張佳玲 包俊東

【摘要】本文所考慮的問題是設計一個靜態(tài)輸出反饋控制器，來同時二次鎮(zhèn)定一族不確定非線性時滯系統(tǒng)，使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足一定的H∞性能要求且具有保代價。文章給出了公共反饋增益矩陣存在的一個充分條件，并且通過解一組線性矩陣不等式求得了這一反饋增益矩陣，同時可解出系統(tǒng)族的一個公共Lyapunov-Krasovskii泛函，進而求得系統(tǒng)族的保代價。文中實例驗證了本文方法的有效性。

【關鍵詞】不確定非線性時滯系統(tǒng) 同時H∞控制 保代價控制 線性矩陣不等式

【基金項目】 內蒙古師范大學十百千人才項目；內蒙古師范大學2014年度研究生科研創(chuàng)新基金項目（CXJJS14054）。

【中圖分類號】TP13 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）19-0254-02

1 引言

控制系統(tǒng)的同時鎮(zhèn)定問題于1982年由Saeks和Murray以及Vidyasagar和Viswanadham首先提出。其后，很多學者這一問題進行了研究并在此基礎上考慮系統(tǒng)的H∞性能表現(xiàn)，得到了很多有價值的結論。為了降低結論的保守性，Chang等人于1972年在自適應控制中提出了保代價控制的概念。這一方法是在解決以上魯棒缺陷方面起到了非常重要的作用，因此得到了很大的發(fā)展。

本文所考慮的是不確定非線性時滯系統(tǒng)的同時H∞保代價控制問題。通過設計一個靜態(tài)輸出反饋控制器來使得閉環(huán)系統(tǒng)族同時二次穩(wěn)定，且具有H∞性能以及保代價。文章通過解一組線性矩陣不等式求得了這一公共反饋增益矩陣，同時可解出系統(tǒng)族的一個公共Lyapunov-Krasovskii泛函，進而求得系統(tǒng)族的一個保代價，實現(xiàn)了系統(tǒng)族的同時H∞保代價控制。

2 問題描述

考慮以下系統(tǒng)族：

i=1，2，…，s

其中想x（t）∈Rn是系統(tǒng)狀態(tài)變量；u（t）∈RP是系統(tǒng)控制輸入；ω（t）∈Rq是系統(tǒng)干擾輸入；z（t）∈Rm和y（t） ∈R1分別表示系統(tǒng)控制輸出和系統(tǒng)量測輸出；τ>0 是系統(tǒng)狀態(tài)時滯；Ai∈Rn×n，Ai∈Rn×n ，Bi1∈Rn×p， Bi2∈Rn×q，Ci1∈Rm×n，Ci∈R1×n ，D1∈Rm×q是系統(tǒng)矩陣，△Ai，△∧i，△Bi1為不確定矩陣，且 具有形式[△Ai △∧i △Bi1]=GE[Hia Hid Hib].其中，G，Hia，Hid，Hib為適當維數的實矩陣，E為未知的時變矩陣，且滿足ETE≤I.

這里假設不確定非線性項fi滿足 ，i=1，2，…，s.

其中

取性能指標函數：

（2）

其中S>0，R>0為加權矩陣.

采用輸出反饋u=Ky（t），則相應的閉環(huán)系統(tǒng)為：

其中

性能指標函數為：

i=1，2，…，s （4）

引理1：對于任意適當維數的向量x，y和實值矩陣D，E，對于任意適當維數的矩陣F，如果F滿足FTF≤I，那么以下不等式成立 這里ε>0是任意常數。

引理2：若 是對稱矩陣，那么以下三個條件等價

Ⅰ） W<0；Ⅱ） W1<0，W3-W2TW1-1W2<0；Ⅲ） W3<0，W1-W2W3-1W2T<0.

3 主要結果

定理：如果存在正定對稱矩陣P和Q使得以下矩陣不等式組存在公共可行解K

i=1，2，…，s. （5）

那么通過靜態(tài)輸出反饋控制器u=Ky（t），對于所有允許的不確定性，閉環(huán)系統(tǒng)族滿足

Ⅰ） 同時二次穩(wěn)定；Ⅱ） 對于給定γi>0，假定初始條件x（0）=0，則||z（t）|| ∞<γi||ω（t）|| ∞，對于任意T>0及任意ωi（·）L2[0，T]成立，i=1，2，…，s ；Ⅲ） 代價函數（2）的閉環(huán)值滿足Ji

證明： ω（t）=0時系統(tǒng)的二次穩(wěn)定性

選取Lyapunov-Krasovskii泛函

i=1，2，…，s. （6）

其中P和Q是（5）式中的正定對稱矩陣，顯然V（0）=0并且Vi（φ）>0， φ≠0.

由于

由（5）式知i（x）|（1）<0，因此系統(tǒng)族同時二次穩(wěn)定.

2）存在保代價J*使得Ji

由（5）式知

則有

因此

取 ，則J*為系統(tǒng)族的一個保代價.

3）系統(tǒng)的H∞性能

式（5）是一個非線性矩陣不等式，為了方便計算，我們將其進行以下操作，給出線性矩陣不等式的判別條件.

根據引理1，

其中

因此，矩陣不等式（5）成立的一個充分條件是以下線性矩陣不等式成立

4 結論

本文考慮了不確定非線性時滯系統(tǒng)的同時H∞保代價控制問題。通過解一組線性矩陣不等式，得到了公共反饋增益矩陣，以及系統(tǒng)族的一個公共Lyapunov-Krasovskii泛函。進而通過靜態(tài)輸出反饋，實現(xiàn)了系統(tǒng)族的同時H∞保代價控制。本文所研究的問題可以通過狀態(tài)反饋來實現(xiàn)，也可以設計動態(tài)輸出反饋控制器來達到與本文同樣的目的。

參考文獻：

[1]Saeks R， Murray J， Fractional representation， algebraic geometry and simultaneous stabilization problem [J].IEEE Trans. Automatic Control， Vol.27， No.5， 895-903， 1982

[2]Vidyasagar M. Viswanadham N. Algebraic design techniques for reliable stabilization [J]. IEEE Trans. Automatic Control. Vol.27， No.5， 1085-1095， 1982

[3]Saif A， Gu D， Kavranoglu D， el al. Simultaneous stabilization of MIMO systems via robustly stabilizaing a central plant [J]. IEEE Trans. Automatic Control， Vol.47， No.2， 363-369， 2002

[4]Miller D E， Rossi M. Simultaneous stabilization with near optimal LOR performance [J]. IEEE Trans. Automatic Control， Vol.46， No.10， 1543-1555， 2001

作者簡介：

張佳玲，女，漢族，1990年出生于內蒙古赤峰市，目前為內蒙古師范大學在讀碩士研究生。