2023年高考數(shù)學(xué)北京卷壓軸題的詳解及推廣

【摘 要】 ?2023年高考數(shù)學(xué)北京卷壓軸題（即第21題）是以非空數(shù)集及有窮數(shù)列的前n項(xiàng)和為背景，層層設(shè)問編制出的一道創(chuàng)新試題.該試題難度較大、區(qū)分度很高.文章給出了該題的詳解，并對(duì)末問的結(jié)論給予了推廣.

【關(guān)鍵詞】 ?北京卷；壓軸題；數(shù)列；集合；抽屜原理；商榷

多年來，高考數(shù)學(xué)北京卷一直堅(jiān)持“簡潔、基礎(chǔ)、本質(zhì)、創(chuàng)新”的風(fēng)格［1］. 試題及其答案簡潔；注重對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的全面考查；尤其注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的考查；試題背景新穎、內(nèi)涵豐富、亮點(diǎn)紛呈、解法靈活、思維深刻、銳意創(chuàng)新．

下面談?wù)?023年高考數(shù)學(xué)北京卷壓軸題（即第21題）的解法及推廣.

1 ?2023年高考數(shù)學(xué)北京卷壓軸題及其詳解

（2023年高考數(shù)學(xué)北京卷第21題） 已知數(shù)列{an}，{bn}的項(xiàng)數(shù)均為m（m>2），且an，bn∈{1，2，…，m}，{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An，Bn，并規(guī)定A0=B0=0.對(duì)于k∈{0，1，2，…，m}，定義

rk=max{i Bi≤Ak，i∈{0，1，2，…，m} }，其中，maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù).

（Ⅰ）若a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，寫出r0，r1，r2，r3的值；

（Ⅱ）若a1≥b1，2rj≤rj－1+rj+1（j=1，2，…，m－1），求rn；

（Ⅲ）證明：存在p，q，s，t∈{0，1，2，…，m}，滿足p>q，s>t，使得Ap+Bt=Aq+Bs.

解 ?（Ⅰ）由題設(shè)，可求得A0=0，A1=2，A2=3，A3=6;B0=0，B1=1，B2=4，B3=7，所以

r0=max{i|Bi≤0，i∈{0，1，2，…，m}}=max{0}=0

r1=max{i|Bi≤2，i∈{0，1，2，…，m}}=max{0，1}=1

r2=max{i|Bi≤3，i∈{0，1，2，…，m}}=max{0，1}=1

r3=max{i|Bi≤6，i∈{0，1，2，…，m}}=max{0，1，2}=2

（Ⅱ）易知r0=0.由a1≥b1即B1≤A1及1∈{i|Bi≤A1，i∈{0，1，2，…，m}}，r1=max{i|Bi≤A1，i∈{0，1，2，…，m}}，可得可得r1≥1，所以r1－r0≥1.

再由rj+1－rj≥rj－rj－1（j=1，2，…，m－1），可得rj+1－rj≥r1－r0≥1（j=1，2，…，m－1），所以rj+1≥rj+1≥rj－1+2≥rj－3+3≥…≥r0+j+1=j+1（j=1，2，…，m－1）.

令j=m－1，可得rm≥m.

由題設(shè)“rk=max{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，…，m}}”，可得rm≤m，所以rm=m，且以上推導(dǎo)中的“≥”全可改為“=”［2-3］，因而r0=0，r1－r0=1，rj+1=j+1（j=1，2，…，m－1），所以rn=n（n=0，1，2，…，m）.

（Ⅲ）因?yàn)锳p+Bt=Aq+Bs即Ap－Aq=Bs－Bt也即aq+1+aq+2+…+ap=bt+1+bt+2+…+bs，所以即證數(shù)列{an}1≤n≤m中存在若干個(gè)（至少一個(gè)，下同）連續(xù)項(xiàng)的和等于數(shù)列{bn}1≤n≤m中的某若干個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和，因而由對(duì)稱性知，可不妨設(shè)Am≤Bm.

由k∈{1，2，…，m}，0∈{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，…，m}}，可知{i|Bi≤Ak，i∈{0，1，2，…，m}}是非空集合且其元素個(gè)數(shù)至多是m+1，因而該集合的元素中存在最大值，得rk均存在.

記Sk=Ak－Brk（k=1，2，…，m），由rk的定義可得Sk≥0.

下面證明Sk≤m－1：

若rk=m，則Sk=Ak－Bm≤Am－Bm≤0≤m－1（k=1，2，…，m）.

若rk∈{0，1，2，…，m－1}，則Brk+1存在.假設(shè)Sk>m－1，Sk≥m.由rk的定義可知Ak－Brk+1<0，所以brk+1=Brk+1－Brk=Sk－（Ak－Brk+1）>Sk≥m，但這與brk+1≤m矛盾.所以Sk≤m－1.因而Sk∈{0，1，2，…，m－1}.

（?。┤鬹∈{1，2，…，m}，Sk=0即Ak=Brk（因而rk≠0，所以rk>0），則Ak+B0=A0+Brk，進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

（ⅱ）若k∈{1，2，…，m}，Sk∈{1，2，…，m－1}，則由抽屜原理知，u，v∈{1，2，…，m}（u>v），Su=Sv（由u>v及{Ak}0≤k≤m是遞增數(shù)列可得Au>Av，再由rk的定義可得ru≥rv）.

從而Au－Bru=Av－Brv，Au+Brv=Av+Bru.假設(shè)ru=rv，可得Brv=Bru，Au=Av，u=v，這與u>v矛盾.所以u(píng)>v，ru>rv，進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.

注 ?在以上解答中，第（ⅱ）問在m≥2時(shí)均成立；第（Ⅲ）問在m≥1時(shí)均成立（因?yàn)楫?dāng)m=1時(shí)顯然成立；以上證明適合m≥2的情形）. 2 ??對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)北京卷第21（Ⅲ）題結(jié)論的推廣

推廣 ?若正整數(shù)a1，a2，…，am（m≥2），b1，b2，…，bn（n≥2）滿足ai≤n（i=1，2，…，m），bj≤m（j=1，2，…，n），則存在i1，i2∈{1，2，…，m}（i1≤i2）;j1，j2∈{1，2，…，n}（j1≤j2），使得∑ i2 k=i1 ak=∑ j2 k=j1 bk.

證明 ?記Ai=a1+a2+…+ai（i=1，2，…，m），Bj=b1+b2+…+bj（i=1，2，…，n），并約定A0=B0=0.因?yàn)锽0，B1，…，Bn是遞增數(shù)列，所以（B0，Bn］=（B0，B1］∪（B1，B2］∪…∪（Bn－1，Bn］.［4］由對(duì)稱性知，可不妨設(shè)Am≤Bn，得k∈{1，2，…，m}，B0

記di=Bj－Ai，由于Bj－Bj－1=bj≤m，所以di∈{0，1，2，…，m－1}.

（?。┤鬷∈{1，2，…，m}，di=0，則j∈{1，2，…，n}，Ai=Bj.?。╥1，i2，j1，j2）=（1，i，1，j），可得欲證結(jié)論成立.

（ⅱ）若i∈{1，2，…，m}，di∈{1，2，…，m－1}，則由抽屜原理知，k1，k2∈{1，2，…，m}（k2>k1），使得dk1=dk2，可設(shè)Bl1－Ak1=Bl2－Ak2，Bl2－Bl1=Ak2－Ak1.由k2>k1及{Ai}0≤i≤m，{Bi}0≤i≤n均是遞增數(shù)列，可得l1

因而可?。╥1，i2，j1，j2）=（k1+1，k2，l1+1，l2）（k1+1≤k2，l1+1≤l2），也得欲證結(jié)論成立.

綜上所述，可得欲證結(jié)論成立. 3 ??對(duì)這道高考題的商榷

建議把這道高考題題干前面的敘述改為：

已知數(shù)列{an}，{bn}的項(xiàng)數(shù)均為m（m>2），且al，bl∈{1，2，…，m}（l=1，2，…，m），{an}，{bn}的前h項(xiàng)和分別為Ah，Bh（h=1，2，…，m），并規(guī)定A0=B0=0.

改動(dòng)的理由是“用過的字母不能隨便再用”，詳見著作[5]中“3.2 教科書上數(shù)列通項(xiàng)公式的定義應(yīng)作改動(dòng)”一節(jié)的論述.

另外，還建議

把第（Ⅰ）問中的“寫出”改為“直接寫出”把第（Ⅱ）問末的“求rn”改為“求數(shù)列{rn}1≤n≤m的通項(xiàng)公式”.

參考文獻(xiàn)

［1］ ?甘志國.“簡潔、基礎(chǔ)、本質(zhì)、創(chuàng)新”是高考數(shù)學(xué)北京卷的鮮明特色[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2016（07）：45-48.

［2］ ?甘志國.兩邊夾，夾出美麗的答案來[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2018（5-6）：11-14.

［3］ ?甘超一.再談“兩邊夾 夾出美麗的答案來”[J].數(shù)理化解題研究，2021（16）：61-67.

［4］ ?甘志國.分割區(qū)間來解題，也是一種好方法！[J].數(shù)學(xué)通訊，2012（04上）：28-29.

［5］ ?甘志國.2019年高考數(shù)學(xué)真題研究[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2020.

作者簡介 ?甘志國（1971—），男，筆名甘喆，湖北竹溪人，民進(jìn)會(huì)員，研究生學(xué)歷，中國數(shù)學(xué)會(huì)會(huì)員，全國初等數(shù)學(xué)研究會(huì)常務(wù)理事，正高級(jí)教師、特級(jí)教師、湖北名師、政府專項(xiàng)津貼專家；對(duì)高考數(shù)學(xué)試題及強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試題研究較深；鉆研教法與學(xué)法，提倡并關(guān)注學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng);總結(jié)提出并踐行“懂、會(huì)、熟、巧、通”五步解題學(xué)習(xí)法，“思、探、練、變、提”五步解題教學(xué)法，“知、懂、熟、用、賞”五種解題境界及高中數(shù)學(xué)教學(xué)的四個(gè)關(guān)鍵詞“夯實(shí)基礎(chǔ)、激發(fā)興趣、著眼高考、適當(dāng)提高”，倡導(dǎo)教師要做“明師”——明白的教師;出版著作多部，發(fā)表文章多篇.