陳美芬

［摘? 要］ 探索是學(xué)生理解知識、應(yīng)用知識、內(nèi)化知識的必經(jīng)之路. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合教學(xué)實(shí)際設(shè)計問題串，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷提出問題、形成猜想、證明猜想等數(shù)學(xué)研究過程，通過親歷真實(shí)的數(shù)學(xué)研究過程，讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)研究方法，提高數(shù)學(xué)探究能力，落實(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 探索；問題串；研究過程；學(xué)會學(xué)習(xí)

是否學(xué)好數(shù)學(xué)不是看學(xué)生掌握了多少知識，也不是看學(xué)生做了多少道題，而是看學(xué)生是否學(xué)會了思考、學(xué)會了學(xué)習(xí). 在日常教學(xué)中，教師應(yīng)該少一些講授，多留一些時間讓學(xué)生去自主探索、主動發(fā)現(xiàn). 在數(shù)學(xué)概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識的教學(xué)中，教師應(yīng)該重視引導(dǎo)學(xué)生親歷知識形成過程，以此讓學(xué)生更好地理解知識，提高學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力. 筆者在教學(xué)“基本不等式”時，以學(xué)生已有認(rèn)知體系為起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究過程，最終走上“會學(xué)”之路.

課堂教學(xué)實(shí)錄

1. 引入生活情境，提出數(shù)學(xué)問題

師：大家知道它是什么嗎？（用PPT展示天平圖片）

生齊聲答：天平.

師：很好，相信大家在物理課上都見過并使用過天平. 現(xiàn)在遇到了一個比較棘手的問題：有一架天平在制造時出現(xiàn)了問題，天平的兩臂長度略有不同，使得稱出來的物體的質(zhì)量出現(xiàn)了誤差. 若將物體放在左側(cè)托盤測量，測得物體質(zhì)量為a，放在右側(cè)托盤測量，測得物體質(zhì)量為b，則物體的實(shí)際質(zhì)量應(yīng)該是多少呢？（學(xué)生積極思考）

師：你是怎么想的呢？

生1：我認(rèn)為放在左、右托盤各稱一次，結(jié)果是一次比實(shí)際質(zhì)量略大，一次比實(shí)際質(zhì)量略小，這樣取平均值剛好就是物體的實(shí)際質(zhì)量.

（大多數(shù)學(xué)生點(diǎn)頭表示贊成生1的說法）

師：大家還能從其他角度合理表示物體的實(shí)際質(zhì)量嗎？（預(yù)留時間讓學(xué)生思考、計算）

師：你是怎樣想到的呢？

2. 設(shè)計數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，生成數(shù)學(xué)猜想

（先讓學(xué)生獨(dú)立思考，然后交流展示學(xué)生的探究結(jié)果. ）

師：這是一個方法，不過取一個值就得到結(jié)論是否有些牽強(qiáng)呢？是否存在小于或等于的情況呢？

（預(yù)留時間讓學(xué)生再列舉幾個特殊值，使學(xué)生更好地感知結(jié)論. 在此基礎(chǔ)上，給出表1讓學(xué)生進(jìn)一步觀察、猜想. ）

師：結(jié)合表1的數(shù)據(jù)以及自己列舉的特殊值，請給出你們的猜想.

師：我們知道數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，我們給出大量數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，依然具有一定的特殊性，其研究結(jié)果并不能作為數(shù)學(xué)命題，接下來該怎么辦呢？

3. 嘗試數(shù)學(xué)證明，獲得數(shù)學(xué)命題

師：你有沒有更好的方法來驗(yàn)證這一結(jié)論呢？

生齊聲答：證明.

師：非常棒的想法，具體該如何證明呢？

（讓學(xué)生獨(dú)立思考，并鼓勵學(xué)生嘗試不同的證明思路. ）

師：何時取等號呢？

生6：當(dāng)a=b時取等號.

生齊聲答：對.

師：也就是說，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，不等式取等號.

師：回顧以上證明過程，對于該結(jié)論是否有需要補(bǔ)充的地方呢？

師：非常好. 還有其他證明方法嗎？如果不平方作差，是否可以證明該結(jié)論呢？

師：很好，除了作差比較法外，大家還能想到其他證明方法嗎？

師：我們將其稱為分析法，該方法在定理、結(jié)論的證明中有著重要應(yīng)用. 分析法看似簡單，但是其對書寫格式的要求相對較高，只有始終保持清晰的思維脈絡(luò)，才能避免證明過程中出現(xiàn)主觀臆想，影響證明效果.

師：比較以上兩種方法，請大家思考綜合法和分析法存在怎樣的區(qū)別與聯(lián)系.

（投影展示綜合法和分析法的證明過程，讓學(xué)生進(jìn)一步觀察、對比、交流.）

生11：分析法從要證的結(jié)論入手，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件；而綜合法的證明過程恰恰相反，將分析法的最后一步作為條件，逐步推導(dǎo)，最終得到結(jié)論.

師：說得非常好，前者是執(zhí)果索因，后者是由因?qū)Ч? 這樣我們用不同方法證明了猜想，得到了真命題，即若a，b是正數(shù)，則■≤■，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.

設(shè)計意圖 在證明猜想的過程中，筆者沒有直接將證明過程強(qiáng)加給學(xué)生，而是從學(xué)生的真實(shí)想法出發(fā)，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生尋求不同的證明思路，并通過有效互動逐漸修正和完善證明思路，以此自然得到四種不同的證明方法，促進(jìn)學(xué)生自主探究能力的提升和思維能力的發(fā)展. 同時，通過師生和生生的有效對話，讓不同思維碰撞出不同的火花，使數(shù)學(xué)課堂煥發(fā)出勃勃生機(jī).

4. 數(shù)學(xué)命題精析，形成研究經(jīng)驗(yàn)

師：剛剛我們從數(shù)的角度出發(fā)，分別用平方作差法、作差比較法、分析法和綜合法證明了結(jié)論. 如果換個角度，從形的角度出發(fā)，能否證明這個不等式呢？

讓學(xué)生獨(dú)立思考，部分學(xué)生無從入手，于是啟發(fā)學(xué)生將a，b看成兩條線段，根據(jù)已有知識去構(gòu)造不等式兩側(cè)的量. 在筆者的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生很快找到了解決問題的突破口.

師：真是一個不錯的想法，我們現(xiàn)在就按照生13的思路來畫這個圓. （預(yù)留時間讓學(xué)生動手畫圖）

師：誰來說一說設(shè)計過程.

生17：兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于算術(shù)平均數(shù).

師：一定要強(qiáng)調(diào)a，b為正數(shù)嗎？如果一個數(shù)為正，一個數(shù)為負(fù)；或者兩個數(shù)都為負(fù)；或者其中一個數(shù)為0. 這些情況都不行嗎？

（學(xué)生積極思考，并嘗試舉例證明.）

師：說得非常好，基本不等式有許多變式，它是我們高考的一個重要考點(diǎn). 限于本節(jié)課時間，對于其變式我們下節(jié)課再繼續(xù)研究.

設(shè)計意圖 從學(xué)習(xí)反饋來看，大多數(shù)學(xué)生是從數(shù)的角度出發(fā)證明基本不等式的. 為了深化學(xué)生對基本不等式的理解，讓學(xué)生獲得更加直觀的感受，筆者引導(dǎo)學(xué)生從形的角度去探索基本不等式的幾何意義，認(rèn)清基本不等式的本質(zhì). 在此基礎(chǔ)上，對a，b的范圍進(jìn)行擴(kuò)充，揭示基本不等式的神秘面紗，激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)不等式的熱情.

5. 自主課堂小結(jié)，深化知識理解

師：現(xiàn)在請同學(xué)們回頭看，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲呢？

6. 課后拓展延伸，提升思維能力

師：課后請大家思考這樣兩個問題.

問題1 基本不等式能否推廣至n（n>1，n∈N*）個非負(fù)數(shù)的情形呢？

問題2 2002年國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)是依據(jù)趙爽弦圖設(shè)計的（如圖3所示）. 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在圖3中你可以找到哪些相等和不等的數(shù)量關(guān)系呢？

設(shè)計意圖 問題是誘發(fā)學(xué)生思考的動力源. 讓學(xué)生帶著問題離開課堂，不僅可以增添課堂的凝聚力，還可以拓寬學(xué)生的視野，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.

教學(xué)思考

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，若教師直接將知識講授給學(xué)生，會增加數(shù)學(xué)課堂的枯燥感，影響學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，不利于學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力的提升. 因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生去探索，以此激活學(xué)生的思維，提高課堂教學(xué)的有效性；應(yīng)認(rèn)真研究教材，把握好教學(xué)的重難點(diǎn)和核心知識點(diǎn)，以學(xué)生最近發(fā)展區(qū)為起點(diǎn)，精心設(shè)計問題，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“問題—實(shí)驗(yàn)—猜想—證明”數(shù)學(xué)研究過程，以此不斷完善學(xué)生的認(rèn)知體系，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.

另外，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以通過科技手段拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，啟發(fā)和指導(dǎo)學(xué)生多角度、多維度地思考和解決問題，以此增強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂的探究性和趣味性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維自然生長，提高課堂教學(xué)的有效性.

總之，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個慢過程，教學(xué)中要多提供機(jī)會讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去感悟，讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究過程，如此才能促使學(xué)生走上“會學(xué)”之路.