng)否定命題O 可以分別表示為all(x,y)、no(x,y)、some(x,y)和not all(x,y)這四種形式的語(yǔ)句，分別讀作：所有x 是y、所有x 都不是y（即沒(méi)有x 是y）、有些x 是y、有些x不是y（即并非所有x是y）。

一、亞氏三段論系統(tǒng)的語(yǔ)言和語(yǔ)義

1.初始符號(hào)

（1）原子詞項(xiàng)變?cè)簒,y,z

（2）一元否定算子：﹁

（3）二元蘊(yùn)涵算子：→

（4）量詞Q：all

（5）括號(hào)：(,)

2.形成規(guī)則

（1）如果Q是一個(gè)量詞，x和y是原子詞項(xiàng)變?cè)?，那么Q(x,y)是一個(gè)合式公式；

（2）如果p和q是合式公式，那么﹁p和p→q是合式公式；

（3）只有通過(guò)（1）和（2）得到的公式才是合式公式。

令D 是原子詞項(xiàng)變?cè)恼撚?，并令Q 是量詞，Q 的外否定量詞記作﹁Q，Q 的內(nèi)否定量詞記作Q﹁，Q 的對(duì)偶否定量詞記作﹁Q﹁。

廣義量詞理論認(rèn)為，在四個(gè)亞氏量詞（all、no、some 和not all）中，任何三個(gè)亞氏量詞都是另一個(gè)亞氏量詞的三種否定（內(nèi)否定、外否定、對(duì)偶否定）量詞之一。具體地說(shuō)：all與not all、no與some互為外否定；all 與no、not all 與some 互為內(nèi)否定；all 與some、not all 與no 互為對(duì)偶否定。因此任何一個(gè)亞氏量詞都可以由另一個(gè)亞氏量詞加以定義。例如：no=all﹁；not all=﹁all；some=﹁all﹁，因此本文作為初始符號(hào)的量詞只有all，其他三個(gè)量詞可以通過(guò)否定量詞的定義得到。

3.相關(guān)定義

（1）聯(lián)結(jié)詞?的定義：(p?q) =def﹁(p→﹁q)

（2）聯(lián)結(jié)詞?的定義：(p?q) =def(p→q)?(q→p)

（3）量詞Q的內(nèi)否定量詞的定義：Q﹁(x,y) =defQ(x,D-y)

（4）量詞Q的外否定量詞的定義：﹁Q(x,y) =def并非Q(x,y)

（5）量詞not all的定義：not all(x,y) =def﹁all(x,y)

（6）量詞no的定義：no(x,y) =defall﹁(x,y)

（7）量詞some的定義：some(x,y) =def﹁all﹁(x,y)

由以上形成規(guī)則和相關(guān)定義可知：all(x,y)、no(x,y)、some(x,y)、not all(x,y)是合式公式，no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))也是合式公式，分別讀作“所有x是y”、“沒(méi)有x是y（即‘所有x都不是y’）”、“有些x是y”、“并非所有x是y（即‘有些x不是y’）”、“如果沒(méi)有y是z，那么：‘若有些y是x’，則‘并非所有x是z’”。其他與此類(lèi)似。

由于本文只研究包含all(x,y)、no(x,y)、some(x,y)和not all(x,y)這四種形式的語(yǔ)句，所以不存在任何形式的遞歸。

二、亞氏三段論公理系統(tǒng)

EIO-3 三段論在亞氏三段論系統(tǒng)中可以被證實(shí)，記作?no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))，其他記法與此類(lèi)似。由基礎(chǔ)公理和推理規(guī)則可以推演出該系統(tǒng)中可以被證實(shí)的三段論。

1.基礎(chǔ)公理

（1）A0：如果α是命題邏輯中有效公式，那么?α。

（2）A1：?all(x,x)

（3）A2：?some(x,x)

（4）A3（即EIO-3）：?no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))

下文將用到如下命題邏輯的推理規(guī)則。

2.推理規(guī)則

在下列規(guī)則中α,β,γ和δ均為合式公式。

（1）分離規(guī)則：從?(α→β)和?α可推演?β。

（2）前件互換規(guī)則：從?(α→(β→γ))可推演?(β→(α→γ))。

（3）后件弱化規(guī)則：從?(α→(β→γ))和?(γ→δ)可推演?(α→(β→δ))。

（4）逆否規(guī)則：從?(α→β)可推演?(﹁β→﹁α)。

（5）反三段論規(guī)則：從?(α→(β→γ))可推演?(α→(﹁γ→﹁β))。

3.亞氏三段論的證明系統(tǒng)

由以上定義、基礎(chǔ)公理和推理規(guī)則，可以得到以下定理：

定理1（內(nèi)否定定理）：

（1）?all(x,y)?no﹁(x,y)；（2）?no(x,y)?all﹁(x,y)；

（3）?some(x,y)?not all﹁(x,y)；（4）?not all(x,y)?some﹁(x,y)。

定理1表示no與all互為內(nèi)否定，not all與some互為內(nèi)否定。

證明：此定理可以根據(jù)前面給出的相關(guān)定義和推理規(guī)則加以證明。

[1]?some(x,y)=def﹁all﹁(x,y)（根據(jù)some的定義）

[2]?not all(x,y) =def﹁all(x,y)（根據(jù)not all的定義）

[3]?some(x,y)?not all﹁(x,y)（即（3），根據(jù)[1]、[2]可得）

其他證明與此類(lèi)似。證畢。

定理2（外否定定理）：

（1）?all(x,y)?﹁not all(x,y)； （2）?not all(x,y)?all﹁(x,y)；

（3）?some(x,y)?﹁no(x,y)；（4）?no(x,y)?﹁some﹁(x,y)。

定理2表示not all與all互為外否定、no與some互為外否定。

證明：此定理可以根據(jù)前面給出的相關(guān)定義和推理規(guī)則加以證明。

[1]?some(x,y)=def﹁all﹁(x,y)（根據(jù)some的定義）

[2]?no(x,y) =defall﹁(x,y)（根據(jù)no的定義）

[3]?some(x,y)?﹁no(x,y)（即（3），根據(jù)[1]、[2]可得）

其他證明與此類(lèi)似。證畢。

定理3（對(duì)稱(chēng)性定理）：

（1）some的對(duì)稱(chēng)性：?some(x,y)→some(y,x)

（2）no的對(duì)稱(chēng)性：?no(x,y)→no(y,x)

證明：根據(jù)前面給出的相關(guān)定義和推理規(guī)則即可證明。

[1]?no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))（即EIO-3，即公理A3）

[2]?all﹁(y,z)→(some(y,x)→some﹁(x,z))（根據(jù)[1]、內(nèi)否定定理）

[3]?all(y,D-z)→(some(y,x)→some(x,D-z))（根據(jù)[2]和內(nèi)否定量詞的定義）

[4]?all(y,z)→(some(y,x)→some(x,z))（即AII-3，根據(jù)[3]可得）

[5]?all(y,y)→(some(y,x)→some(x,y))（根據(jù)[4]可得）

[6]?all(y,y)（根據(jù)公理A1）

[7]?some(y,x)→some(x,y)（根據(jù)[5]、[6]和分離規(guī)則）

[8]?some(x,y)→some(y,x)（根據(jù)[7]可得)

[9]?some(x,y)?some(y,x)（即（1），根據(jù)[7]、[8]和?的定義）

[10]?(some(y,x)→some(x,y))→(﹁some(x,y)→﹁some(y,x))（根據(jù)[7]和逆否規(guī)則）

[11]?﹁some(x,y)→﹁some(y,x)（根據(jù)[8]、[10]和分離規(guī)則）

[12]?no(x,y)→no(y,x)（根據(jù)[11]和外否定定理）

[13]?no(y,x)→no(x,y)（根據(jù)[12]可得）

[14]?no(x,y)?no(y,x)（即（2），根據(jù)[12]、[13]和?的定義）

證畢。

定理4（差等定理）：（1）EO-差等定理：?no(x,y)→not all(x,y)

（2）AI-差等定理：?all(x,y)→some(x,y)

證明：根據(jù)前面給出的相關(guān)定義和推理規(guī)則即可證明。

[1]?no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))（即EIO-3，即公理A3）

[2]?some(y,x)→(no(y,z)→not all(x,z))（根據(jù)[1]和前件互換規(guī)則）

[3]?some(y,y)→(no(y,z)→not all(y,z))（根據(jù)[2]可得）

[4]?some(y,y)（根據(jù)公理A1）

[5]?no(y,z)→not all(y,z)（根據(jù)[3]、[4]和分離規(guī)則）

[6]?no(x,y)→not all(x,y)（即（1），根據(jù)[5]可得）

[7]?(no(y,z)→not all(y,z))→(﹁not all(y,z)→﹁no(y,z))（根據(jù)[6]和逆否規(guī)則）

[8]?(no(y,z)→not all(y,z))→(all(y,z)→some(y,z))（根據(jù)[7]、外否定定理）

[9]?all(y,z)→some(y,z)（根據(jù)[8]、[9]和分離規(guī)則）

[10]?all(x,y)→some(x,y)（即（2），根據(jù)[9]可得）

證畢。

在下面定理5中，“?EIO-3??EIO-4”表示，如果?EIO-3三段論，那么?EIO-4，即這兩個(gè)三段論具有可化歸性。其他與此類(lèi)似。由于EIO-3三段論就是基礎(chǔ)公理A3，因此有：

定理5：僅以EIO-3 三段論為基礎(chǔ)公理，就可以推演出其他23 個(gè)有效的三段論。根據(jù)證明的順序，依次有：

（1）?EIO-3??EIO-4

（2）?EIO-3??EIO-1

（3）?EIO-3??EIO-1??EIO-2

（4）?EIO-3??AEE-2

（5）?EIO-3??AEE-2??AEE-4

（6）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??EAE-1

（7）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??EAE-2

（8）?EIO-3??AII-1

（9）?EIO-3??AII-1??AII-3

（10）?EIO-3??AII-1??IAI-4

（11）?EIO-3??AII-1??IAI-3

（12）?EIO-3??AEE-2??AEO-2

（13）?EIO-3??AEE-2??AEO-2??AEO-4

（14）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??EAO-1

（15）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??EAE-2??EAO-2

（16）?EIO-3??AEE-2??AEO-2??AAI-1

（17）?EIO-3??AEE-2??AEO-2??AAI-1??AAI-4

（18）?EIO-3??AEE-2??AEO-2??EAO-3

（19）?EIO-3??AEE-2??AEO-2??EAO-3??EAO-4

（20）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??EAO-1??AAI-3

（21）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??AAA-1

（22）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??AAA-1??AOO-2

（23）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??AAA-1??OAO-3

證明：

[1]?no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))（即EIO-3，即公理A3）

[2]?no(y,z)?no(z,y)（根據(jù)no的對(duì)稱(chēng)性）

[3]?no(z,y)→(some(y,x)→not all(x,z))（即EIO-4，根據(jù)[1]、[2]可得）

[4]?some(y,x)?some(x,y)（根據(jù)some的對(duì)稱(chēng)性）

[5]?no(y,z)→(some(x,y)→not all(x,z))（即EIO-1，根據(jù)[1]、[4]可得）

[6]?no(z,y)→(some(x,y)→not all(x,z))（即EIO-2，根據(jù)[2]、[5]可得）

[7]?no(y,z)→(﹁not all(x,z)→﹁some(y,x))（根據(jù)[1]和反三段論規(guī)則）

[8]?all(x,z)→(no(y,z)→no(y,x))（即AEE-2，根據(jù)[7]、外否定定理和前件互換規(guī)則）

[9]?all(x,z)→(no(z,y)→no(y,x))（即AEE-4，根據(jù)[2]、[8]可得）

[10]?no(y,x)?no(x,y)（根據(jù)no的對(duì)稱(chēng)性）

[11]?no(z,y)→(all(x,z)→no(x,y))（即EAE-1，[9]、[10]和前件互換規(guī)則）

[12]?no(y,z)→(all(x,z)→no(x,y))（即EAE-2，根據(jù)[2]、[9]、[10]和前件互換規(guī)則）

[13]?some(y,x)→(﹁not all(x,z)→﹁no(y,z)) （根據(jù)[1]、反三段論規(guī)則和前件互換規(guī)則）

[14]?all(x,z)→(some(y,x)→some(y,z))（即AII-1，根據(jù)[13]、外否定定理和前件互換規(guī)則）

[15]?all(x,z)→(some(x,y)→some(y,z))（即AII-3，根據(jù)[4]、[14]可得）

[16]?some(y,z)?some(z,y)（根據(jù)some的對(duì)稱(chēng)性）

[17]?some(y,x)→(all(x,z)→some(z,y))（即IAI-4，[14]、[16]和前件互換規(guī)則）

[18]?some(x,y)→(all(x,z)→some(z,y))（即IAI-3，根據(jù)[4]、[14]和前件互換規(guī)則）

[19]?no(y,x)→not all(y,x)（根據(jù)EO-差等定理）

[20]?all(x,z)→(no(y,z)→not all(y,x))（即AEO-2，根據(jù)[8]、[19]和后件弱化規(guī)則）

[21]?all(x,z)→(no(z,y)→not all(y,x))即AEO-4，根據(jù)[2]、[20]可得）

[22]?no(x,y)→not all(x,y)（根據(jù)EO-差等定理）

[23]?all(x,z)→(no(z,y)→not all(x,y))（即EAO-1，根據(jù)[9]、[10]、[22]和后件弱化規(guī)則）

[24]?no(y,z)→(all(x,z)→not all(x,y))即EAO-2，根據(jù)[12]、[22]和后件弱化規(guī)則）

[25]?all(x,z)→(﹁not all(y,x)→﹁no(y,z))（根據(jù)[20]和反三段論規(guī)則）

[26]?all(x,z)→(all(y,x)→some(y,z))（即AAI-1，根據(jù)[25]和外否定定理）

[27]?all(y,x)→(all(x,z)→some(z,y))（即AAI-4，根據(jù)[16]、[26]和前件互換規(guī)則）

[28]?no(y,z)→(﹁not all(y,x)→﹁all(x,z)) （根據(jù)[20]、反三段論規(guī)則和前件互換規(guī)則）

[29]?no(y,z)→(all(y,x)→not all(x,z))（即EAO-3，根據(jù)[28]和外否定定理）

[30]?no(z,y)→(all(y,x)→not all(x,z))（即EAO-4，根據(jù)[2]、[29]可得）

[31]?all(x,z)→(﹁not all(x,y)→﹁no(z,y))（根據(jù)[23]和反三段論規(guī)則）

[32]?all(x,y)→(all(x,z)→some(z,y))（即AAI-3，根據(jù)[31]、外否定定理和前件互換規(guī)則）

[33]?all(x,z)→(all﹁(z,y)→all﹁(x,y))（根據(jù)[9]、[10]和no的定義）

[34]?all(x,z)→(all(z,D-y)→all(x,D-y))（根據(jù)[33]和內(nèi)否定量詞的定義）

[35]?all(x,z)→(all(z,y)→all(x,y))（即AAA-1，根據(jù)[34]可得）

[36]?all(y,z)→(﹁all(x,z)→﹁all(x,y))（根據(jù)[35]和反三段論規(guī)則）

[37]?all(y,z)→(not all(x,z)→not all(x,y))（即AOO-2，根據(jù)[36]和外否定定理）

[38]?all(x,y)→(﹁all(x,z)→﹁all(y,z))（根據(jù)[35]、反三段論規(guī)則和前件互換規(guī)則）

[39]?not all(x,z)→(all(x,y)→not all(y,z))（即OAO-3，根據(jù)[38]、外否定定理和前件互換規(guī)則）

證畢。

由定理5 可以看出：利用命題邏輯推理規(guī)則，僅僅以EIO-3 三段論為基礎(chǔ)公理，經(jīng)過(guò)39 步，就可以推演出其他23 個(gè)有效三段論。而且在推演的過(guò)程中，清晰地揭示了相同或者不相同的格與式的三段論之間的可化歸關(guān)系。通過(guò)這些有效三段論之間的可化歸關(guān)系，可以看出，24個(gè)有效三段論之間，存在著“普遍聯(lián)系”，并且這種聯(lián)系的根源在于：四個(gè)亞氏量詞可以相互定義而且亞氏量詞no和some具有對(duì)稱(chēng)性。

三、亞氏三段論系統(tǒng)的可靠性和完全性

在給出了亞氏三段論邏輯的公理系統(tǒng)之后，還需要繼續(xù)研究該邏輯系統(tǒng)的可靠性和完全性等元邏輯性質(zhì)，進(jìn)而完成對(duì)該邏輯的公理化研究。如果根據(jù)一個(gè)邏輯系統(tǒng)的句法、公理和推理規(guī)則而得到的所有可證公式都是有效的，那么該邏輯系統(tǒng)就是可靠的。如果根據(jù)一個(gè)邏輯系統(tǒng)的語(yǔ)義解釋而得到的所有有效公式都是可證的，那么該邏輯系統(tǒng)就是完全的。一個(gè)邏輯系統(tǒng)是可靠且完全的，則說(shuō)明“根據(jù)其句法而得到的可證公式集”與“根據(jù)其語(yǔ)義而得到的有效公式集”是一致的。

可靠且完全的邏輯系統(tǒng)是邏輯學(xué)家追求的較為完美的系統(tǒng)。因此在給出了亞氏三段論邏輯的公理系統(tǒng)之后，現(xiàn)在對(duì)該系統(tǒng)的可靠性和完全性進(jìn)行證明。

定義1：令x和y是任意原子詞項(xiàng)變?cè)?，α和β是任?公式。

（1）all(x,y)與not all(x,y)是矛盾關(guān)系，no(x,y)與some(x,y)是矛盾關(guān)系；

（2）若α和β是矛盾關(guān)系，則稱(chēng)α和β互為矛盾公式；α和β的矛盾命題分別記作﹁α和﹁β。

互為矛盾關(guān)系的量詞實(shí)則是互為外否定的量詞，即：all(x,y)=﹁not all(x,y)，not all(x,y)=﹁all(x,y)；no(x,y)=﹁some(x,y)，some(x,y)=﹁no(x,y)。

定義2：令D 是非空論域，?(D)表示D 的冪集，冪集代數(shù)SD=(?(D),﹁,∩,∪,?,D)是語(yǔ)言? 的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)，簡(jiǎn)稱(chēng)?結(jié)構(gòu)。

定義3：語(yǔ)言? 的模型? 是一個(gè)二元組〈SD,v〉，其中SD=(?(D),﹁,∩,∪,?,D)是一個(gè)? 結(jié)構(gòu)，賦值v(x)就是原子詞項(xiàng)變?cè)??(D)-{D,?})的映射，定義：

（1）??all(x,y)，當(dāng)且僅當(dāng)，v(x)?v(y)；

（2）??no(x,y)，當(dāng)且僅當(dāng)，v(x)∩v(y)=?；

（3）??some(x,y)，當(dāng)且僅當(dāng)，v(x)∩v(y)≠?；

（4）??not all(x,y)，當(dāng)且僅當(dāng)，v(x)?v(y)。

定義4：令Γ是任意公式集。??Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任意公式α?Γ，??α。

定義5：令Γ是任意公式集，α是任意公式。α是Γ的語(yǔ)義后承，記作Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任意模型?，若??Γ，則??α。

定義6：令α是任意公式，α是有效的，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任意模型?，則??α。

定義7：令Γ 是任意公式集，α 是任意公式。從Γ 可以推演α，記作Γ?α，其意思是：（1）存在公式序列α1,α2,...,αn（其中αn=φ）,對(duì)于任意αi（其中1≤i≤n），αi或者是基礎(chǔ)公理，或者αi?Γ，或者αi是由之前的公式根據(jù)規(guī)則得到的，此時(shí)就稱(chēng)公式序列α1,α2,...,αn（其中αn=φ）是從Γ 到α 的一個(gè)推演；（2）如果存在公式β，使得?！葅﹁α}?β且?！葅﹁α}?﹁β，那么Γ?α。

定理6：令Γ是任意公式集，α是任意公式，那么：Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，存在Γ的有窮子集Γ0，使得Γ0?α。

證明：（1）如果可推演關(guān)系如定義7的（1），那么顯然，Γ?α，當(dāng)且僅當(dāng)，存在Γ的有窮子集Γ0，使得Γ0?α。（2）如果可推演關(guān)系如定義7的（2），那么：(i)如果Γ?α，則存在公式β，使得Γ∪{﹁α}?β且?！葅﹁α}?﹁β。由歸納假設(shè)可知，存在?！葅﹁α}的有窮子集Γ1，使得Γ1?β。令Γ0={x|x?Γ1且x≠﹁α}，若﹁α?Γ1，則Γ1=Γ0∪{﹁α}，故Γ0∪{﹁α}?β；若﹁α?Γ1，則Γ1=Γ0，根據(jù)Γ1?β 和歸納假設(shè)可得：Γ0∪{﹁α}?β。因此存在?！葅﹁α}的有窮子集Γ0∪{﹁α}，使得Γ0∪{﹁α}?β。同理可證：存在Γ∪{﹁α}的有窮子集Γ2∪{﹁α}，使得Γ2∪{﹁α}?﹁β。再次運(yùn)用歸納假設(shè)可得：Γ0∪Γ2∪{﹁α}?β且Γ0∪Γ2∪{﹁α}?﹁β，根據(jù)定義7的（2）可得：Γ0∪Γ2?α。(ii)如果存在Γ的有窮子集Γ0使得Γ0?α，則存在公式β，使得Γ0∪{﹁α}?β且Γ0∪{﹁α}?﹁β。由歸納假設(shè)可知：?！葅﹁α}?β且?！葅﹁α}?﹁β，根據(jù)定義7的（2）可得：Γ?α。證畢。

定理7：令α是任意公式，Γ是任意公式集，如果α?Γ，那么Γ?α。

此證明不足道，故從略。

與命題邏輯一樣，亞氏三段論系統(tǒng)具有可靠性和完全性。

定理8（可靠性）：令α是任意公式，Γ是任意公式集，如果Γ?α，那么Γ?α。

證明：

（1）如果Γ?α，根據(jù)定義7可知：存在公式序列α1,α2,...,αn（其中αn=α），對(duì)于任意αi（其中1≤i≤n），αi或者是基礎(chǔ)公理，或者αi?Γ，或者αi是由之前的公式根據(jù)推理規(guī)則得到的。對(duì)于任意模型?=〈SD,V〉，如果??Γ，施歸納于基礎(chǔ)公理：

1）當(dāng)α?Γ，根據(jù)定理7可知，那么Γ?α，顯然??α。

2）當(dāng)α是基礎(chǔ)公理時(shí)：

（i）當(dāng)α是命題邏輯中有效公式時(shí)，根據(jù)命題邏輯的可靠性可知：若Γ?α，則??α。

（ii）當(dāng)α=all(x,x)時(shí)，顯然v(x)=v(x)，故v(x)?v(x)，由定義3 可知：??all(x,x)，即??α。

（iii）當(dāng)α=some(x,x)時(shí)，顯然v(x)=v(x)，故v(x)∩v(x)≠?，由定義3可知：??some(x,x)，即??α

（iV）當(dāng)α 是公理EIO-3 時(shí)，假設(shè)?no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))，即α=no(y,z)→(some(y,x)→not all(x,z))，不妨令αi=no(y,z),αj=some(x,y)，則α=not all(x,z)。由歸納假設(shè)知，??no(y,z)且??some(x,y)，由定義3 可知：v(y)∩v(z)=?且v(x)∩v(y)≠?，現(xiàn)在證明v(x)?v(y)。假設(shè)v(x)?v(y)，由于v(y)∩v(z)=?，因此v(x)∩v(y)=?，這與v(x)∩v(y)≠?矛盾；因此v(x)?v(y)，由定義3可知：??not all(x,z)，即??α。

3）當(dāng)α 是由之前的公式根據(jù)推理規(guī)則而得到時(shí)，由于本文的所有推理規(guī)則均為命題邏輯的推理規(guī)則，根據(jù)命題邏輯的可靠性可知：若Γ?α，則??α。

（2）當(dāng)α 是由定義7 的（2）得到的，則存在公式β，使得Γ∪{﹁α}?β 且?！葅﹁α}?﹁β，假設(shè)??α，則??﹁α，所以??！葅﹁α}，由歸納假設(shè)可知，??β且??﹁β，即??β且??β，矛盾，故??α。

綜上所述，??α，因此Γ?α。證畢。

定義8：令Γ是任意公式集，Γ是一致的，當(dāng)且僅當(dāng)，不存在公式α，使得Γ?α且Γ?﹁α。

定理9：如果Γ?α，那么?！葅﹁α}是一致的。

證明：假設(shè)Γ∪{﹁α}是不一致的，根據(jù)定義9可知：存在公式β，使得Γ∪{﹁α}?β且?！葅﹁α}?﹁β，由定義7的（2）可知，Γ?α，這與Γ?α矛盾，故?！葅﹁α}是一致的。證畢。

定理10：令Γ是任意公式集，Γ是不一致的，當(dāng)且僅當(dāng)，存在Γ的一個(gè)有窮子集Γ′，使得Γ′不一致。

證明：假設(shè)存在Γ 的一個(gè)有窮子集?！?，而且Γ′不一致，則存在公式α，使得?！?α 且?！?﹁α。由定理6 可知，Γ?α 且Γ?﹁α，故Γ 不一致。反之，假設(shè)Γ 不一致，則存在公式α，使得Γ?α 且Γ?﹁α。由定理6可知，Γ′?α且?！?﹁α，故?！洳灰恢隆ＷC畢。

定義9：令Γ 是任意公式集，Γ 是極大一致的，當(dāng)且僅當(dāng)，Γ 是一致的，并且對(duì)于任意公式α，若α?Γ，則?！葅α}是不一致的。

定理11：令Γ是極大一致集，則α?Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，Γ?α。

此證明不足道，故從略。

定理12：令Γ是極大一致集，則α?Γ，當(dāng)且僅當(dāng)，﹁α?Γ。

證明：若α?Γ，假設(shè)﹁α?Γ，根據(jù)定理7 可知：Γ?α 且Γ?﹁α，故Γ 不一致，這與“Γ 是一致的”矛盾。反之，若﹁α?Γ，假設(shè)α?Γ，由定理11 可知：Γ?α，因此?！葅﹁α}是一致的。由于Γ 是極大一致集，故﹁α?Γ，這與﹁α?Γ矛盾，故α?Γ。證畢。

定理13：令Γ是任意公式集，若Γ是一致的，則存在公式集Γ′，Γ??！淝姚！涫菢O大一致的。

證明：令Θ={Γ″|Γ??！?Form(?)，且Γ″是一致的公式集}，由Γ的一致性可知，Γ?Θ，故Θ非空。令Λ是Θ 中的一個(gè)非空鏈，并令Γ*=Λ，Γ*是一致的，因?yàn)椋杭僭O(shè)Γ*不一致，由定理10 可知：存在Γ*的一個(gè)有窮子集Γ′，使得?！洳灰恢?。因?yàn)棣！涫怯懈F的，而且Λ 是Θ 中的一個(gè)非空鏈。因此必有一個(gè)?！?Λ，使得Γ′??！?，由于Γ′是不一致，因此?！逡彩遣灰恢?，這與“?！?Θ 是一致的”矛盾，因此Γ*是一致的。顯然Γ?Γ*，故Γ*?Θ，即Λ?Θ，由Zorn 引理可知，Θ 中有一個(gè)極大元?！?，并且Γ??！?，現(xiàn)在只需要證明Γ′是極大一致的即可。顯然Γ′?Θ，故Γ′是一致的。令公式α??！?，則Γ?Γ′∪{α}，而且?！涫铅ㄖ械臉O大元，必有?！洹葅α}?Θ，因此?！洹葅α}是不一致的，故?！涫菢O大一致的。證畢。

定義10：令Γ 是任意公式集，Γ 是“包含證據(jù)”集，當(dāng)且僅當(dāng)，對(duì)于任意not all(x,y)型公式，若Γ?not all(x,y)，則Γ中存在原子詞項(xiàng)z，使得Γ?no(z,y)且Γ?some(z,x)。

引理1：任意一致集都可以擴(kuò)張為“包含證據(jù)”的一致集。

證明：令Γ 是任意公式集，對(duì)于任意not all(x,y)型公式，若Γ?not all(x,y)，引入一個(gè)Γ 中未出現(xiàn)過(guò)的原子詞項(xiàng)變?cè)?，令α?=no(z,y)，β?=some(z,x)。并令Γ′=?！葅α?,β?}，則Γ??！?，根據(jù)定義10可知：Γ′就是“包含證據(jù)”的一致集。

引理2：任意極大一致公式的集都是“包含證據(jù)”集。

證明：令Γ 是任意的極大一致集，假設(shè)Γ 不是“包含證據(jù)”集。由于Γ 是一致的，根據(jù)引理1 可知，Γ可以擴(kuò)張為“包含證據(jù)”的一致集?！?，由于Γ 是極大一致的，而且Γ??！?，故?！洳辉僖恢?，矛盾，故Γ 是“包含證據(jù)”集。證畢。

定義11：令Γ 是公式的極大一致集，Γ 中的所有原子詞項(xiàng)組成的集合記作AT(Γ)，冪集代數(shù)(?(D),﹁,∩,∪,?,AT(Γ))稱(chēng)為典范結(jié)構(gòu)。

定義12：令Γ是公式的極大一致集，(?(D),﹁,∩,∪,?,AT(Γ))是一個(gè)典范結(jié)構(gòu)，AT(Γ)是Γ中的所有原子詞項(xiàng)組成的集合，令函數(shù)vc: T(Γ)→?(AT(Γ))，vc(x)={z?AT(Γ)|Γ?all(z,x)}，則稱(chēng)vc是(?(D),﹁,∩,∪,?,AT(Γ))上的典范賦值。

定義13：令Γ 是公式的極大一致集，令(?(D),﹁,∩,∪,?,AT(Γ))是一個(gè)典范結(jié)構(gòu)，令函數(shù)vc是(?(D),﹁,∩,∪,?,AT(Γ))上典范賦值，則稱(chēng)〈(?(D),﹁,∩,∪,?,AT(Γ)),Vc〉是典范模型。

定理14：如果Γ是一致的公式集，那么Γ是可滿(mǎn)足的。

證明：由定理13 可知：Γ 可以擴(kuò)展為極大一致?！??？紤]典范模型?c=〈(?(D),﹁,∩,∪,?,AT(Γ)),vc〉。對(duì)于任意公式α??！?，由定理11知，?！?α：

（1）如果α 形如all(x,y)：令vc(x)={z?AT(?！?|?！?all(z,x)}，vc(y)={z?AT(?！?|?！?all(x,y)}，所以對(duì)于任意z?vc(x)，都有?！?all(z,x)，?！?all(x,y)。由于EIO-3 是公理，因此?EIO-3，由定理5 的（21）?EIO-3??AEE-2 ??AEE-4??AAA-1 可知：?AAA-1，即?all(x,y)→(all(z,x)→all(z,y))，因此由?！?all(z,x)、?！?all(x,y)和分離規(guī)則可得：?！?all(z,y)，所以對(duì)于任意z?vc(x)，都有z?vc(y)，故vc(x)?vc(y)，由定義4知：?c?all(x,y)。

（2）如果α 形如no(x,y)：令vc(x)={z?AT(?！?|Γ′?all(z,x)}，vc(y)={z?AT(Γ′)|?！?all(z,y)}，所以對(duì)于任意z?vc(x)，則?！?all(z,x)，?！?all(z,y)。由于EIO-3是公理，因此?EIO-3，由定理5的（20）?EIO-3??AEE-2??AEE-4? ?EAE-1??EAO-1??AAI-3 可知：?AAI-3，即?all(z,y)→(all(z,x)→some(x,y))，因此由?！?all(z,x)、?！?all(z,y)和分離規(guī)則可得：?！?some(x,y)，由?！涞囊恢滦钥芍害！?﹁some(x,y)，即Γ′?no(x,y)，這與Γ′?no(x,y)矛盾，所以vc(x)∩vc(y)=?，由定義4知：?c?no(x,y)。

（3）如果α 形如some(x,y)：令vc(x)={z?AT(?！?|?！?all(z,x)}，vc(y)={z?AT(?！?|?！?all(x,y)}，所以對(duì)于任意z?vc(x)，都有?！?all(z,x)，而?！?all(x,y)。由于EIO-3 是公理，因此?EIO-3，由定理5的（20）?EIO-3??AEE-2??AEE-4??EAE-1??EAO-1??AAI-3可知：?AAI-3，即?all(x,y)→(all(z,x)→some(z,y))，因此由?！?all(z,x)、?！?all(x,y)和分離規(guī)則可得：?！?some(z,y)，所以對(duì)于任意z?vc(x)，都有z?vc(x)∩vc(y)，故vc(x)∩vc(y)≠?由定義4知：?c?some(x,y)。

（4）如果α 形如not all(x,y)：由于?！涫菢O大一致集，由引理2 知，?！涫恰鞍C據(jù)”集，所以存在z?AT(?！?，使得?！?all(z,x)，Γ′?all(z,y)，所以z?vc(x)且z?vc(y)，故vc(x)?vc(y)，由定義3 知：?c?not all(x,y)。

綜上所述，對(duì)于任意公式α??！洌加?c?α，因此?c??！?，所以?c?Γ，即?？蓾M(mǎn)足。

定理15（完全性）：如果Γ是一致的公式集，且Γ?α，那么Γ?α。

證明：用反證法。假設(shè)Γ?α，由定理9 可知：?！葅﹁α}是一致的。再由定理14 可知：?！葅﹁α}是可滿(mǎn)足的。即存在模型?，使得??Γ且??﹁α，這與Γ?α矛盾，故Γ?α。證畢。

至此，我們得到了以EIO-3三段論為基礎(chǔ)公理的、可靠且完全的形式化公理系統(tǒng)。

四、結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，僅僅以EIO-3三段論、all(a,a)（即所有a是a）和some(a,a)（即有些a是a）這3個(gè)有效公式為基礎(chǔ)公理，利用亞氏量詞的三種否定量詞的定義、亞氏量詞no 和some 的對(duì)稱(chēng)性、多個(gè)命題推理規(guī)則，就可以給出亞氏三段論邏輯直觀簡(jiǎn)潔的形式化公理系統(tǒng)，而且利用典范模型的方法，就可以較為簡(jiǎn)潔地證明其完全性和可靠性，從而大大簡(jiǎn)化了周北海等（2018）的完全性和可靠性的證明。

這里不禁讓人聯(lián)想到：如果以其他23個(gè)有效三段論中的任意一個(gè)作為基礎(chǔ)公理，能否同樣得到形式化的三段論邏輯系統(tǒng)？得到的邏輯系統(tǒng)是否也是完全且可靠的？這一聯(lián)想還有待進(jìn)一步考證。

對(duì)于任意的廣義量詞Q 而言，現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣是由量詞Q 與其三種否定量詞組成，即square(Q)={Q,﹁Q,Q﹁,﹁Q﹁}，因此對(duì)于作為特殊廣義量詞的四個(gè)亞氏量詞（all、no、some 和not all）而言，也可以組成現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣，而且任意一個(gè)亞氏量詞都可以定義其他三個(gè)亞氏量詞，例如：not all=﹁all；no=all﹁；some=﹁all﹁。亞氏三段論的可化歸性的根源在于：四個(gè)亞氏量詞可以相互定義而且亞氏量詞no和some具有對(duì)稱(chēng)性。

我們不免會(huì)問(wèn)：本文的研究方法是否具有普適性呢？即這一研究方法可否推廣能夠組成現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣的廣義量詞呢？例如：居間量詞most 與其外否定量詞at most half of the、內(nèi)否定量詞fewer than half of the 和對(duì)偶否定量詞at least half of the 可以組成現(xiàn)代對(duì)當(dāng)方陣square(most)，那么這四個(gè)居間量詞組成的系統(tǒng)的全部有效廣義三段論有哪些？這些有效廣義三段論之間是否具有可化歸性？這一廣義三段論系統(tǒng)是否具有可靠性和完全性？等等未知問(wèn)題，都還有待我們?nèi)ヌ剿鳌?/p>