林洪能

摘要：現(xiàn)行“輕負(fù)高質(zhì)”的大形勢(shì)下，教育要求我們教師要不斷提高育人質(zhì)量，在不加班加點(diǎn)的情況下，課堂教學(xué)的關(guān)鍵是高效率，而高效源于對(duì)課堂教學(xué)的不斷反思、不斷感悟、不斷總結(jié)。本文主要從悟“整合”之道、悟“活動(dòng)”之道、悟“變式”之道等三個(gè)方面探討了如何提高常規(guī)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)“高效”性的一些思考及體會(huì)。

關(guān)鍵詞：課堂教學(xué)；悟道；高效

一、引言

從前，一學(xué)僧到法堂請(qǐng)示禪師：“我常常打坐，時(shí)時(shí)年經(jīng)，早起早睡，心不雜念。我想在您座下沒有一個(gè)人比我更用功了，可為什么還是無(wú)法開悟？”禪師拿了一個(gè)葫蘆，一塊鹽，交給學(xué)僧說(shuō)：“你去將葫蘆裝滿水，再把鹽倒進(jìn)去，使它立刻溶化，你就會(huì)開悟了！” 學(xué)僧遵照指示去做，沒多久，跑回來(lái)說(shuō)道：“我把鹽塊裝進(jìn)葫蘆，可它老不化；葫蘆口太小了，伸進(jìn)筷子也攪不動(dòng)。我還是無(wú)法開悟?！?禪師拿過(guò)葫蘆倒掉了一些水，然后只搖晃幾下，鹽塊就溶化了。禪師慈祥地說(shuō)道：“一天到晚用功，不細(xì)心觀察生活，不留一些平常心，就如同裝滿水的葫蘆，搖不動(dòng)，攪不得，如何化鹽，又如何開悟？”這是佛教故事《悟道之本》，故事說(shuō)明僧人要“開悟”方能成為真正的大師，其實(shí)我們教師何嘗不是這樣呢？有些教師整天碌碌無(wú)為，學(xué)生一屆一屆走了，可自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和課堂教學(xué)效率卻沒有隨之增長(zhǎng)。所以教師不斷行“悟道”，課堂教學(xué)才會(huì)見“高效”。

那么，什么叫“悟道”，什么叫“高效”呢？本文提到的“悟道”，指的是：教師對(duì)自己參與的教學(xué)活動(dòng)的回顧檢驗(yàn)與認(rèn)識(shí)，本質(zhì)上是對(duì)教學(xué)的一種反省認(rèn)知活動(dòng)。教師以自己的實(shí)踐過(guò)程為思考對(duì)象，在回放過(guò)程的基礎(chǔ)上，對(duì)其中的成敗得失及其原因進(jìn)行思考，得到一定的能用以指導(dǎo)自己教學(xué)的理性認(rèn)識(shí)，并形成更為合理的實(shí)踐方案?！案咝А敝傅氖牵阂员M可能少的時(shí)間、精力和物力投入，取得盡可能好的教學(xué)效果。盡可能好的教學(xué)效果可以從以下兩個(gè)方面來(lái)體現(xiàn)：一是效率的最大化，也就是在單位時(shí)間內(nèi)學(xué)生的受益量；二是效益的最優(yōu)化，也就是學(xué)生受教育教學(xué)影響的積極程度。概括為：輕負(fù)擔(dān)，低消耗，全維度，高質(zhì)量。數(shù)學(xué)教學(xué)中“悟道”和圍棋高手的復(fù)盤同樣重要，它是提高教學(xué)能力，提高教學(xué)效率的最有效、最直接、最快速的途徑。

一、悟“整合”之道，見課堂高效

新課程理念強(qiáng)調(diào)，教學(xué)的過(guò)程是教師用材教的過(guò)程，而不是教教材的過(guò)程。葉圣陶說(shuō)：“教材無(wú)非是個(gè)例子”，教材并不是教學(xué)的全部，教學(xué)也并不是緊緊盯著教材，惟教材是用。梁?jiǎn)⒊f(shuō)，“變則通，通則久”，要遠(yuǎn)離本本主義，要與時(shí)俱進(jìn)，要海納百川，要融會(huì)貫通，把利于和符合教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)容和手段等有效資源吸收、整合和運(yùn)用到課堂教學(xué)中去。在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，要大膽改革，勇于創(chuàng)新，“百尺竿頭更進(jìn)一步”，要積極改進(jìn)和推廣先進(jìn)的教學(xué)方法，激發(fā)和調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和求知欲，力求課堂高效。

“已知三角形ABC，過(guò)B點(diǎn)作AC邊上的垂線”。

結(jié)果大半學(xué)生不能作出來(lái)。有些雖能作出，但錯(cuò)誤百出（如錯(cuò)誤（1），錯(cuò)誤（2））。

美國(guó)心理學(xué)家波斯納認(rèn)為，沒有反思的經(jīng)驗(yàn)是狹隘的經(jīng)驗(yàn)，至多只能是膚淺的知識(shí)，他提出了教師成長(zhǎng)的公式：成長(zhǎng)=經(jīng)驗(yàn)+反思。教完新課后，分析這道作業(yè)題時(shí)，雖經(jīng)過(guò)筆者的反復(fù)習(xí)提醒和層層鋪墊，才算挽救回部分學(xué)生的“知道”，但總不是滋味。憑多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生在作業(yè)中出現(xiàn)的普遍錯(cuò)誤必與教師在課堂中的授課質(zhì)量有關(guān)。筆者回顧授課過(guò)程：先從生活中觀察發(fā)現(xiàn)存在著大量的垂直情況，引入垂線的定義，用動(dòng)畫演示畫垂線的過(guò)程，歸納結(jié)論，講解例題，進(jìn)入訓(xùn)練階段。在授課中，學(xué)生已經(jīng)從動(dòng)畫演示中學(xué)會(huì)了畫一般情況的垂線，但對(duì)于需要添加輔助線的垂線畫法，筆者只是作了簡(jiǎn)單的介紹，因?yàn)楣P者認(rèn)為學(xué)生在小學(xué)時(shí)接觸過(guò)。在另一班授課時(shí)，筆者采用如下方法組織教學(xué)：

（1）過(guò) 外一點(diǎn)B作 的垂線；（2）過(guò) 外一點(diǎn)B作 的垂線；

（3）過(guò)AC外一點(diǎn)B作AC的垂線。

第（1）題是上課時(shí)動(dòng)畫演示類似的題目，學(xué)生基本上會(huì)做，第（2）題是課后練習(xí)題中的一道題，第（3）題是作業(yè)中一道題。筆者把三道題目整合起來(lái)，相當(dāng)于把“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂線”作圖中需要添加輔助線的難點(diǎn)通過(guò)第（2）題達(dá)到了“一橋飛架南北，天塹變通途”的效果，且學(xué)生對(duì)于輔助線的添加也顯得自然合理，學(xué)生學(xué)得輕松有趣，且基本上能畫出第（3）題的答案，教學(xué)效率明顯提升。

前幾天同事說(shuō)，他在教人教版九年級(jí)（下）27.2.2相似三角形的判定（2）之“邊邊邊”和“邊角邊”這節(jié)課后，學(xué)生的作業(yè)做得很不理想：（1）書寫格式亂七八糟；（2）遇到稍難些的推理題，便沒有什么思路或有些寫了一些思路，但無(wú)法準(zhǔn)確表達(dá)。筆者仔細(xì)分析發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)判定放在一節(jié)課里學(xué)習(xí)表面上容量較大，但完全可以有機(jī)整合。教材中的例題是一道難度極小的判斷性習(xí)題，學(xué)生的推理缺少相應(yīng)判定定理的實(shí)踐性演練。筆者給他提出建議：（1）整合定理的推導(dǎo)過(guò)程?？深惐热切稳鹊呐卸ㄖ械腟SS和SAS學(xué)習(xí)，其中一個(gè)定理的推導(dǎo)可師生一起完成，另一個(gè)可類比推導(dǎo)。（2）把教材中的例1舍棄，配上一道新的例題。

如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，Q是CD的中點(diǎn)，求證：△ADQ∽△QCP

證法1：（用判定“邊邊邊”）：

在正方形ABCD中，設(shè)它的邊長(zhǎng)為AD=

∵Q是CD的中點(diǎn)，∴DQ=QC=

∵BP=3PC， ∴ PC=

由勾股定理推得：AQ=，PQ=

∴ △ADQ∽△QCP.

證法2：（用判定“邊角邊”）：

在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點(diǎn)，∴DQ=QC=

∵BP=3PC， ∴ PC=

∴ △ADQ∽△QCP.

整合一個(gè)好例題，不但鞏固了兩種判定方法，而且通過(guò)一題多解，可以鍛煉學(xué)生思維的廣闊性、深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性。有人說(shuō)：“規(guī)范辦學(xué)了，時(shí)間不夠用了”，尤其是實(shí)行“三案”以來(lái)，很多學(xué)生不能及時(shí)完成預(yù)習(xí)案，不能保證完成鞏固案。但是，這節(jié)課的設(shè)計(jì)，有“一條線拎起了兩條螞蝗”的感覺，我們要的就是這個(gè)效果，我們要把規(guī)范辦學(xué)下有限的40分鐘時(shí)間都當(dāng)成歌德筆下的《最后一課》來(lái)用。想盡一切辦法，提高課堂效率。

二、悟“活動(dòng)”之道，見課堂高效

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車一樣不經(jīng)過(guò)親身體驗(yàn)，僅僅從看書本、聽講解、觀察他人的演示是學(xué)不會(huì)的。因而《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的“基本理念”中指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴模仿與記憶。動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式”，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，“教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能、數(shù)學(xué)思想與方法.獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。

聽過(guò)許多“三角形內(nèi)角和定理”的公開課，在證明定理時(shí)，教師通過(guò)種種途徑去解釋為什么要添加輔助線，但學(xué)生卻仍一知半解，化歸思想無(wú)法落實(shí)。這樣的課，好像是教師牽著學(xué)生過(guò)獨(dú)木橋一樣，教師一放手，學(xué)生便會(huì)摔跤。為了解決這種困惑，筆者對(duì)這塊內(nèi)容作了深入研究，一方面要讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)三角形內(nèi)角和定理的證明中要構(gòu)造平角（1800），另一方面要讓學(xué)生能自然而然地想到必須去添加這些輔助線（合理性）。筆者從中“悟”出，設(shè)置如下數(shù)學(xué)活動(dòng)，來(lái)化解學(xué)生的理解難點(diǎn)：

[活動(dòng)1]拿三角形紙片（如圖1），把兩個(gè)角剪下，接在第三個(gè)角的頂點(diǎn)處，有幾種拼圖方法？

通過(guò)學(xué)生的動(dòng)手操作，得出以下兩種拼圖的方法（如圖2）

拼圖活動(dòng)直觀、形象地啟發(fā)學(xué)生猜想三角形內(nèi)角和定理，也啟發(fā)了學(xué)生找出證明此定理時(shí)的輔助線添法。

[活動(dòng)2]拿同樣的三角形紙片，只剪下一個(gè)角進(jìn)行拼圖，你能說(shuō)明三角形的內(nèi)角和定理嗎？

這個(gè)活動(dòng)是考慮到兩平行線的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，因此猜想用平行線的性質(zhì)來(lái)拼圖驗(yàn)證此定理（如圖3），這樣就發(fā)散了學(xué)生的思維。

[活動(dòng)3]再拿出第三張三角形紙片，不剪出這張紙片中的任意一個(gè)內(nèi)角，你能通過(guò)對(duì)這張紙片的折疊來(lái)驗(yàn)證三角形內(nèi)角和定理嗎？

問(wèn)題激發(fā)了學(xué)生的興趣和好奇心。經(jīng)過(guò)活動(dòng)操作，只要將三角形按圖4中的虛線折疊，拼成一個(gè)平角即可說(shuō)明這一定理。這個(gè)

問(wèn)題是活動(dòng)1的遷移，培養(yǎng)了學(xué)生知識(shí)的遷移能力。

通過(guò)分組討論，學(xué)生得出以下四種輔助線的添法（如圖5）

以上活動(dòng)的設(shè)計(jì)，讓學(xué)生真正領(lǐng)悟要得到三角形的內(nèi)角和定理的證明過(guò)程，添加輔助線成為水到渠成之事。杜威在其著作《我們?cè)鯓铀季S》中講到“教師的成長(zhǎng)和發(fā)展的第一步，就在于教師自身的反思”?？梢?，教師行“悟道”對(duì)促進(jìn)教師改進(jìn)教學(xué)策略，不斷提升自己教育教學(xué)水平有著重要的作用。

三、悟“變式”之道，見課堂高效

變式教學(xué)的宗旨是啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生研究、探索知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，有利于發(fā)揮學(xué)習(xí)主體的主動(dòng)和能動(dòng)作用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的注意力。變式教學(xué)可以較好地避免教學(xué)中使知識(shí)、技能、方法割裂的弊端，能使學(xué)生的思維向“深”和“寬”的方向發(fā)散，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性、靈活性和創(chuàng)造性，能起到拓展學(xué)生思維的作用。變式教學(xué)能通過(guò)一個(gè)問(wèn)題解決一類問(wèn)題，有效地增大課堂教學(xué)容量，有效地控制課外作業(yè)量實(shí)現(xiàn)讓學(xué)生跳出“題?！?，從而減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，真正提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效率。

（2010山東煙臺(tái)）手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝飾手工畫，下面四個(gè)圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形、矩形花邊，其中，每個(gè)圖案花邊的寬度都相等，那么，每個(gè)圖案中花邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（ ）。

筆者的愛人遇到上面一道題，她通過(guò)舉出一些具體的數(shù)據(jù)解釋給學(xué)生聽，比如設(shè)內(nèi)矩形的長(zhǎng)為10，寬為5，小路寬為1，則外矩形的長(zhǎng)為12，寬為7，，所以D選項(xiàng)這兩個(gè)矩形不一定相似，但她感覺到部分學(xué)生似懂非懂。來(lái)征求我如何分析，學(xué)生才會(huì)解惑？見到此題，筆者回憶起新人教版九年級(jí)（下）教材第39頁(yè)習(xí)題27.1第6題：

原題：如圖，矩形草坪長(zhǎng)30m，寬20m，沿草坪四周有1m寬的環(huán)形小路，小路內(nèi)外邊緣所成的矩形EFGH和矩形ABCD是否相似？

筆者從中“悟道”，必須要通過(guò)探索這一類題來(lái)徹底解決雙矩形類問(wèn)題。于是通過(guò)一節(jié)變式教學(xué)課提高課堂教學(xué)效率，發(fā)展學(xué)生思維品質(zhì)。具體做法如下：

解：∵矩形的每個(gè)內(nèi)角都等于900，

∴∠A=∠E=900，∠B=∠F=900，

∠C=∠G=900，∠D=∠H=900

即： 它們的對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)相等。

但它們的對(duì)應(yīng)邊：

∴矩形EFGH和矩形ABCD不相似

引導(dǎo)學(xué)生思考，如果改變矩形ABCD的長(zhǎng)和寬，那么矩形EFGH和矩形ABCD相似嗎？進(jìn)一步追問(wèn)：如果改變矩形ABCD的長(zhǎng)和寬不變，那么小路的寬為多少時(shí)，矩形EFGH和矩形ABCD相似？

設(shè)小路寬為x，對(duì)應(yīng)角都已經(jīng)對(duì)應(yīng)相等了（900）

還需條件：，即

解得x=0，這樣的小路寬不存在。

由以上可知： 邊緣寬度相同的內(nèi)外兩個(gè)矩形永遠(yuǎn)不可能相似。到此，學(xué)生對(duì)于2010山東煙臺(tái)的中考題便會(huì)不講自通。教師不妨再追問(wèn)：既然邊緣寬度相同的內(nèi)外兩個(gè)矩形永遠(yuǎn)不可能相似，那么，邊緣寬度不相同的內(nèi)外兩個(gè)矩形有沒有可能相似呢？此時(shí)，學(xué)生的探究欲望會(huì)被再一次燃燒。

設(shè)小路寬為x和y，對(duì)應(yīng)角都已經(jīng)對(duì)應(yīng)相等了（900），

還需條件：，即

解得

結(jié)論：當(dāng)橫向小路的寬與縱向小路的寬之比為3：2時(shí)，矩形EFGH和矩形ABCD相似。

如果矩形ABCD的長(zhǎng)為m，寬為n，叫學(xué)生猜想：是否成立。

還需條件：，即

。結(jié)論：當(dāng)橫向小路的寬與縱向小路的寬之比為m：n時(shí)，矩形EFGH和矩形ABCD相似。也就是說(shuō)，當(dāng)橫向小路的寬與縱向小路的寬之比等于矩形ABCD的長(zhǎng)與寬之比時(shí)，矩形EFGH和矩形ABCD相似。

教師再次追問(wèn)：那么兩個(gè)梯形呢？如果梯形ABCD的各邊向外平移2個(gè)單位得到新的梯形EFGH，試問(wèn)兩個(gè)梯形相似的條件是什么？（答案：若EA，F(xiàn)B，GC，HD的延長(zhǎng)線能交于一點(diǎn)時(shí)，所得到的兩個(gè)梯形能相似。）

通過(guò)層層追問(wèn)，學(xué)生的思維被一次次激活，通過(guò)這一系列的變式拓展訓(xùn)練，不但能開闊學(xué)生的解題思路，而且啟發(fā)學(xué)生建立了課本例題，課外習(xí)題之間的聯(lián)系，使學(xué)生在做題時(shí)做到“遇新題，憶舊題，多思考，善聯(lián)想、多變換、找規(guī)律”，從而培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)造性思維能力。著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)“一個(gè)專心認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有變化但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題就好像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”。教師在教學(xué)過(guò)程中，“悟道”起著關(guān)鍵的因素，通過(guò)“悟道”進(jìn)行變式教學(xué)，講一題，串一類，課堂教學(xué)效率明顯提升。

身為教師，就要在工作中不斷學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)中不斷“悟道”，在“悟道”中不斷實(shí)踐，在實(shí)踐中努力探索，才能使自己在理論上提升、在經(jīng)驗(yàn)中升華、在研究中突破、在追求中完善，成為現(xiàn)代教學(xué)中的合格高效的教師。

旦旦為之，終日成騏驥；“悟道”著，快樂(lè)著。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2001.

[2]李濤.提高課堂教學(xué)效率之我見[J].教育理論與實(shí)踐，2000（2）.

[3]王杰.中學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題提出策略的理論研究與實(shí)踐探索[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2004（6）.

[5]周景，張慶林.關(guān)于提高教學(xué)效率的幾點(diǎn)思考[J].西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)（人文社科版），2003（24）.