摘 要：歐拉極大地豐富和發(fā)展了無窮分析方法，使得微積分擺脫了幾何學(xué)的限制，成為系統(tǒng)運用無窮和函數(shù)思想研究級數(shù)、微分方程等的一門數(shù)學(xué)分支——分析。循著先賢的足跡，可以更快地走上數(shù)學(xué)大道。閱讀大數(shù)學(xué)家歐拉的《無窮分析引論》，對其中數(shù)學(xué)脈絡(luò)的貫通、數(shù)學(xué)直覺的洞達、數(shù)學(xué)成果的噴涌印象尤為深刻。由此獲得數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示：認識和把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；重推理、運算，更重數(shù)學(xué)直覺；“大膽假設(shè)，小心求證”。

關(guān)鍵詞：《無窮分析引論》；數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)直覺；數(shù)學(xué)探索

歐拉和阿基米德、牛頓、高斯并稱為世界“四大數(shù)學(xué)家”。歐拉的著作在數(shù)學(xué)圈里早已如雷貫耳。十八、十九世紀，很多數(shù)學(xué)家是讀著歐拉的書成長起來的。法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯給年輕數(shù)學(xué)家們的一個忠告是：“讀讀歐拉，他是我們大家的老師。”數(shù)學(xué)王子高斯對歐拉的工作及其研究價值也不吝贊美之詞：“歐拉的工作及其研究將仍舊是對于數(shù)學(xué)不同范圍的最好學(xué)校，并且沒有任何別的可以替代它?！笔聦嵣希咚?、柯西、黎曼、羅巴切夫斯基、切比雪夫這些大數(shù)學(xué)家常以歐拉的工作為自己研究的出發(fā)點。

六年前，我終于捧起新版的《無窮分析引論》，不讀則已，讀則手不釋卷。在我的讀書生涯中，那的確是一段快樂而美好的時光，也令我回味無窮。循著大師富有啟發(fā)性的指引，我逐漸步入一個瑰麗多姿、引人入勝的數(shù)學(xué)大世界。那里，“無窮”不是障礙，似可輕松越過，“分析”展現(xiàn)出強大的力量與勃勃生機；那里，數(shù)學(xué)的“任督二脈”被歐拉打通了，處處相連，四通八達；那里，歐拉驚人的數(shù)學(xué)直覺和天馬行空般的想象力，將我的數(shù)學(xué)思維大大解放，那種舒展自由的感覺實在美妙……現(xiàn)在，就讓我這個“二傳手”，談?wù)勯喿x《無窮分析引論》的幾點深刻印象以及對數(shù)學(xué)教學(xué)的些許啟示，供讀者參考。

一、 閱讀印象

（一） 數(shù)學(xué)脈絡(luò)的貫通

《無窮分析引論》給我的第一印象是，歐拉把數(shù)學(xué)的脈絡(luò)打通了，在數(shù)學(xué)的天地里逍遙自在地遨游。他借助極少量的核心概念和思想方法，揭示了不同知識之間的深刻聯(lián)系，打破了有限與無限（無窮）之間的隔閡，形成了連貫、統(tǒng)一的知識結(jié)構(gòu)體系，由此打開了發(fā)現(xiàn)和解決問題的通道，獲得了很多重要的、開創(chuàng)性的結(jié)論。這是《無窮分析引論》成為數(shù)學(xué)經(jīng)典著作的一個重要原因。

《無窮分析引論》（上）以函數(shù)思想為主線統(tǒng)領(lǐng)全書。開篇第一章即“函數(shù)”；接下來的第二章到第六章探討了函數(shù)變換、函數(shù)的換元變換、函數(shù)的無窮級數(shù)展開、多元函數(shù)、指數(shù)和對數(shù)等基本概念；此后的第七章到第十八章漸入佳境，可謂高潮迭起，精彩紛呈，將無限與有限、指數(shù)函數(shù)與冪級數(shù)、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)、無窮項的和與積溝通起來，并把無窮級數(shù)應(yīng)用于素數(shù)、數(shù)的分拆與連分數(shù)研究，取得了一系列突破性成果。

特別是，《無窮分析引論》中引入了角的弧度制，把角度制和弧度制統(tǒng)一起來，還給出了三角函數(shù)的現(xiàn)代定義，揭示了三角函數(shù)與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使三角學(xué)獨立于幾何學(xué)而成為一個系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分支，深刻影響了傅里葉級數(shù)、（偏）微分方程的發(fā)展。

例如，歐拉推導(dǎo)指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式，沒有用后來數(shù)學(xué)分析教程里常見的泰勒級數(shù)展開式，而是直接從二項式定理入手，將無限化歸為有限［1］：

a大于1時，a的冪隨a增加而增加，而a0=1，所以指數(shù)比零增加無窮小時，冪比1增加也為無窮小。也就是說，數(shù)ω是一個無窮小，即它幾乎等于零時，我們有aω=1+ψ，數(shù)ψ也是無窮小。

注意，這里的“無窮小”，是指趨于0的無窮小量，并不是0。接著便是歐拉的“神來之筆”：

令ψ=Kω……由aω=1+Kω得aiω=（1+Kω）i對任何的i都成立，從而aiω=1+i1Kω+i（i-1）1×2K2ω2+i（i-1）（i-2）1×2×3K3ω3+…。

下面，歐拉令i=zω（即令z=iω），其中z為某個有限量，得到：當ω趨于無窮小時，i趨于無窮大。再把ω=zi 代入上式，取極限（i→+∞）得az=1+Kz1+K2z21×2+K3z31×2×3+K4z41×2×3×4+…。他接著指出：“該等式還表示a與K之間的關(guān)系。事實上，如果令z=1，則a=1+K1+K21×2+K31×2×3+K41×2×3×4+…?！笨?/p>

取某個a使K=1，即可得自然對數(shù)的底e及ez的展開式。

可以看到，歐拉對無窮小ω、無窮大i的使用是比較自由的，前面是有限量，后面再取極限，其中存在一定的不嚴謹甚至混亂。正是這類問題促使后來的數(shù)學(xué)家柯西、魏爾斯特拉斯等給微積分奠定嚴格的極限基礎(chǔ)。這種“先實踐，再究理奠基”的做法，給數(shù)學(xué)家們的自由探索、融會貫通提供了便利。這樣看似把數(shù)學(xué)建成了空中樓閣，實則反映了數(shù)學(xué)發(fā)展某些階段的真實過程：數(shù)學(xué)家們從數(shù)學(xué)形式化的推理計算、數(shù)學(xué)的直覺中，并從數(shù)學(xué)用于自然科學(xué)和實際應(yīng)用的有效性中，獲得了信心和實證。這是十八、十九世紀數(shù)學(xué)的一個重要特征。

（二） 數(shù)學(xué)直覺的洞達

在讀《無窮分析引論》的過程中，我常可以感受到歐拉洞察入微的數(shù)學(xué)直覺。這種直覺加上他天馬行空般的想象力，讓他似乎輕松自如地穿過數(shù)學(xué)式子、關(guān)系網(wǎng)絡(luò)構(gòu)成的謎陣，直達問題的核心，獲得出人意料的結(jié)果。

例如，大名鼎鼎的歐拉公式eiθ=cosθ+ isinθ，把指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來了。令θ=π，即得eiπ=-1，或 eiπ+1=0。后者包含了數(shù)學(xué)中最基本的五個常數(shù)1、0、π、e、i，十分簡潔，被稱為“最美的數(shù)學(xué)公式”。其實，歐拉并不是最早發(fā)現(xiàn)此公式的——R．柯特斯在1714年發(fā)表了這個公式（與歐拉給出的略有不同），但是，只有歐拉才使該公式得到了廣泛的應(yīng)用，故后人常稱之為歐拉公式。

在現(xiàn)代的微積分教程中，歐拉公式的證明，一般是把eiθ、cosθ、sinθ分別展開成冪級數(shù)，然后代入即可。那么，歐拉在《無窮分析引論》中是如何證明這個公式的呢？

歐拉研究了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，給出表達式ez=1+zii，

這里的i趨于無窮大。［2］用極限形式，此式可以寫成ez=limi→+∞1+zii 。當z=1時，即有e=limx→+∞1+1xx，亦可寫成e=limx→0（1+x）1x。這正是現(xiàn)代微積分中e的定義。

歐拉證明公式eiθ=cosθ+ isinθ ，就是從表達式e=limi→0（1+i）1i著手的。原證明［3］稍顯復(fù)雜，這里遵從歐拉的思路，將其改寫成以下較為簡明易懂的形式：

觀察棣莫弗公式（cosz±-1sinz）n=cosnz±-1sinnz——在《無窮分析引論》中，歐拉把虛數(shù)單位記成-1。

當z為無窮小，即z→0時，cosz→1，sinz→z。令θ=nz，其中θ為常量。當z→0 時，n→+∞。此時，（1+-1z）n類似于e=limi→0（1+i）1i 的形式。

歐拉可能直覺地意識到， （1+-1z）n與指數(shù)函數(shù)有關(guān)。的確，當z→0時，（1+-1z）n=（1+-1z）θz=（1+-1z）1-1z·-1θ→e-1θ。于是，e-1θ=cosθ+-1sinθ。

也可能，歐拉直接想象棣莫弗公式左端的cosz+-1sinz應(yīng)為指數(shù)函數(shù)e-1z 的形式：這樣，根據(jù)冪的乘方性質(zhì)，棣莫弗公式自然成立。

（三） 數(shù)學(xué)成果的噴涌

歐拉做數(shù)學(xué)，簡直“像呼吸一樣自然”。仔細體味，我們會發(fā)現(xiàn)，他常常從簡單、基本處開始思考（如前述對指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開和對歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ的推導(dǎo)，只是從二項式定理、棣莫弗公式、e的定義等最基本的知識出發(fā)），特別是從有限出發(fā)思考無限，體現(xiàn)出道法自然的思想境界、簡明質(zhì)樸的數(shù)學(xué)之美。這甚至常給人一種“美好的錯覺”，以為自己也可以如此輕松自然地想出來。當然，絕非人人都能達到如此高度，但是取法乎上，總能學(xué)到一些，長此以往，自己的數(shù)學(xué)直覺、數(shù)學(xué)審美力在潛移默化中也會有所提升。

最令人驚嘆的是，在《無窮分析引論》中，歐拉常常成批成批地推導(dǎo)出數(shù)學(xué)結(jié)論。限于篇幅，這里僅舉其中一批［4］：

1+122+132+142+152+…=201×2×3·11π2，

1+124+134+144+154+…=221×2×3×4×5·13π4，

1+126+136+146+156+…=241×2×3×…×7·13π6，

1+128+138+148+158+…=261×2×3×…×9·35π8，

……

這些式子表明：所有正整數(shù)的偶數(shù)次冪的倒數(shù)和，結(jié)果竟然都與圓周率有關(guān)（各等式右端系數(shù)中出現(xiàn)的11、13、13、35……有其深意和用處，歐拉后來又做了進一步研究）。要知道，在此之前，伯努利兄弟、J．斯特靈等數(shù)學(xué)家也曾探討過“貝塞爾問題”，即

1+122+132+142+152+…等于什么，

但都無功而返。而歐拉竟然成批成批地得到這類公式，怎不令人拍案叫絕！

歐拉的探求思路，看來十分自然［5］：

他類比多項式因式分解與相應(yīng)代數(shù)方程的根之間的關(guān)系，把ex-e-x2分別展開成冪級數(shù)與無窮乘積，即“和”與“積”兩種無窮多項的展開式，比較等式兩邊同類項的系數(shù)即得：

x1+x21×2×3+x41×2×3×4×5+x61×2×3×4×5×6×7+…=x1+x2π21+x24π21+x29π21+x216π21+x225π2…。

右邊的無窮乘積，是基于ex-e-x2=0的根為x=±-1nπ得到的。

利用相近的思路，歐拉把素數(shù)全體和無窮級數(shù)的和密切聯(lián)系在一起［6］，如：

P=11-12n1-13n1-15n1-17n…，

P=1+12n+13n+14n+15n+16n+17n+…。

上述兩個式子中，只要利用11-x= 1+x+x2+x3+…，|x|<1（順便提一下，歐拉不是用等比數(shù)列求和公式推出該式的，而是將11-x用多項式除法展開得到的）把第一個式子中各

11-1kn

（k取遍所有素數(shù)2、3、5、7、11、13……）展開成等比級數(shù)，再把各級數(shù)相乘，根據(jù)自然數(shù)的素因數(shù)分解即得第二個式子。

由此出發(fā)，歐拉推出了一連串用全體素數(shù)表示的圓周率的偶數(shù)次冪。

后來，德國數(shù)學(xué)家黎曼把上述關(guān)于P的第二個式子中的n改為復(fù)數(shù)，將復(fù)變函數(shù)解析延拓到整個復(fù)平面，得到了黎曼ζ函數(shù)，并提出了著名的“黎曼猜想”。

總之，歐拉在數(shù)論中引入了無窮分析方法，是解析數(shù)論的先驅(qū)者之一。正是歐拉使得微積分擺脫了幾何學(xué)的限制，成為運用無窮和函數(shù)思想研究級數(shù)、微分方程等的一門數(shù)學(xué)分支——分析。在《數(shù)學(xué)大師：從芝諾到龐加萊》這本數(shù)學(xué)家傳記經(jīng)典中，歐拉被譽為“分析的化身”。［7］

二、 教學(xué)啟示

（一） 認識和把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

歐拉的心算能力很強，但僅靠強大的算力，并不能實現(xiàn)數(shù)學(xué)脈絡(luò)的貫通。他借助數(shù)和式的運算，研究了各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系，特別是對運算結(jié)構(gòu)、函數(shù)結(jié)構(gòu)有深刻的認識。比如，他把函數(shù)分為代數(shù)函數(shù)和超越函數(shù)，又把代數(shù)函數(shù)細分為有理函數(shù)和無理函數(shù)，并把有理函數(shù)進一步分為整（多項式）函數(shù)和分數(shù)（式）函數(shù)（對于分數(shù)函數(shù)，他研究了如何分解成實部分方式）。就數(shù)學(xué)分析而言，歐拉還深入研究了類似于多項式的無窮級數(shù)的和以及類似于多項式因式分解的無窮乘積。

當然，在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不能重蹈“新數(shù)學(xué)運動”的覆轍，不必刻意強調(diào)“結(jié)構(gòu)主義”的思想方法，以致用集合論、公理化方法研究抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)、拓撲結(jié)構(gòu)和序結(jié)構(gòu)——這違背了中小學(xué)學(xué)生的認知規(guī)律。但也需要對初等數(shù)學(xué)中基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系有一定的認識，形成初步的結(jié)構(gòu)觀念和“結(jié)構(gòu)感”，才能深刻地理解（更好地把握）數(shù)學(xué)對象的構(gòu)成、屬性和相互關(guān)聯(lián)。

下面以中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的運算結(jié)構(gòu)為例，初步談?wù)剬λ恼J識及其教學(xué)運用。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，運算歸結(jié)為加、減、乘、除、乘方、開方、對數(shù)，共七種。相應(yīng)地，運算結(jié)構(gòu)總體上可從以下三個角度展開研究：

一是從運算級別角度考慮，認識中學(xué)數(shù)學(xué)運算的多級結(jié)構(gòu)：加，乘，乘方。其實，在群、環(huán)、域、向量空間等抽象的代數(shù)結(jié)構(gòu)里，并不強調(diào)乘法對于加法的優(yōu)先級，甚至連加法也可視為一種特殊的“乘法”。這些抽象的運算結(jié)構(gòu)，除了包含各種運算，更重視運算律。結(jié)合律、分配律以及數(shù)乘滿足的線性運算律等，構(gòu)成了群、環(huán)、域、向量空間等各自公理系統(tǒng)的基本部分，對于決定代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)特征十分重要。就分配律而言，它溝通了不同運算之間的關(guān)系。比如，初中數(shù)學(xué)里，可以用乘法對加法的分配律，統(tǒng)一理解合并同類項、去（添）括號法則、整式乘法、因式分解（提取公因式法、十字相乘法等）背后的原理；高中數(shù)學(xué)的向量空間中，向量集幾何與代數(shù)于一身，借助線性運算、數(shù)乘運算、數(shù)量積（點乘）運算及其滿足的幾個運算律（包括類似于分配律的運算律），我們能夠直接對向量進行運算，由此，解三角形、三角恒等變換等的一些結(jié)論可以通過向量運算輕松獲得（證明）。

二是從對稱性角度考慮，研究對稱的運算結(jié)構(gòu)：加與減，乘與除，乘方與開方，指數(shù)與對數(shù)——廣義地講，也包括函數(shù)與反函數(shù)、微分與積分、算子與逆算子等。之所以從對稱性角度考慮，是因為在數(shù)學(xué)中對稱結(jié)構(gòu)是用群來刻畫的，而群是現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)極其基本而重要的研究對象。中學(xué)數(shù)學(xué)雖然不研究抽象的群論，但也可以在教學(xué)中滲透對稱思想，尤其是注重對對稱結(jié)構(gòu)的觀察、辨識和運用，欣賞對稱結(jié)構(gòu)的和諧、均衡、不變之美。這有助于學(xué)生更好地理解把握數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，也有助于學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)解決問題的思路。

三是由上述兩種基本、重要的運算結(jié)構(gòu)，借助各種運算律，通過復(fù)合、衍生等方法，研究一些復(fù)雜的運算結(jié)構(gòu)，如數(shù)的結(jié)構(gòu)、多項式結(jié)構(gòu)、方程與函數(shù)（數(shù)列可視為一種特殊的函數(shù)）結(jié)構(gòu)、不等式結(jié)構(gòu)等。

中學(xué)數(shù)學(xué)里，認識代數(shù)式的結(jié)構(gòu)，對于理解和運用公式、打通結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)、把握解題方向十分重要。

比如，乘法公式本質(zhì)上刻畫了不同運算結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。以初中的完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2為例。它揭示了兩數(shù)和的平方與平方和、積的關(guān)系，而且右邊的展開式是對稱的齊次式。高中數(shù)學(xué)將完全平方公式推廣到和的立方、四次方乃至n次方，得到二項式定理，其展開式系數(shù)以楊輝三角表示。楊輝三角是一個對稱結(jié)構(gòu)，相應(yīng)的二項展開式就是對稱多項式，也是齊次多項式。具有對稱結(jié)構(gòu)、齊次結(jié)構(gòu)的多項式是中學(xué)代數(shù)的重要研究內(nèi)容。

從完全平方公式出發(fā)可以發(fā)現(xiàn)，兩個數(shù)a、b的和、差、積之間存在關(guān)系：（a+b）2-（a-b）2=4ab或ab=（a+b）2-（a-b）24。后者表明，兩個數(shù)的積可以表示成另外兩個數(shù)的差的四分之一。這個公式與三角函數(shù)中的積化和差公式，對于對數(shù)的意義理解和概念創(chuàng)建有過啟發(fā)作用，因為對數(shù)最重要的性質(zhì)即為化乘除為加減。

從完全平方公式出發(fā)還可以得到基本不等式，進而推出均值不等式鏈：a2+b22≥a+b2≥ab≥21a+1b。其中，可以看到幾種代數(shù)運算結(jié)構(gòu)：正實數(shù)a、b的算術(shù)平均值a+b2、幾何平均值ab、調(diào)和平均值21a+1b和均方根值a2+b22。這些運算結(jié)構(gòu)之間存在著確定的大小關(guān)系，形成了井然有序的“序結(jié)構(gòu)”。解決有關(guān)問題時，要特別注意觀察條件和結(jié)論的式子結(jié)構(gòu)。如：若正實數(shù)a、b滿足ab=2a+2b+5，求ab的最小值。觀察條件等式的結(jié)構(gòu)：左邊是兩個正數(shù)之積ab，右邊含兩個正數(shù)之和a+b。自然猜想：利用基本不等式a+b2≥ab，將條件統(tǒng)一成關(guān)于ab的不等式，從而求出ab的最小值。

再如，因式分解是整式乘法的“逆運算”，其問題解決也需要整體把握運算結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。有一道初中競賽題：將x4+x2y2+y4因式分解。常見解法是：x4+x2y2+y4 =x4+2x2y2+y4-x2y2 =（x2+y2）2-（xy）2 =（x2+xy+y2）（x2-xy+y2）。這里的添項、減項技巧不易想到。其實，可以從結(jié)構(gòu)的視角出發(fā)，利用待定系數(shù)法自然求解。仔細觀察，注意到齊次式x4+x2y2+y4各項的系數(shù)，可以猜測x4+x2y2+y4=（x2+pxy+y2）（x2+qxy+y2）。比較這個等式兩邊x3y、x2y2的系數(shù)，即得p+q=0，pq=-1，解出p=1，q=-1或p=-1，q=1。于是，x4+x2y2+y4=（x2+xy+y2）（x2-xy+y2）。如果考慮到對稱性，可試著直接設(shè)x4+x2y2+y4=（x2+pxy+y2）（x2-pxy+y2）。

此外，學(xué)習(xí)因式分解還要進一步理解其與其他數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系。當下的初中數(shù)學(xué)，降低了因式分解的學(xué)習(xí)要求。即便如此，不少學(xué)生學(xué)習(xí)因式分解仍有困難。除了“倒過來”由乘出來的式子尋找相乘的式子，常常沒有固定的程序與方法，要面對多種可能，要配湊、調(diào)整，另一個重要的原因是，他們不清楚學(xué)習(xí)因式分解的目的，不知道學(xué)了因式分解有什么用，也不了解因式分解與整式乘法的關(guān)系，常把兩者混淆，甚至顛過來倒過去。我遇到過這樣的學(xué)生：在小學(xué)，數(shù)學(xué)學(xué)得很好，但到了初一，學(xué)習(xí)因式分解時幾次都沒有考好，一下子失去了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。我便和他談了為什么要學(xué)習(xí)因式分解?；仡^看，初中學(xué)習(xí)因式分解，實際上是小學(xué)學(xué)習(xí)因數(shù)分解的自然延續(xù)：把一個數(shù)分解成因數(shù)的乘積，正好和計算幾個數(shù)的乘積相反。往后看，與因數(shù)分解類似，因式分解將整式由加法結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為乘法結(jié)構(gòu)之后，可以幫助進行分式的約分、通分（進而完成分式的乘除、加減），也可以解二次方程或某些更高次的方程。聽完我的講解，這位學(xué)生明白了為什么要學(xué)習(xí)因式分解的道理，后來又掌握了一些因式分解的方法，不久就恢復(fù)了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心！

這里，重點說一下因式分解和解高次方程的關(guān)系。以三次多項式和三次方程為例，若將ax3+bx2+cx+d分解因式為a（x-x1）（x-x2）（x-x3），則x1、x2、x3是方程ax3+bx2+cx+d=0的三個根。再將上述因式分解的結(jié)果展開來（乘出來），比較同類項系數(shù)，則得三次方程的韋達定理：x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x3x1=ca，x1x2x3=-da?？梢?，韋達定理揭示了方程根與系數(shù)的直接關(guān)系，可以不求方程的根，而從根的和與積兩種運算結(jié)構(gòu)（所得均是對稱多項式、齊次多項式）中得到。

（二） 重推理、運算，更重數(shù)學(xué)直覺

歐拉可以一邊抱著孩子一邊寫論文，他一生所寫的論文、著作被編輯為72卷的《歐拉全集》，他生前所寫但未發(fā)表的論文逝世后曾

被期刊長期刊用。歐拉的“豐產(chǎn)”與他那驚人的數(shù)學(xué)直覺頗為相關(guān)。

我國著名數(shù)學(xué)家徐利治先生認為：“數(shù)學(xué)直覺是對數(shù)學(xué)對象事物（結(jié)構(gòu)及其關(guān)系）的某種直接領(lǐng)悟或洞察。這是一種不包含普通邏輯推理過程（但可能包含‘合情推理形式）的直接悟性，屬于非形式邏輯的思維活動范疇?！保?］日本著名數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎和沃爾夫獎獲得者小平邦彥在《數(shù)學(xué)印象》一文中寫道：“理解數(shù)學(xué)就要‘觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象。這里說的‘觀察不是用眼睛去看，而是根據(jù)某種感覺去體會。這種感覺雖然有些難以言傳，但顯然是不同于邏輯推理能力之類的純粹感覺，我認為更接近于視覺，也可稱之為直覺。為了強調(diào)是純粹的感覺，以下稱此感覺為‘數(shù)覺?！保?］小平邦彥重視數(shù)學(xué)直覺，他強調(diào)“數(shù)學(xué)在本質(zhì)上與邏輯不同”，“數(shù)學(xué)當然應(yīng)該遵循邏輯，但邏輯在數(shù)學(xué)中的作用就像文法在文學(xué)中的作用那樣”。的確，懂得文法并不等于能寫出像樣的文章、小說，更不用說創(chuàng)作出好作品了。

數(shù)學(xué)直覺似乎完全得自天賦，但也不盡然。歐拉從小跟從大數(shù)學(xué)家伯努利學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這無疑有助于他的數(shù)學(xué)直覺培養(yǎng)；同時，他擅長心算，這顯然對數(shù)學(xué)直覺起到了促進作用。但歐拉的數(shù)學(xué)直覺也離不開勤奮和專注：在《無窮分析引論》中，他常把算式的結(jié)果算到小數(shù)點后面十幾位。我們并未聽說黎曼的心算能力有多強，但在他為數(shù)不多而極有價值的論文背后，同樣是花費了大量的功夫去計算的。在計算實驗的過程中，通過觀察、體悟，隨著對結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的敏感度增加，數(shù)學(xué)直覺也會逐漸增強，以至可能產(chǎn)生飛躍。

比如，在函數(shù)學(xué)習(xí)中，如何深刻理解各種函數(shù)關(guān)系呢？除了從函數(shù)解析式、圖像了解不同類型函數(shù)的性質(zhì)特點之外，還可以做一做計算實驗，從數(shù)量變化規(guī)律和互相對應(yīng)的關(guān)系中，更好地認識函數(shù)的“脾性”，增強對函數(shù)的數(shù)學(xué)直覺。如下頁表1，通過對同一自變量取值處函數(shù)值大小的比較，學(xué)生可以直接感受到隨著自變量增加這幾種函數(shù)函數(shù)值的變化快慢。

下頁表1可以幫助我們從直覺上理解指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)的大小關(guān)系。例如，對于任意x∈R，2x>x。進一步，當x=0時，2x=x+1；當01時，2x>x+1。此外，當0≤x<2時，2x >x2；當x=2時，2x =x2；當24時，2x >x2。當然，直覺上得到的結(jié)論未必正確，上述幾個不等式可以通過求導(dǎo)數(shù)等方法加以嚴格證明。

以上是比較簡單的數(shù)量關(guān)系直覺，進一步的數(shù)學(xué)直覺是對數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的深入體察。如下頁圖1、圖2，還可以通過計算自變量x每增加1時函數(shù)值的增量，考察不同類型函數(shù)變化的快慢，增進學(xué)生對數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的直覺感悟?？梢钥吹剑攛從0開始每次增加1時，二次函數(shù)y=x2函數(shù)值的增量1，3，5，7，…均勻增長，是一個等差數(shù)列，其通項公式為一次函數(shù)；指數(shù)函數(shù)y=2x函數(shù)值的增量1，2，4，8，…仍然呈“指數(shù)增長”，是一個等比數(shù)列，其通項公式為指數(shù)函數(shù)。上述計算增量的過程可以簡單地寫成n2 -（n-1）2 =2n-1，2n -2n-1= 2n-1 。由此容易看出函數(shù)解析式結(jié)構(gòu)的變化和關(guān)聯(lián)，為發(fā)展數(shù)學(xué)直覺打下基礎(chǔ)。這些離散情況下的差分分析結(jié)論，也有助于理解連續(xù)

變化時的微分分析結(jié)構(gòu)，如二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一次函數(shù)（或冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般還是冪函數(shù)），指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是指數(shù)函數(shù)（可能存在系數(shù)上的差異）。

對結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的直覺考察，可進一步幫助我們獲得一些較為深刻的結(jié)論。如考察圖1、圖2中函數(shù)值增量的總和，輕松可得1+3+5+…+（2n-1）=n2，1+2+22+23+…+2n-1=2n-1。其實，這里蘊含著函數(shù)與積分（原函數(shù)）的關(guān)系。

（三） “大膽假設(shè)，小心求證”

讀了《無窮分析引論》，你會發(fā)現(xiàn)歐拉的數(shù)學(xué)思維多么“大膽”。在數(shù)學(xué)研究或?qū)W習(xí)過程中，在復(fù)雜問題或新問題探索之初，我們不必太拘泥于邏輯上的嚴謹、方法的局限，而應(yīng)先發(fā)散再收斂，先寬松再嚴謹，先粗疏再精密，敢于假設(shè)、想象、估計，提出猜想、計劃，找到大概的方向和路徑，摸索著前行（遇到挫折，回頭或轉(zhuǎn)彎就是）；然后，加以嚴格論證或仔細演算。當然，這些假設(shè)、想象、估計、猜想、計劃，并非胡思亂想、毫無憑據(jù)，也需要基于對問題的深入了解，包括對數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)關(guān)系的觀察、辨識、分析和直覺，還有必要的數(shù)學(xué)實驗、嘗試等，幫助自己發(fā)現(xiàn)可能的目標、關(guān)鍵的線索。不然，連方向和路徑都是茫然，如何求證、演算呢？下面來看幾個例子。

仍以等比數(shù)列求和為例。若暫時沒有思路，可先通過考察n=2、3、4等特殊情形，歸納出1+ 2+ 22+ 23+…+ 2n-1 =2n-1。這一結(jié)論不難證明，只須將右邊的-1移到左邊即易證得。我們看到，指數(shù)增長的確非?！皡柡Α保星皀項的和Sn 居然還比不過接下來的第n+1項，即Sn=an+1 - 1。當然，我們會很快發(fā)現(xiàn)，對于公比為3的等比數(shù)列{3n-1}，這一猜測并不正確。

那么，一般情況下，1+q+q2+q3+…+qn-1與an的關(guān)系怎樣？我們可以猜測1+q+q2+q3+…+qn-1=kan+b（k、b是常系數(shù)），即與an成線性關(guān)系，這比較簡單。分別令n=1、2，即可求出k=-q1-q，b=11-q，于是，1+q+q2+q3+…+qn-1 =1-qan1-q。這一結(jié)論還需證明，但是不難，只要把an換成qn-1，轉(zhuǎn)而證明（1-q）（1+q+q2+q3+…+qn-1）= 1-qn，然后，將左邊作整式乘法即可。所以，求1+q+q2+q3+…+qn-1的關(guān)鍵在于推知結(jié)果的可能結(jié)構(gòu)：有了方向，探索論證就會容易得多。

再看比較復(fù)雜的斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，…。該數(shù)列是一個滿足F1=F2=1及遞推關(guān)系Fn+2=Fn+1+Fn的二階遞推數(shù)列，當然可以遵照這類數(shù)列的一般方法求出其通項公式，但能否通過計算實驗，先大膽猜測一下它的增長具有怎樣的特點？通項公式可能有怎樣的結(jié)構(gòu)形式呢？

觀察發(fā)現(xiàn)，斐波那契數(shù)列各項增長得很快。通過計算可以發(fā)現(xiàn)，雖然后一項與前一項之比不是常數(shù)，但當項數(shù)n越來越大時，F(xiàn)n+1Fn越來越趨向1.618，它是黃金分割數(shù)5+12（大的部分與小的部分的比，也被稱為黃金分割比）的近似值。也就是說，當項數(shù)較大時，斐波那契數(shù)列近似于一個公比為5+12的等比數(shù)列。故可以猜想，它是由兩個等比數(shù)列線性組合而成的，設(shè)

Fn=c5+12n+dqn

（想一想：第二個等比數(shù)列是否可能為常數(shù)列，即q=1？），再通過初值F1=F2=1，F(xiàn)3=2，求出c、d、q，然后驗證其是否滿足遞推公式。

當然，這種解法的計算量較大。再仔細觀察，還可以發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)n+1Fn是在5+12附近上下?lián)u擺的，因此，q應(yīng)為負值。又考慮到應(yīng)有|q|＜1，可做對稱性猜想，設(shè)q=1-52，再求c、d就容易多了。最后，也需要驗證。嚴格說來，還需要說明，滿足F1=F2=1及遞推關(guān)系Fn+2=Fn+1+Fn的數(shù)列是唯一的。這樣，我們的猜想就是正確的了。

回到初中，我們來研究一元二次方程ax2+bx+c=0。為簡便起見，我們求特殊的一元二次方程x2+2x-1=0的根。

可根據(jù)x2=5等簡單方程根的形式，猜測x2+2x-1=0根的形式為u+v（也可猜測為u+v，但是這種形式比較復(fù)雜，還是從簡單的形式開始猜想）。把x=u+v 代入x2+2x-1=0，得（u+v）2+2（u+v）-1=0，整理得（u2+v+2u-1）+（2u+2）v=0。令2u+2=0，得u=-1；令u2+v+2u-1=0，把u=-1代入，得v=2。于是，x=-1+2。還可設(shè)x=u-v，類似地可得x=-1-2。

不過，這樣由猜測、計算得出的解，還需驗證。另外，是否只有這兩個根？當然，已知一元二次方程最多只有兩個實數(shù)根時，這樣解是沒有問題的。為嚴格起見，我們可以證明除了上面求出的兩根，沒有別的根了。設(shè)x2+2x-1=［x-（-1+2）］［x-（-1-2）］·f（x），其中f（x）表示關(guān)于x的多項式，由于［x-（-1+2）］［x-（-1-2）］=x2+2x-1，故f（x）=1，即x2+2x-1=［x-（-1+2）］［x-（-1-2）］，所以x2+2x-1=0有且只有兩個根：x=-1±2。

對方程x2+2x-1=0，在求出根之前，還可以這樣設(shè)想：如果能把x2+2x-1因式分解為（x-p）（x-q），則原方程化成（x-p）（x-q）=0，它的根就是x=p和x=q。所以，可設(shè)x2+2x-1 =（x-p）（x-q），則x2+2x-1 =x2 - （p+q）x+pq。比較兩邊同類項的系數(shù)，得p+q=-2，pq=-1。根據(jù)兩數(shù)和、差、積之間的關(guān)系（p+q）2-（p-q）2=4pq，得p-q=±22。再與p+q=-2聯(lián)立，解出p=-1+2，q=-1-2 或p=-1-2，q=-1+2。于是，x2+2x-1=0的根為x=-1±2。

由此可見，一元二次方程的根也可由韋達定理求得，其中運用了對稱多項式p+q和pq。這種基于對稱的思想方法可進一步推廣到三次、四次代數(shù)方程的求解，并通往后來伽羅華創(chuàng)立群論之路。

正所謂：“千里之行，始于足下?！毖荣t的足跡，我們可以更快地走上數(shù)學(xué)大道。陳省身先生的老朋友、法國布爾巴基學(xué)派的重要成員魏伊指出：“今天的學(xué)生從歐拉的《無窮分析引論》中所能得到的益處，是現(xiàn)代的任何一本數(shù)學(xué)教科書都比不上的。”足見閱讀歐拉的這本書對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)的價值和效用了。

參考文獻：

［1］［2］［3］［4］［5］［6］ 歐拉.無窮分析引論（上）［M］.張延倫，譯.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013：69-73，75，86-87，112-113，111，197-201.

［7］ E.T.貝爾.數(shù)學(xué)大師：從芝諾到龐加萊［M］.徐源，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔纾?004：167.

［8］ 徐利治，王前.數(shù)學(xué)直覺層次性初探［J］.棗莊師專學(xué)報，1990（4）：4.

［9］ 小平邦彥.惰者集：數(shù)感與數(shù)學(xué)［M］.尤斌斌，譯.北京：人民郵電出版社，2017：5.

（沙國祥，江蘇鳳凰報刊出版?zhèn)髅接邢薰?，副編審。?/p>